三角函数的图像与性质专题训练

全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编(附详解)三角函数的图像与性质中的易错点一.学习目标.理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性..会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、j值、单调区间及周期..理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题.二.方法总结.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；⑵在满足(1)后，再看f(—x)与fx)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y=Asinmx或y=Atanex,偶函数一般可化为y=Acosex+b的形式..三角函数的单调性(1)函数y=Asin(ex+V)(A>0,e>0)的单调区间的确定，其基本思想是把n nex+9看作一个整体，比如：由2kn—<ex+@<2kn+(k£Z)解出x的范22围，所得区间即为增区间.若函数y=Asin(ex+9)中A>0,eV0,可用诱导公式将函数变为y=—Asin(—ex—9)，则y=Asin(—ex—9)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数y=Acos(ex+9),y=Atan(ex+9)等单调性的讨论同上.全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）⑵三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较..求三角函数的最值常见类型:(1)y=Asin(mx+利)+B或y=Atan®x+q)+B,(2)y=A(sinx—a)2+B,(3)y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx(其中A,B,a,beR,A^0,a和).三.函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四.典例分析（一）三角函数图象平移例1.为了得到函数 ’：一「的图象，只需将函数y=CosZjtxER图象上所全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）有的点（）3n 3nA,向左平行移动7个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度n nC,向左平行移动百个单位长度 D,向右平行移动口个单位长度【答案】B［分析］根据诱导公式将函数『二工变为正弦函数，再减去干得到二二三二;力-三：【解析】函数J=8三/=三二（功-］=二二小,-泊-1二二二故将画数图像上的点向右平移;巨个单位得到y=s：：-.；2.y-故答案为：B.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是

同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将X的系数提出来，针对X本身进行加减和伸缩.练习1.为了得到-一练习1.为了得到-一2：。2、的图像，只需把函数 .. .」的图像（7i nA.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度n nC.向左平移%个单位长度D.向右平移%个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得尸阚社然—一之加性以，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为'=」次"+弁「"忡+，要得到函数y=-2G,全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）n只需将的图象向右平移%个单位长度即可.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2.函数:一；的零点个数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知：’【详解】由已知：’,令/（门（），即,在同一坐标系中画出函数和,。…的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数小::的零点个数为2个，故选B.全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1.设函数”为定义域为“的奇函数,且：,.，当时，”“则函数.一 -一在区间上的所有零点的和为A.10B.8 C.16 D・20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数小图像关于原点对称，又由：，・可得函数小;图像关于直线对称，故而得出函数”是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数为定义域为"的奇函数，所以：--,又因为.1，1,・•,所以m—「，可得：:、，即函数小;是周期为4的周期函数，且"作）图像关于直线对称。

全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编(附详解)故：’'在区间上的零点，即方程…-的根，分别画出尸13g)|与y=八%)的函数图像，因为两个函数图像都关于直线」对称，因此方程「「「「的零点关于直线」对称，由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为则’.,' ・，所以所有零点和为8,故选B。<0练习2.设：‘、，则函数cD.是增函数A.有极值 B.有零点CD.是增函数【答案】D【解析】由xV0,求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x>0的单调性，即可判断正确结论.【详解】由xV0,f(x)=x-sinx,导数为f‘(x)=1-cosx,且f(x)>0,f(x)递增，f(x)>0；又x>0,f(x)=x3+1递增，且f(0)=1>0-sin0,故f(x)在R上递增；f(x)无极值和无零点，且不为奇函数.全国名校高考数学复习典型试题优质题型解题技巧汇编（附详解）故答案为：D练习3.已知：,--一，若函数"在93上有两个不同零点【答案】【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.【详解】函数」:，，在93上有两个不同零点,即函数/（匚；和y=m两个图像有两个不同的交点，做出函数y=sint,和y=m的图像,£. fit通过观察得到进而得到〃/.；=,''故答案为：；.（五）三角函数图象综合例5.函数fE= ”在［-n,不A.q B.i【答案】D【解析】由题易得函数f(x)是奇B、C,当0<x<兀时，fx)>0，2sinxf「3恋一］卜匚4:练习1.函数 -一A. B.Q三#C. 1 D.【答案】A