相似矩阵的性质及应用

-.z.华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2013年11月6日摘要：假设矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一局部的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，则这类问题就只能用定义或者假设而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：Thepropertiesandapplicationofsimilarmatri*Abstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatri*.Matri*forfurtherresearchistheconceptofsimilaritymatri*characteristics,andthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalizationmatri*tosimplifytheproblemstudy,whileothersmatri*cannotbesimilartoadiagonalmatri*,sothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Fore*ample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatri*;Jordan’snormalform;characteristicvalue;characteristicvector引言：矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。由于矩阵相似的应用围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论根底上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论根底等领域应用的实例并由此进展研究，也使这局部容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。1.矩阵相似的定义与根本性质1.1矩阵相似的定义设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.假设矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使,为A的n个特征值.令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即将式代入上式，即有或令或，则式可以写作比拟和两式可知，矩阵A和具有一样的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。由于矩阵和的特征值一样，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵"相似〞。于是：设、都是阶方阵，假设有可逆方阵，使，则称是的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进展运算称为对进展相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。1.2矩阵相似的一些根本性质：自反性：。对称性：则。传递性：及可得：。如果阶矩阵,相似，则它们有一样的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有一样的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)则，、、〔假设，均可逆〕、从而，有一样的特征值。5).假设A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由一样的特征多项式.6).A的属于同一特征值的特征向量的线形组合只要不是零向量,仍是对应的特征向量.7).A的属于不同特征值的特征向量线形无关.8).实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.9).假设是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.10).任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似.11).对n阶方阵A，以下三条等价:⑴A可对角化;⑵A有n个特征值〔重根按重数计〕，且r〔＞1〕重特征值;⑶A有n个线性无关的特征向量.12).对角化的根本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.1.3相似矩阵与假设尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的假设尔当标准形。由于假设尔当标准形的独特构造提醒了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。定义：形如的方阵称为阶假设尔当块。其中可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵。每个阶复矩阵都与一个假设尔当标准形相似，且这个假设尔当标准形在不计其中假设尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。2.相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程〔组〕的问题.因此,如何求解微分方程〔组〕是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.2.1将常系数线性微分方程组(2-1)写成矩阵形式(2-2)其中u=(,为系数矩阵,令(3-2)式的解u=,(2-3)即(=.将(2-3)式代入〔2-2〕得==,化简得,即(2-3)式中为A的特征值,*为对应的特征向量;假设A可对角化,则存在n个线性无关的特征向量于是得到(2-2)式的n个线性无关的特解.u=,u=,u=.它们的线性组合c+c+…+c,(2-4)(其中为任意常数)为(2-1)式的一般解,将(2-4)式改写成矩阵形式u=,记c=(),=()p=,则(2-1)式或(2-2)式有一般解(2-5)对于初值问题(2-6)解为(2-7)因为t=0代入(2-5)式得c=.例2解线性常系数微分方程组初始值为:解此题的初始值问题为其中,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵=,使.由(2-7)式,该初值问题的解为(2-8)其中(2-9)(2-10)将(2-10)式代入(2-9)式得(2-11)再将(2-11)式及代入(2-8)式得2.2对于阶线性齐次常系数微分方程(2-12)可令于是可得与方程(2-12)同解的方程组(2-13)式(2-13)可写成矩阵形式(2-14)其中,,于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程(2-15)解令于是(2-15)式可变成等价的方程组即其中,,可求得的特征值为，对应的特征向量分别为于是由上例知,从而其中为任意常数.3相似矩阵在现实生活中的应用例3.污染与环境开展的增长模型——开展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业开展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解设*是*地区目前的污染水平〔以空气或河湖水质的*种污染指数为测量单位〕,y是目前的工业开展水平〔以*种工业开展指数为测量单位〕,以5年作为一个期间,第个期间的污染和工业开展水平分别记为*和y,它们之间的关系是：t=1,2,…(3-1)记A=,,则(3-1)的矩阵形式为t=1,2,…(3-2)如果该地区目前〔亦称为基年〕的污染和工业开展水平=利用(3-2)就可以预测第k个期间该地区的污染和工业开展水平,这是因为由(3-2)可得这说明可通过求得,为此考察A能否对角化,计算出A的特征多项式.=||=由A有2个相异的特征值1和4知,A能对角化,所以可用性质来计算.对于,解可得A属于1的一个特征向量对于解可得A属于4的一个特征向量令有A=所以=(3-3)就是所要的预测结果,对不同的值代入(4-3)即可求得.例如：假设，有,(实际上此时就是属于4的特征向量,所以假设有这些都说明,尽管工业开展水平可以到达相当高的程度,但照此模式开展，环境污染不容无视.例4.人口流动模型——假设*省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个"稳定状态〞？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开场,第k年该省城的城镇人口和农村人口分别设为,,据题意有即则为计算,仍考察能否对角化.计算出的特征多项式由于有2个相异的特征值1和0.7知,能对角化,所以可用性质来计算.对于解可得属于1的一个特征向量;对于解可得属于0.7的一个特征向量.令,有,利用,可得从而有数列的极限为这说明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个"稳定状态〞:大约有为城镇人口,为农村人口.4.矩阵相似在代数方面的应用.例5.*实验性生产线每年一月份进展熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。求与的关系式并写成矩阵形式:=;验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；当时，求。解：〔1〕按题意有化简得对其用矩阵表示即为=，于是令，则由知，，线性无关。因。故为的特征向量，且相应的特征值。因，故为的特征向量，且乡音的特征值为。由于有=A====。由，有。于是有又，故=。因此有==完毕语本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我们获益非浅，一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是假设尔当标准型进而使问题研究简化。由于矩阵相似的性质特性决定其应用围相当广泛。比方其在微分方程、自动控制理论根底等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯穿起来。提高对相似矩阵深入的研究。参考文献[1]交通大学数学系主