高考数学大一轮复习复数理苏教版

高考数学大一轮复习复数理苏教版第1页/共83页1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做

，b叫做

.(i为虚数单位)实部虚部第2页/共83页(2)分类：

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔

a＋bi为虚数⇔a＋bi为纯虚数⇔b＝0b≠0a＝0且b≠0第3页/共83页(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔

(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔

(a，b，c，d∈R).(5)模：向量

的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c，且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|第4页/共83页2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点

及平面向量

＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈RZ(a，b)(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i第5页/共83页第6页/共83页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(

)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(

)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(

)(4)原点是实轴与虚轴的交点.(

)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(

)×××√√返回第7页/共83页题号答案解析1234

Enter－1－i2＋4iB5第8页/共83页解析第9页/共83页解析第10页/共83页题型一复数的概念思维点拨解析思维升华第11页/共83页若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数.题型一复数的概念思维点拨解析思维升华第12页/共83页题型一复数的概念思维点拨解析思维升华1第13页/共83页处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.题型一复数的概念思维点拨解析思维升华1第14页/共83页思维点拨解析思维升华例1

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的___________条件.第15页/共83页直接根据复数相等的条件求解.思维点拨解析思维升华例1

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的___________条件.第16页/共83页所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件.思维点拨解析思维升华例1

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的___________条件.充分不必要第17页/共83页例1

(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的___________条件.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.思维点拨解析思维升华充分不必要第18页/共83页跟踪训练1

(1)(2013·安徽改编)设i是虚数单位.若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________.解析

(1)a－

＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－

为纯虚数知a＝3.3第19页/共83页(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的___________条件.解析当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件.充分不必要第20页/共83页思维点拨解析思维升华例2计算：(1)＝______；题型二复数的运算第21页/共83页复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算.思维点拨解析思维升华例2计算：(1)＝______；第22页/共83页例2计算：(1)＝______；3－3i思维点拨解析思维升华第23页/共83页例2计算：(1)＝______；(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.思维点拨解析思维升华3－3i第24页/共83页例2计算：(1)＝______；思维点拨解析思维升华3－3i(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.第25页/共83页例2计算：(1)＝______；思维点拨解析思维升华3－3i②i(a＋bi)＝－b＋ai.③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.第26页/共83页思维点拨解析思维升华第27页/共83页复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算.思维点拨解析思维升华第28页/共83页－1＋i思维点拨解析思维升华第29页/共83页思维点拨解析思维升华－1＋i(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.第30页/共83页(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.思维点拨解析思维升华－1＋i第31页/共83页②i(a＋bi)＝－b＋ai.③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.思维点拨解析思维升华－1＋i第32页/共83页跟踪训练2

(1)(2014·广东改编)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝________.解析方法一由(3＋4i)z＝25，3－4i第33页/共83页跟踪训练2

(2)(2014·北京)复数

2＝________.－1第34页/共83页例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：题型三复数的几何意义思维点拨解析思维升华第35页/共83页结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：题型三复数的几何意义第36页/共83页思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：题型三复数的几何意义第37页/共83页因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：题型三复数的几何意义第38页/共83页思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：第39页/共83页结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：第40页/共83页思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：第41页/共83页因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：第42页/共83页思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(3)B点对应的复数.第43页/共83页结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(3)B点对应的复数.第44页/共83页即B点对应的复数为1＋6i.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(3)B点对应的复数.第45页/共83页因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维点拨解析思维升华例3

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(3)B点对应的复数.第46页/共83页跟踪训练3

(1)(2014·重庆改编)在复平面内复数z＝i(1－2i)对应的点位于第________象限.解析

∵复数z＝i(1－2i)＝2＋i，∵复数z的实部2>0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.一第47页/共83页(2)已知z是复数，z＋2i、

均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.第48页/共83页由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，∴实数a的取值范围是(2,6).第49页/共83页典例：已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想温馨提醒规范解答思维点拨第50页/共83页(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒规范解答思维点拨第51页/共83页解设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，温馨提醒规范解答思维点拨第52页/共83页温馨提醒规范解答思维点拨第53页/共83页(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.返回温馨提醒规范解答思维点拨第54页/共83页方法与技巧1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.3.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.第55页/共83页方法与技巧复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即第56页/共83页方法与技巧第57页/共83页失误与防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.3.两个虚数不能比较大小.第58页/共83页失误与防范4.利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立.返回第59页/共83页23456789101第60页/共83页1.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.23456789101－1第61页/共83页34567891012－3－4i第62页/共83页245678910133.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

的点是________.第63页/共83页24567891013解析由题图知复数z＝3＋i，答案

H第64页/共83页235678910145第65页/共83页23467891015第66页/共83页23467891015答案

1－i第67页/共83页6.(2013·天津)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.23457891016解析

(3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.5－5i第68页/共83页23456891017第69页/共83页23456891017∴a＋b＝3.答案

3第70页/共83页234567910188.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.解析

z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.第71页/共83页234567810199.已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解

(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.第72页/共83页23456789110第73页/共83页23456789110∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.第74页/共83页234561第75页/共83页∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真