高中物理竞赛静电场讲义

高中物理竞赛静电场讲义第1页/共115页第一讲静电场一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动二、电场强度叠加原理高斯定理及其应用三、电势电势叠加原理带电体系的静电能电场能量四、有导体时的静电场问题五、电容器六、电介质的极化和极化电荷极化强度电位移矢量有介质时的高斯定理第2页/共115页一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动1、定律表述和公式（注意：静止、真空、点电荷）ε0=8.85×10-12C2·N-1·m-2

(F/m)称为真空电容率。K=1/4πε0静止:两电荷相对于观察者静止。真空:在电介质中公式要修正。点电荷：电荷线度与电荷间距比较。第3页/共115页2、库仑力的求算（注意：矢量性、叠加原理）。叠加原理:例

如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电量为q。圆环轴线上与环心相距x处有一点电荷，电量为Q。求点电荷Q与圆环电荷的相互作用力。第4页/共115页

解：在圆环上取一小段Δl，其上电荷量为当Δl足够小时，Δq与Q间的作用力为第5页/共115页例在光滑的水平桌面上，三个相同的不带电小球，由三根劲度系数相同的轻质弹簧连接构成等边三角形，弹簧的原始长度为

l0＝9cm。若让每个小球带上相同电量q＝1.8μC，三角形的面积增大到原来的四倍时达到新的平衡（见图（a））。设弹簧是绝缘的，试求：（1）弹簧的劲度系数k的值；

(2)在三角形中心0点放第四个小球Q

(见图（b））

，它带多少电荷才能使弹

簧的长度恢复至原始长度；

(3)在(2)题情况下，过三角形中心O，

作垂直于三角形平面的垂线，将电量

q0=1C的点电荷置于垂线上的P点(见

图（C）），OP距离为h＝15cm，q0

受力多少？第6页/共115页解（1）等边三角形面积增大为原来的四倍，三角形的边长增大为原来的两倍，即弹簧伸长量为l0，两点电荷间的库仑力等于弹簧的弹性力，即（2）设加Q后，弹簧长度恢复至原始长度，则q有：第7页/共115页（3）由对称性知，q0

受力沿OP方向代入数据求得第8页/共115页例

如图15-2所示，在x>0的空间各点，有沿x轴正方向的电场，其中，x≤d区域是非匀强电场，电场强度E的大小随x增大而增大，即E=bx.b为已知量(b>0)；在x>d的区域是匀强电强，场强E=bd.x<0的空间各点电场的分布与x>0的空间中的分布对称，场强的方向沿x轴的负方向．一电子(质量为m、电量为-e，e>0)。在x=2.5d

处沿

y

轴正方向以初速V

开始运动，求：

(1)电子的

x

方向分运动的周期；

(2)电子运动的轨迹与

y

轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离。解

3、带电体在库仑力作用下的运动。

第9页/共115页用d点的x和v代入前式得第10页/共115页例（B11Z4)如图所示，不计重力，空间有匀强电场E。质量均为m的小球A、B，A带电，q>0，B不带电。t=0时。两球静止，且相距L。AB方向与电场E方向相同。T=0时刻，A开始受静电力作用而运动。AB之间发生弹性正碰而无电荷转移。求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。

解法一：以B为参考系，A先做匀加速运动，

加速度为：

到第一次碰撞前A的速度为：

A开始运动到第1次碰撞所需时间为：

第1次碰撞到第2次碰撞所需时间为：

每2次碰撞间的时间间隔相同，所以第8次碰撞到第9次碰撞所需时间为第11页/共115页

解法二：A先做匀加速运动，加速度为：

A开始运动到第1次碰撞后，A静止，B以

速度v做匀速直线运动。A开始运动到第1次

碰撞所需时间为：

设第1次碰撞到第2次碰撞所需时间为T1，则

第12页/共115页这时

设第2次碰撞到第3次碰撞所需时间为T2，则

同理可得，第8次碰撞到第9次碰撞所需时间为第13页/共115页Ox例(30y)

如图所示,一质量为m、半径为R的由绝缘材料组成的薄球壳，均匀带正电，电量为Q,球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上。球壳内有一劲度系数为η的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处水平位置，其一端与球壳壁固连，另一端恰位于球心处。球壳上开有一小孔

C，小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远处的O点有一电量为Q（＞0）

、质量为m的点电荷P，它以足够大的初

速度v0

沿水平的OC方向开始运动。并知P能通过小孔C进入球壳内，不考虑重力和底座的影响。已知静电力常量为k。求P刚进入C孔到再由C孔出来所经历的时间。第14页/共115页解选初始时刻C的位置为坐标原点O，取坐标轴X轴（如图所示）。设P到达C孔时的速度为v1，球壳的速度为v2，由动量守恒和能量守恒得（1）（2）P进入球壳后，P和球都做匀速运动，相对速度为

