第十三章 材料力学 能量法

第十三章材料力学能量法1第1页，共113页，2023年，2月20日，星期四

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4单位荷载法莫尔定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6计算莫尔积分的图乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2第2页，共113页，2023年，2月20日，星期四§13-1概述（Introduction）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法（Energymethods)三、变形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.3第3页，共113页，2023年，2月20日，星期四可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4第4页，共113页，2023年，2月20日，星期四§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、杆件变形能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.轴向拉压的变形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)5第5页，共113页，2023年，2月20日，星期四FFllFlFOll1dl1dF1F1积分得:6第6页，共113页，2023年，2月20日，星期四根据功能原理当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下变形能表达式7第7页，共113页，2023年，2月20日，星期四（单位J/m3)比能（strainenergydensity）:单位体积的应变能.记作u当轴力或截面连续变化时：8第8页，共113页，2023年，2月20日，星期四2.扭转杆内的变形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9第9页，共113页，2023年，2月20日，星期四纯弯曲（purebending)横力弯曲（nonuniformbending）3.弯曲变形的变形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe10第10页，共113页，2023年，2月20日，星期四4.组合变形的变形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.5.纯剪切应力状态下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动dx.11第11页，共113页，2023年，2月20日，星期四dxdydzxyzabd因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功.只有右侧面的外力（dydz）对相应的位移dx

作了功.dx当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为比能为12第12页，共113页，2023年，2月20日，星期四

将=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圆杆扭转时应变能的计算13第13页，共113页，2023年，2月20日，星期四将代入上式得14第14页，共113页，2023年，2月20日，星期四

二、变形能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy）F--广义力(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.15第15页，共113页，2023年，2月20日，星期四对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.16第16页，共113页，2023年，2月20日，星期四在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii17第17页，共113页，2023年，2月20日，星期四三、变形能的应用（Applicationofstrainenergy）1.计算变形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理计算变形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得18第18页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19第19页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题3试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：ABFORθ由Vε=W得20第20页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题4拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI,受到F1和F2两个力作用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F221第21页，共113页，2023年，2月20日，星期四（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移为外力作功为（b）再在C上加F2F2C截面的位移为F2作功为22第22页，共113页，2023年，2月20日，星期四（c）在加F2

后,B截面又有位移在加F2过程中F1作功（常力作功）所以应变能为ABCabF1F223第23页，共113页，2023年，2月20日，星期四（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）

在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F224第24页，共113页，2023年，2月20日，星期四（c）加

F1引起C截面的位移在加F1过程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以应变能为注意：（1）计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.25第25页，共113页，2023年，2月20日，星期四2解:梁中点的挠度为:梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2梁的变形能为:1例题5以弯曲变形为例证明应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.26第26页，共113页，2023年，2月20日，星期四先加力F后,再加力偶Me（1）先加力F后,C点的位移力F所作的功为（2）力偶由零增至最后值MeB截面的转角为力偶Me

所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127第27页，共113页，2023年，2月20日，星期四先加上的力F所作的功为C截面的位移为3ACBl/2l/2F与力偶Me所作的功为ACBFl/2l/21Me28第28页，共113页，2023年，2月20日，星期四两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力1,2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-3互等定理（ReciprocalTheorems)12F1F229第29页，共113页，2023年，2月20日，星期四F1F212F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用有力F3,F4沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3和F4完成的功应为30第30页，共113页，2023年，2月20日，星期四（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´31第31页，共113页，2023年，2月20日，星期四F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故32第32页，共113页，2023年，2月20日，星期四功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一组力F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有33第33页，共113页，2023年，2月20日，星期四位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（Notice）（1）力和位移都应理解为广义的.（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.34第34页，共113页，2023年，2月20日，星期四§13-4单位荷载法莫尔定理（Unit-loadmethod&mohr’stheorem）一、莫尔定理的推导（Derivationofmohr’stheorem）求任意点A的位移wA

F1F2A35第35页，共113页，2023年，2月20日，星期四

A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先在A点作用单位力F0,再作用F1、F2力36第36页，共113页，2023年，2月20日，星期四（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能:37第37页，共113页，2023年，2月20日，星期四（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式的莫尔定理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.38第38页，共113页，2023年，2月20日，星期四三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）39第39页，共113页，2023年，2月20日，星期四A例题5抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度wC和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解:在实际荷载作用下,任一x截面的弯矩为40第40页，共113页，2023年，2月20日，星期四AAB11/21/2C（1）求C截面的挠度在C点加一向下的单位力,任一x截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/241第41页，共113页，2023年，2月20日，星期四ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/242第42页，共113页，2023年，2月20日，星期四B例题6图示外伸梁,其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a43第43页，共113页，2023年，2月20日，星期四BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在C处加一单位力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244第44页，共113页，2023年，2月20日，星期四BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx145第45页，共113页，2023年，2月20日，星期四BABC:AB:（2）求C截面的转角（在C处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46第46页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题7刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出.不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B截面的转角.aABCFlEI1EI2解:（1）计算A点的垂直位移,在A点加垂直向下的单位力BClEI1EI2a147第47页，共113页，2023年，2月20日，星期四AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48第48页，共113页，2023年，2月20日，星期四（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149第49页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题8图示刚架,两杆的EI和EA分别相同,试求C点的水平位移.CFabAB解:在C点加一水平单位力1abBAC50第50页，共113页，2023年，2月20日，星期四Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51第51页，共113页，2023年，2月20日，星期四Fab1abxxABBACCxx52第52页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题9图示为一水平面内的曲杆，B处为一刚性节点，ABC=90°在C处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是EI和GIp，求C点竖向的位移.ABCFab53第53页，共113页，2023年，2月20日，星期四xx解:在C点加竖向单位力BC:ABCFabABC1abxxAB:54第54页，共113页，2023年，2月20日，星期四xxABCFabABC1abxx55第55页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题10由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是EI,试用单位载荷法求A1,A2两点的相对位移.A1A2BCllFF56第56页，共113页，2023年，2月20日，星期四x解：在A1,A2处加一对水平单位力.B,C两支座的反力均为零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157第57页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题11刚架受力如图,求A截面的垂直位移,水平位移及转角.ABCllq58第58页，共113页，2023年，2月20日，星期四AB：BC：解:求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）xxxxABCllqABCllq159第59页，共113页，2023年，2月20日，星期四求A点水平位移（在A点加水平单位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160第60页，共113页，2023年，2月20日，星期四xx求A点的转角（在A点加一单位力偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61第61页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题12图示为一简单桁架,其各杆的EA相等.在图示荷载作用下A、C两节点间的相对位移.FaaFABCDE132456789a62第62页，共113页，2023年，2月20日，星期四FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位荷载法为1163第63页，共113页，2023年，2月20日，星期四12345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C两点间的距离缩短.64第64页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题13计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)65第65页，共113页，2023年，2月20日，星期四BARPF(b)BARP1(c)解：OO66第66页，共113页，2023年，2月20日，星期四213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相应的位移为：

