第四章弯曲应力

第四章弯曲应力1第1页，共36页，2023年，2月20日，星期三上一节学习了弯曲内力——弯矩、剪力（计算内力、画内力图）目的：为解决弯曲强度“铺路”

地球上的人造结构，弯曲现象最常见！

如何解决弯曲强度问题？2第2页，共36页，2023年，2月20日，星期三弯曲弯矩M剪力Q？拉（压）轴力N应力内力变形形式构件扭转扭矩T3第3页，共36页，2023年，2月20日，星期三一、纯弯曲弯曲正应力NormalstressinbendingbeamQM梁段横截面上内力切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是超静定问题

解决之前，先简化受力状态——理想模型方法横截面上正应力横截面上切应力yz4第4页，共36页，2023年，2月20日，星期三横力弯曲与纯弯曲横力弯曲——

剪力Q不为零（Bendingbytransverseforce）

例如AC,DB段纯弯曲——

剪力Q＝0且弯矩为常数（Purebending）

例如CD段5第5页，共36页，2023年，2月20日，星期三

以纯弯曲梁为对象研究横截面上的正应力分布规律1、静力平衡（不足）2、变形几何（补充）3、本构关系（沟通）

研究思路：温故——创新回忆拉压杆、圆轴扭转问题的研究6第6页，共36页，2023年，2月20日，星期三梁横截面上的静力平衡方程yzMzMydA正应力分布不清楚——正应力无穷个未知数3个方程解不出来静力不足变形补

——下面研究梁变形几何关系

7第7页，共36页，2023年，2月20日，星期三研究对象：等截面直梁研究方法：实验——观察——假定变形几何关系的建立8第8页，共36页，2023年，2月20日，星期三实验观察——梁表面变形特征以上是外部的情况，内部如何？想象——

梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短9第9页，共36页，2023年，2月20日，星期三10第10页，共36页，2023年，2月20日，星期三

总之，由外部去想象内部——得到

梁弯曲假设：横截面保持为平面——

变形后，仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度纵向各水平面间无挤压——

均为单向拉、压状态11第11页，共36页，2023年，2月20日，星期三

弯曲中梁的中性层neutralsurface——既不伸长又不缩短的纵面

截面的中性轴neutralaxis——中性层与横截面的交线12第12页，共36页，2023年，2月20日，星期三yzx直线段aa变为曲线弧长为：线应变为纯弯中，纵向线应变沿截面高度线性分布为曲率半径radiusofcurvature为曲率curvature13第13页，共36页，2023年，2月20日，星期三纯弯中，纵向线应变为：这是变形几何方程——对静力平衡方程的补充可是二者表达的变量并不相同，怎么办？

还是拉压、扭转给我们启迪：用本构关系

沟通静力平衡

方程和变形几何

方程

即采用郑玄（127-200）-胡克（R.

Hooke，1635-1702）定律14第14页，共36页，2023年，2月20日，星期三本构关系的运用梁截面上正应力1、沿y轴线性分布2、与z坐标无关3、与x坐标呢？（课后思考）什么地方最大，什么地方最小？为了从这个梁横截面（crosssection）应变分布得到正应力分布规律，启用本构关系zyX15第15页，共36页，2023年，2月20日，星期三体现了本构与变形代入静力方程中

yzMzMydA

纯弯曲梁正应力公式的得到

X16第16页，共36页，2023年，2月20日，星期三类似扭转切应力公式实验力学验证、弹性力学印证了公式的精确性非常成功！17第17页，共36页，2023年，2月20日，星期三注意——对弯曲应力线性分布的认识，得之不易伽利略（G.Galiieo,1564-1642）的研究中认为：弯曲应力是均匀分布的

（《两门新科学的对话》1638年出版）

因而得不到正确的公式大科学家有时也弄错18第18页，共36页，2023年，2月20日，星期三正应力计算公式适用范围横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度l与高度h之比大于5（即为细长梁）时弹性力学指出：上述公式近似成立截面惯性积Iyz=0推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面19第19页，共36页，2023年，2月20日，星期三

方法总结（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2）“实验—观察—假设”法：梁弯曲假设（横、纵面）（3）白箱法（“层层剥笋”法）：外力内力平衡（力学）本构（物理）变形（几何）（4）超静定解法微分单元体积分应力合成内力横力弯曲应力（5）数学方法（多学科综合法）20第20页，共36页，2023年，2月20日，星期三二、弯曲正应力强度条件Strengthcriterionofnormalstressinbending称为截面抗弯模量，单位：m3,mm321第21页，共36页，2023年，2月20日，星期三强度条件宽b、高h的矩形直径为d的圆截面脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：轧制型钢（工字钢、槽钢等）的WZ从型钢表中查得22第22页，共36页，2023年，2月20日，星期三弯曲应力例题例1简支梁求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy3023第23页，共36页，2023年，2月20日，星期三Mx+M1Mmax2求应力解：1画M图求有关弯矩12120180zy30q=60kN/mAB1m2m1124第24页，共36页，2023年，2月20日，星期三3求曲率半径25第25页，共36页，2023年，2月20日，星期三例2外伸梁T形梁截面，用铸铁制成，校核梁的强度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP＝20kN2m2m26第26页，共36页，2023年，2月20日，星期三解：（1）梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/mADBEP＝20kN5kN35kNADBE10kN*m20kN*m(-)(+)包含反力的全部外载荷画弯矩图：可省去制表危险截面：B,D？27第27页，共36页，2023年，2月20日，星期三（2）找出危险截面上的危险点危险点：a,b,dCy2y1ADBE10kN*m20kN*m(-)(+)B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力28第28页，共36页，2023年，2月20日，星期三（3）计算危险点应力校核强度最大压应力：最大拉应力：梁的强度符合要求B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力29第29页，共36页，2023年，2月20日，星期三思考题1、弯矩和剪力分别由什么应力组成?2、研究梁的正应力的基本思路是什么？

3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么？30第30页，共36页，2023年，2月20日，星期三6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围

可否推广到一般梁？31第31页，共36页，2023年，2月20日，星期三正应力公式仍然适用假定切应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式不再用变形、物理和静力关系进行推导7.3弯曲切应力及其强度条件纯弯曲（M＝const.,Q=0)

——只有正应力，无切应力横力弯曲(M,Q均不为零）——一般情况，有正应力和切应力研究方法研究对象矩形梁截面工字形梁截面圆形梁截面其它形状32第32页，共36页，2023年，2月20日，星期三矩形梁截面上的切应力假定：截面上各点切应力方向与Q方向一致切应力研截面宽度方向均匀分布。弹性力学指出：对于h>b的矩形截面上述假定足够准确剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？33第33页，共36页，2023年，2月20日，星期三矩形梁截面上的切应力取微梁段dx，左截面

mm，右截面nn应力分布如图切应力沿截面高度分布未知，沿截面宽度方向均匀分布mnmn