。设经t1时间P与弹簧左端相碰，则有（4）由以上各式求得（3）第15页/共115页t1时刻开始，P与弹簧碰撞，弹簧被压缩，设弹簧的压缩量为X.设a1、a2

分别为P和球壳的加速度，则（5）P相对球壳的运动作简谐振动，其准频率和周期分别为（6）P压缩弹簧至与弹簧分离的时间为（7）P与弹簧完全弹性碰撞后速度变为v2，球壳变为v1，相对速度大小不变，故P与弹簧分离后运动到小孔的时间t3=t1。所以P进入C孔再返回C孔的总时间为（8）P相对球壳的运动方程为第16页/共115页例：劲度系数为k，原长度为L的绝缘轻弹簧两端各系一个带电小球，两小球的质量和电量分别为m1、q1

和m2、q2。空间加一均匀电场，电场强度为E。开始时两小球静止，弹簧沿电场方向放置。试求弹簧运动过程中弹簧的最大长度。(两小球间相互作用忽略不计)第17页/共115页设两球在质心系中平衡位置的坐标为x10、x20，则设在质心系中，某时刻m1、m2相对质心的坐标为x1、x2，则在质心系中两电荷受力为第18页/共115页(3)

、

则下面讨论三种情况：(1)、(2)、第19页/共115页二、电场电场强度叠加原理

高斯定理及其应用1、电场强度定义式:2、电场强度叠加原理：任何带电体的场强等于带电体上各部分电荷单独存在时场强的矢量和。点电荷的电场强度:第20页/共115页例：电偶极子的电场强度解：电偶极子的电偶极矩为：第21页/共115页第22页/共115页例：电荷均匀分布的半球面球心处的电场强度：电荷均匀分布的八分之一球面球心处的电场强度：第23页/共115页3．高斯定理及其应用高斯定理：在静电场中作一个闭合曲S(称之为高斯面)，取闭合曲面上的一面积元dS，若面积元dS处的场强为E，则点积叫做dS上的电通量。闭合曲面上所有面积元的电通量之和等于闭曲面内电荷量代数和的1/ε0倍。高斯定理的数学公式为利用高斯定理很容易求得下列几种电荷分布的电场强度公式：●半径为R的均匀带电球面的电场强度解：作与带电球面同心的、半径为r球形高斯面，由高斯定理得第24页/共115页（r>R）(r>0)因此有同理求得球内的电场强度为：●半径为R的均匀带电球体内外的电场强度第25页/共115页（r>R）（r≤R）第26页/共115页●半径R的无限长均匀带电圆柱面的电场强度（单位长带电荷λ）解：作与带电圆柱体共轴的、半径为r柱形高斯面，由高斯定理得则得（r≥R）（r＜R）第27页/共115页●半径R的无限长均匀圆柱体的电场强度（单位长带电荷λ）解：作与带电圆柱体共轴的、半径为r柱形高斯面，由高斯定理得则得（r≥R）第28页/共115页柱内（r<R）●由柱外电场强度公式知：线密度为λ的无限长直线电荷的电场强度为λ第29页/共115页●无限大均匀带电平面的电场强度（单位面积带电荷σ）。

解：作如图所示与平面垂直的、左右对称的

柱形高斯面。因电荷分布均匀，故平面两边的电场强度对平面是对称分布的，且是匀强电场。由高斯定理得第30页/共115页以上例题中的电荷分布都具有明显的对称性，对有些不具明显对称性的问题，利用高斯定理和叠加原理可求解。如第31页/共115页★再论电场强度叠加原理---以典型电荷分布的场强叠加例

（1）球外(r＞R)的场强第32页/共115页第33页/共115页式中(2)球内(r<R)的场强：球面内的场是沿Z轴负方向的匀强电场。

球面电荷分布为σ=σ0cosθ时，球面内的场强是匀强电场，球面外的场强是电偶极场。第34页/共115页1、电势电势差a点电势定义ab两点电势差电量为q的点电荷的电势：半径R、电量为q的均匀带电球面的电势：利用以上定义可求典型电荷分布的电势(r≥R)(r＜R)三、电势电势叠加原理带电体系的静电能电场能量将单位正电荷从a点移到无穷远处电场力做的功第35页/共115页2．电势叠加原理：（点电荷势的叠加、典型电荷势的叠加）