1,

2,,

i

,§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3结构的变形能67第67页，共113页，2023年，2月20日，星期四只给Fi一个增量

Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用Fi的过程中,Fi完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为68第68页，共113页，2023年，2月20日，星期四如果把原来的力看作第一组力,而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当Fi

趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem）（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）69第69页，共113页，2023年，2月20日，星期四（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明（Directions）：（2）Fi为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移70第70页，共113页，2023年，2月20日，星期四（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉伸与压缩（b）扭转（c）弯曲71第71页，共113页，2023年，2月20日，星期四（4）平面桁架（5）组合变形72第72页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题14外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.FABCMelaFRA73第73页，共113页，2023年，2月20日，星期四AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74第74页，共113页，2023年，2月20日，星期四ABClaFRAFx1x2Me（）75第75页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题15刚架结构如图所示.弹性模量EI已知。材料为线弹性.不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虚设一力偶Ma,

在D截面虚设一水平力F.FRDFRAxFRAyMaF76第76页，共113页，2023年，2月20日，星期四CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF77第77页，共113页，2023年，2月20日，星期四2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78第78页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题16圆截面杆ABC,（ABC=90°）位于水平平面内,已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G.求C截面处的铅垂位移.不计剪力的影响.ABCllq79第79页，共113页，2023年，2月20日，星期四BC:弯曲变形ABlQMBxABCllqFxxAB:弯曲与扭转的组合变形（扭转变形）（弯曲变形）80第80页，共113页，2023年，2月20日，星期四81第81页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题17图示刚架各段的抗弯刚度均为EI.不计轴力和剪力的影响.用卡氏第二定理求截面D的水平位移D

和转角D

.MaxF1FABCDll2l解:在D点虚设一力偶矩MaCD:弯曲变形82第82页，共113页，2023年，2月20日，星期四但是轴力不计,因此横截面上的内力只计弯矩.F1ABCF2FlMa将力F向C简化得：力F（产生拉伸变形）力偶矩2Fl（产生弯曲变形）Ma（产生弯曲变形）AC产生拉伸与弯曲的组合变形.横截面上的内力有轴力和弯矩.F1xFABCDll2lMa将Ma向C简化得:83第83页，共113页，2023年，2月20日，星期四xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84第84页，共113页，2023年，2月20日，星期四§13-6计算莫尔积分的图乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面只需计算:85第85页，共113页，2023年，2月20日，星期四

因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86第86页，共113页，2023年，2月20日，星期四ωxCCM(x)xxl设在杆长为l的一段内M（x）图是曲线设直线方程是M(x)是直线,为l段内图M(x)的面积ω87第87页，共113页，2023年，2月20日，星期四M(x)xlxωxCCC为图M(x)的形心,xC为其坐标为图M(x)对y轴坐标的静矩是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.88第88页，共113页，2023年，2月20日，星期四M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积w

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为正弯矩时,w应代以正号.当M图为负弯矩时,w应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.MC注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)89第89页，共113页，2023年，2月20日，星期四b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线90第90页，共113页，2023年，2月20日，星期四lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/491第91页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题18均布荷载作用下的简支梁,其EI为常数.求跨中点的挠度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以图的转折点为界,分两段使用图乘法.M(x)C1C292第92页，共113页，2023年，2月20日，星期四ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293第93页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题19图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷q及集中力F作用.用图乘法求:（1）集中力作用端挠度为零时的F值；（2）集中力作用端转角为零时的F值.FCABalq94第94页，共113页，2023年，2月20日，星期四FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95第95页，共113页，2023年，2月20日，星期四

例题20图示开口刚架,EI为常数.求A和B两截面的相对角位移qAB和沿F力作用线方向的相对线位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96第96页，共113页，2023年，2月20日，星期四解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97第97页，共113页，2023年，2月20日，星期四例题21图示刚架,EI为常数.求A截面的水平位移ΔAH和转角qA.BAaaq98第98页，共113页，2023年，2月20日，星期四aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299第99页，共113页，2023年，2月20日，星期四C例题22

拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知:E=210GPa,G=0.4E,求B点的垂直位移.5A300B500=1F01020

解:（1）画单位载荷图C5A300B500=60kNF