高考数学大一轮复习直接证明与间接证明理苏教版

高考数学大一轮复习直接证明与间接证明理苏教版第1页/共81页1.直接证明(1)综合法①定义：从

出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.已知条件③思维过程：由因导果.第2页/共81页(2)分析法①定义：从

出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.③思维过程：执果索因.问题的结论第3页/共81页2.间接证明

反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法.第4页/共81页证明步骤(1)反证——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.第5页/共81页适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.第6页/共81页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(

)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(

)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(

)(6)证明不等式

＋<＋

最合适的方法是分析法.(

)×√√×××返回第7页/共81页题号答案解析1234

Enterp≤q④②a≥0，b≥0且a≠b第8页/共81页解析第9页/共81页例1

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第10页/共81页取特殊值代入计算即可证明；例1

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第11页/共81页证明取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.例1

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第12页/共81页综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.例1

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华第13页/共81页例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第14页/共81页对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第15页/共81页解对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数.对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第16页/共81页任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2).∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第17页/共81页对于f(x)＝

，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第18页/共81页即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第19页/共81页综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第20页/共81页综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.例1

(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数.思维点拨解析思维升华第21页/共81页跟踪训练1

(2013·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；证明

由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.第22页/共81页跟踪训练1

(2013·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(2)＋

＋

≥1.第23页/共81页思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用第24页/共81页用分析法，移项，平方，化简.题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第25页/共81页题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第26页/共81页题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第27页/共81页题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第28页/共81页题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第29页/共81页(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第30页/共81页(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华第31页/共81页证明

因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6<a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.第32页/共81页因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab<3(a2＋b2).而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，第33页/共81页例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；题型三反证法的应用解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝

an，第34页/共81页思维点拨解析思维升华例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.第35页/共81页证明(2)用反证法，假设存在三项，符合条件推出矛盾.例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第36页/共81页证明

反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第37页/共81页所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第38页/共81页(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第39页/共81页(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.例3

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华第40页/共81页跟踪训练3

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋

，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；第41页/共81页(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第42页/共81页∵p，q，r∈N*，∴p＝r，与p≠r矛盾.∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.第43页/共81页典例：(14分)已知数列{xn}满足x1＝

，xn＋1＝

，求证：0<xn＋1－xn<.思想与方法系列20放缩有“度”，巧证不等式温馨提醒规范解答思维点拨第44页/共81页思维点拨温馨提醒先证0<xn<1，再求xn＋1－xn的表达式，利用不等式放缩得出结论.规范解答第45页/共81页证明由条件可知数列{xn}的各项均为正数，故由基本不等式，得xn＋1＝

≤＝1，2分

若xn＋1＝1，则xn＝1，这与已知条件x1＝

矛盾.所以0<xn<1，6分

思维点拨温馨提醒规范解答第46页/共81页12分

思维点拨温馨提醒规范解答第47页/共81页14分

因上述两个不等式中等号不可能同时成立，思维点拨温馨提醒规范解答第48页/共81页(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.思维点拨温馨提醒规范解答第49页/共81页(2)本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦.第一次是利用基本不等式，将xn＋1－xn转化为常数，根据已知验证可判定出0<xn<1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项，分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致.在此步骤中，因两个等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕.返回思维点拨温馨提醒规范解答第50页/共81页方法与技巧1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.第51页/共81页失误与防范1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.返回第52页/共81页23456789101第53页/共81页23456789101即a<b.答案

a<b第54页/共81页34567891012∴P2<Q2，∴P<Q.P<Q第55页/共81页24567891013第56页/共81页③欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，24567891013即ab≤1，由①知成立.答案

①③④第57页/共81页23567891014第58页/共81页23567891014即a＝b＝1时，取“＝”.答案

4第59页/共81页234678910155.(2014·山东改编)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是_________________________.解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.方程x3＋ax＋b＝0没有实根第60页/共81页6.下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使

＋

≥2成立的条件的个数是________.234578910163第61页/共81页7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________.23456891017解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有

个“整数对”，第62页/共81页注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7).23456891017答案

(5,7)第63页/共81页23456791018第64页/共81页解析

∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π).23456791018第65页/共81页23456781019证明

∵a⊥b，∴a·b＝0.平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立.故原不等式得证.第66页/共81页10.已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝

，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；23456789110证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.第67页/共81页23456789110(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立.故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.第68页/共81页23451A≤B≤C第69页/共81页2.(2013·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}.若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是________.①