例：电偶极子电场中一点的电势第36页/共115页解：在带电圆环取一小段弧dl,其电量为：例：求半径R、电量为q的均匀带电圆环轴线上P点的电势。第37页/共115页例：真空中有5个电荷量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此相切于P点，球心分别为O1、O2、O3、O4、O5。求O5与O1间的电势差。

解：第38页/共115页例：如图，半径为R1和R2的两同心半球面均匀带电，电荷面密度分别为σ1和σ2。试求大半球底面上的电势分布上。(r≤R2)(R2＜r≤R1)解：

第39页/共115页例如图所示，真空中有4个半径为a

的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(r>>a)的正方形的四个顶点上，今让球

l

带电荷

Q

(Q>0)，然后用一根细金属丝，其一端固定于球

l

上，另一端依次分别与球

2，3，4和大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡．若金属丝上的电荷可忽略不计，试求流入大地电荷的表达式．1球碰2球：解1球碰3球，2球在对称位置，对1、3球的影响相同：故第40页/共115页1球碰4球，设1球带电Q1,4球带电Q4，则：解得：第41页/共115页设1球碰接地后的电量为q1：这时1球的电势U1=0，即流入大地的电流为：第42页/共115页例一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道水平放置，其半径为R，圆心在O点。一金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无磨擦地滑动，小珠P带电荷Q。已知在轨道平面内A点(OA＝a＜R)处放有一点电荷q，若在OA连线上某点上A’处放电荷q’，则给P一个初速度，它就沿轨道作匀速圆周运动。求A’离环心的距离b和电荷q’的值。解小珠作匀速圆周运动，说明小珠所受合力恒定，且指向环心O。这意味着轨道切向电场分量为零，也就是说，轨道上电势处处相等。设P为

圆环上的任意点（x,y），若点电荷q’放环内，环上的电势不可能处处相等，所以q’必须放在环外（如图所示）。第43页/共115页解法1：从环上任一点电场的切向分量为零来求解。由图知，q、q’在环上P点电场的切向分量分别为(1)第44页/共115页(2)(3)即(5)(4)由（4）式知q与q’符号相反。对（4）式两平方后再开三次方得第45页/共115页该方程应对任何θ角都成立，所以有(8)(7)(6)由（7）式，并考虑到q与q’，求得将（8）式代入（6）式，经化简后得(9)将（9）式代入（8）式得(10)第46页/共115页解法2：从环上电势处处相等来求解。环上电势处处相等，为简便起见，可设环上电势处处为零。则(11)(14)(12)(13)对（1）式两边平方得（2）式对任意θ角恒成立，故必有：(15)第47页/共115页

点电荷q在电场中a点的电势能：设无限远处为电势能零点，则电荷在a的电势能等于将电荷从该点移至电势能零点，电场力做的功，即静电力是保这守力，静电力做功与路径无关，只与起点、终点位置有关。则3、带电体系的电势能（静电能）①、两个点电荷的电势能(相互作用能)静电场环路定理第48页/共115页②、三个点电荷的相互作用能为③、N个点电荷的相互作用能：第49页/共115页棱边电荷配12对：面对角电荷线配12对：体对角线电荷配4对：总电势能：心角电荷配8对：例求图示点电荷系的电势能方法：1、公式；2、电荷两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。第50页/共115页④、带电体的电势能（静电能）：（电荷体分布）（电荷面分布）（电荷线分布）例半径R、电量为q的均匀带电球面的电势能解第51页/共115页例电偶极子在匀强电场中的电势能解设-q处的电势为U－、+q处的电势为U＋则偶极子的电势能为第52页/共115页两个质子和两个正电子分别固定在一边长为其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自约为电子质量(正电子质量)的说明:

带电粒子系统的相互作用能(将带电粒子从无限原处移到当前位置所其中为第个点电荷的电量，电荷在解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为的正方形的四个顶点上，速度的大小。质子质量倍。增加的能量)为为其它处产生的电势。例第53页/共115页

由于正电子质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足够远时，质子还基本保持原位，这样近似有最后，两个质子分开，有第54页/共115页例(27复)、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为Q和-Q（Q>0），半径分别为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O‘的连线MN沿竖直方向。在MN与两球面的交点B、O和C处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计,有一质量为m，带电荷量为q(q>0)的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛，设静电力常量为k，重力加速度为g。1．要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少?；2．要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少?解1．质点在A→B应作减速运动，设质点在A点的最小初动能为Ek0，则根据能量守恒有(1)(2)第55页/共115页2．质点在B→O的运动有三种可能情况：(1)(3)外球面在B点的场力？(2)(4)(5)(3)先减速，再加速，即有一平衡点D。

要略大一点第56页/共115页(6)质点能够到达O点的条件为(7)由(6)、(7)两式可得质点能到达O点的最小初动能为(8)要略大一点第57页/共115页

例(b13-10)如图所示，在水平O-xy坐标平面的第1象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度为E，沿着y轴方向的匀强电场。带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Ek0。P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一。

(1)试问P所带电荷是正的，还是负的?为什么?

