数理方法课件 03第二章 解析函数积分

第二章解析函数积分■复变函数的积分■柯西定理■柯西积分公式复变函数积分的定义，性质，计算利用柯西定理和柯西积分公式计算积分习题2.1:1,3(2),5;习题2.2：1(1),2(1)习题2.3：4,5,6Integralofanalyticfunctions将L分割为n个弧段。在曲线L上依次取点……，作求和……定义

1.复变积分的定义2.1复变函数的积分取求和式Sn

的实部和虚部：引入2.与曲线积分的联系复变积分存在的充分条件(默认成立)：曲线

L

分段光滑，且f(z)

在

L上连续复变积分的两种计算方法：曲线L

的参数方程：z=z(t)，

α≤t≤β

(对弧长的曲线积分)例1：计算，其中L

为：(1)从0到1+i的直线段；(2)折线段011+i

；(3)抛物线y=x2从0到1+i的弧段y=x(1)(2)0111+i积分与路径有关(3)例2：证明围线积分

(n∈Z)L

的参数方程积分值与圆周L

的半径无关四个步骤

求极限(4)3.复变积分的基本性质

1.单连通区域的柯西定理2.2柯西定理柯西积分定理：若f(z)在单连通区域

D解析，C

是D

内的任一围线，则两个条件缺一不可：全平面计算围线积分若将定理的条件加强为“导数f'(z)在D内连续”，

则由柯西-黎曼条件和格林公式可导出定理格林公式：若函数M(x,y)和N(x,y)在围线C

及其内部区域D

上有连续的一阶偏导数，则2.解析函数的原函数定义：在区域D

内满足的函数Φ(z)

称为f(z)

的一个原函数

在L上连续，则用原函数计算积分：若Φ(z)在L

上单值解析，证明：实变函数的牛顿-莱布尼兹公式例1：计算(1)∵

在复平面上解析，有原函数∴(2)在L

上单值解析例3a

在L

的内部a

在L

的外部(与路径无关)原函数存在定理：设函数f(z)在区域D

内连续，

沿D

内的任意围线积分为零，z0D。对zD，

则

F(z)在D

内解析，且取包含于D

的任一折线Cz

连接z0、z，定义(积分只依赖起点、终点)推论(Newton-Leibniz公式)：在单连通区域

D

内

解析函数

f(z)存在原函数Ф(z)。对A,B∈

D，积分值可能与D

有关！0(连续性)从

z

到z+Δz

的线段L

D,

证明：设z

的邻域例2：计算解：∵

1/z

在区域D

上有原函数lnz

∴对有奇点的函数f计算须指定它解析的单连通区域1i要求积分路径D，与支割线不相交！若函数f(z)在单连通区域D

上解析，

在DD上连续，则3.柯西积分定理的推广设区域E

有内、外边界C1、C0。

f(z)在E

上解析，在EE上连续，则围线变形原理证明：柯西积分定理

相加复连通区域的柯西定理设复连通区域

E以围线C0

为外边界，以围线C1,C2,…,Cp

为内边界。若f(z)在E

上解析，证明：对p

用归纳法210ba(归纳假设)(围线变形原理)则在EE上连续，例3：设a

不在围线L

上，对整数n，证明：a

在C

的内部且n=1

其它

柯西积分定理Q=0取γ为圆周(2)a

在L

的内部区域D

：

(1)a

在L

的外部：围线变形原理在L

及其内部解析。存在a

的邻域两种方式计算围线积分参数积分练习：2.3柯西积分公式柯西定理求围线积分(1)若被积函数在围线L

上有原函数，则Q=0例：(2)若被积函数在围线L

内部

只有奇点a1,a2,…,ap，La2apa1在L

上解析，

充分小则对在闭圆盘|z−a|≤

解析的函数f(z)，

问题：计算围线积分例：(柯西积分公式)(洛朗级数展开or变量替换)被积函数在闭圆盘|z−a|≤

只有奇点a等式右边的模1.柯西积分公式定理：若f(z)在围线L

的内部D

解析，在DL连续，aD，则(围线变形原理)(柯西型积分)证明：0(连续性)(1)圆周|z+2|=2；(2)圆周|z|=2

例1：计算，其中C

为：解：(1)被积函数在围线内部只有一个奇点

柯西积分公式的前提条件：练习：(2)复连通区域的柯西积分定理柯西积分公式

另解：分式分解a

在C

的内部a

在C

的外部(1)(2)定理：若函数f(z)在围线L

的内部区域D

解析，

在DL

上连续，则f(z)

在D中的任一点

a

都2.解析函数的任意阶导数无穷可微，n

阶导数围线变形原理取D的闭圆盘证明：n=1时在C

上0需证明n=2时，一阶导数公式0需证明一般情形(2010级尤宏杰)：设f(z)的导数在

围线L上解析，a在L

的内部，nN，则证明：两边沿L积分(分部积分)例2：计算解1：柯西导数公式中取a=0,n+1=4,f(z)=ez

解2：分部积分外边界、L1,…,Lm,γ为内边界设区域

E

的外边界为围线L0，内边界为围线L1,

…,Lm，

f(z)在E

上解析，在EE

上连续，证明：在以L0为的区域解析a

E，则3.复连通区域的柯西公式区域解析，无界区域的柯西公式：a

在L

的外部，设f(z)在围线L及其外部则4.柯西公式的推论(1)解析函数无穷可微，在围线L

内部任一点的

值及其导数可用它在边界上的值表示。

对比：实变函数存在一阶导函数不能保证

二阶可导，如

莫雷拉定理：

若f(z)在区域

D

上连续，对D

内任意

围线的积分为零，则它在D

上解析原函数存在定理+解析函数无穷可微(2)圆周上的柯西公式(平均值定理)：柯西不等式：取n=0：