(2)P所到位置可用该位置的x坐标来标定，

试在2R≥x≥0范围内导出P的动能Ek

随x

变化的函数。

(3)P在运动过程中受管道的弹力N也许是径向

朝里的(即指向圆心的)，也许是径向朝外的(即

背离圆心的)。通过定量讨论，判定在2R≥x≥0

范围内是否存在N径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在N径向朝外的x取值区域，若存在，请给出该区域。

第58页/共115页解（1）、设O点为电势能零点，则管内y=R处电荷q的电势能为由机械能守恒得所以电荷q是负电荷。则有（2）、设管内某点的坐标为（x,y)，t时刻q在该点的动能为Ek，因第59页/共115页所以（3）设电荷q在（x,y)点受管道的弹力为N，且指向轨道中心，则由机械能守恒得X=0时时第60页/共115页由上式知：电荷q在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。由对称性知：电荷q在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。第61页/共115页例(22决)

：电量为Q（＞0）的两个均匀带电圆环，环心在Z轴上，环面垂直于Z轴，坐标原点到环心O1、O2的距离都是D（D的大小可变）。

1、一质量为m、电量为q(>0)的带电粒子从Z＝－∞处沿OZ轴正方向射向两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能Ek随Z的变化图线，并求出与所画图线相应的D所满足的条件；

2、若粒子初始时刻位于坐标原点Z＝0处，现给粒子一沿Z轴方向的速度（大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。

解：1、Z轴上Z处的电势为第62页/共115页双峰时V（0）为极小值；单峰时V（0）为极大值。现在求双峰、单峰的条件。Z较小时有第63页/共115页略去z的3次以上的高次项得第64页/共115页由此可知：设粒子的初动能为Ek0，则粒子在Z轴上的动能为第65页/共115页2、也分两种情况讨论：⑴

两环在z轴上的电场强度为（1）第66页/共115页（2）（2）式代入（1）式得（2）第67页/共115页上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则

电场的总能量：该处单位体积内的电场能量就等于4、电场能量密度电场能量电场能量密度：电势能是定域在电场中的，有电场的地方就有能量。第68页/共115页例电量为Q、半径为R的均匀带电球体的电场能量电子经典半径第69页/共115页四、有导体时的静电场问题1．导体静电平衡的条件和性质导体表面附近的场强2．有导体时静电问题的处理方法法一：求σ

E、U第70页/共115页第71页/共115页

例

两个固定不动的理想导体板α和β平行近距离放置，分别带有电量-Q

和+q(Q>q>0)。另一与β板平行的理想导体板γ，质量为m，带电量为+Q，距β板距离为d，平板面积均为s。导体板γ从静止状态释放后能够自由运动，并与平板β发生完全弹性碰撞。忽略装置的边缘效应和重力，假设在两个板碰撞过程中，平板β和γ之间的电量有足够的时间重新分布。试求：(1)平板γ和平板β碰撞之前，各板上的电荷分布；（2）平板γ和平板β碰撞之前，α、β板

作用平板γ的电场强度

；(3)在碰撞后平板β和γ上的电量Qβ和

Qγ是多少；(4)平板γ在碰撞后距离β平板d

时的

速度v。第72页/共115页设平板γ碰撞前三板的电荷分布如图所示：则解(1)

第73页/共115页平板γ移动d,F1作的功：平板γ受电场力为：

(2)

第74页/共115页

(4）

平板γ碰撞后σ4、σ5

中和，则平板γ碰撞后,α、β在γ处的场强为γ板受力(3)第75页/共115页例

两块很大的导体薄板A、B平行放置构成一电容器，极板的间距为d,对电容器充电至两极间电势差为U中撤去电源.现在电容器两极间平行插入两块与极板等大、且不带电的导体薄板C、D，四块导体板两两之间间距均为d/3，如图所示．求相邻两导体板间的电势差；用导线连接C板与D板，然后撤去导线，再求各相邻两板间的电势差；再用导线连接A板与B板，然后撤去导线，则各相邻两板间的电势差是多大?第76页/共115页解(1)

(2)

(3)

第77页/共115页

。

求得第78页/共115页法二：镜像法

唯一性定理：电荷分布ρ给定，满足给定边界条件的解是唯一的。平面组合平面镜像第79页/共115页例：求像电荷的电量和离球心的距离b。球面镜像解：B点的电势为B点为球面上的任意点，即对任何α角上式恒等，故必有：第80页/共115页①求原电荷q受的力；②求A点的电场强度，当r>>a时A点电场的表达式，a取什么极限值时A点的

电场强度为零(球完全屏蔽q的电场)。③如图b所示，点电荷电量为q，质量为m，用长为L的细线悬挂着，悬挂点至球心的距离为l，不计重力。求电荷q小振动的频率。④求q与球面上电荷的相互作用静电能。图a图b例（G4

1）如图半径为R的接地导体球前有一点电荷q，他距球心的距离为a。第81页/共115页①感应电荷对q的作用力为：②A点的电场强度为：当r>>a时有当a趋于R时，A点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。第82页/共115页③A点的电场强度为：作用在q上的力为：

由右图知第83页/共115页单摆的运动方程为：当α很小时，β也很小，故：则：第84页/共115页④q与感应电荷的相互作用静能为第85页/共115页五、电容器1．电容器电容的计算计算公式：方法：设q̶̶

求ΔU

̶̶C=q/ΔU。εͦab单位长一段的电容平板电容器球形电容器圆柱形电容器第86页/共115页复杂电容电路:

(1)对称性分析，对称点可短路。简单电容电路:用电容串并联公式.串联:并联:第87页/共115页例

如图所示，两个相同无限电容器网络并联连接在A、B两点间。每一无限网络的结构是：从左边第一个电容器开始到电路中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右边，电路结构与左边电路结构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器，每个电容器的电容量都是C。试求:AB间的总电容CAB。解由电路的对称性知，上图电路可等效成下图电路，则第88页/共115页等比数列前n项和的公式：无穷递减等比数列前的和公式：第89页/共115页(2)星－三角变换YΔΔY2．电容器储能公式:第90页/共115页3．含源电容器电路问题求：1、电容上的电压和电量；2、若H点与B点短路，求C2的电量。例第91页/共115页解1、将图a电路压成平面图b，可看出电流通路为AEHGOBA。回路电流

以A点为电势零点，图中其余各点电势分别为各电容器上的电压和电量分别为第92页/共115页2、将H、B两点短路得两个分回路HGOBH和HEABH。HEABH回路中的电流为第93页/共115页例

(30j4)一个电路包含内阻为RE

、电动势为E的直流电源和N个阻值均为R的相同电阻。有N＋1个半径为r的相同导体球通过细长导线与电路连接起来，为消除导体间的互相影响，每个导体球外边都用半径为r0

（r0＞r）的同心接地导体薄球壳包围起来。球壳上有小孔容许细长导线进入但与球壳绝缘。如图所示。把导体球按从左向右的顺序依次编号为1到N＋1，所有导体起初不带电。将开关闭合，当电路达到稳定后，导体球上的总电量为Q，问：导体球的半径r是多少？已知静电力常量为k。第94页/共115页解：设第i个导体球的电量为Qi，则包围导体球的接地球壳内表面上的电量为－Qi，电荷都均匀公布，球与球壳间的电势差为（1）球壳接地，则第i个导体球的电势为（2）对（2）式求和得（4）（3）第95页/共115页对电路中的电流通路有（5）（6）（7）（8）将（6）式代入（3）式得由（7）式解得第96页/共115页例如图所示电路中，电容器

C1、C2、C3的电容值都是C，电源的电动势为ε，R1、R2为电阻，K

为双掷开关。开始时，三个电容器都不带电．先接通oa,再接通ob，再接通oa,再接通ob,

如此反复换向。设每次接通前都已达到静电平衡，试求：(1)当

S第

n

次接通o、b并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少?(2)当反复换向的次数

n

为无限多次时，在所有电阻上消耗的总电能是多少?第97页/共115页

通a1次C1C2C30通b1次通a2次通b2次通a3次通b3次解:1第98页/共115页第99页/共115页2、n→∞电源做的功，一半变成电容貯能，另一半在电阻上消耗。第100页/共115页4、RC电路暂态分析第101页/共115页第102页/共115页六、电介质的极化和极化电荷极化强度电位移矢量

1、电介质的极化和极化电荷有极分子：正负电荷作用中心不重合的分子。如H2O、NH3…..+-H+++-+H+H+N

NH3（氨）+--++OH+H++H2O第103页/共115页-++H2H+++-++H+H+