2019-2020年高考数学大题专题练习立体几何(二)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(二)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(二)//2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(二)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（二）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DABDBF60，且FA=FC.（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.如图（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD，且BCCD，AB2，F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，现将ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．（1）求证：平面FHG∥平面ABE；（2）若4BC，求二面角D-AB-C的余弦3值．1如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB平面oABCD,ADPBC,ABC90,PAPB3,BC1,AB2,AD3,O为AB的中点.（1）证明:POCD；（2）求二面角CPDO的余弦值.以下列图的几何体中，ABC11为三棱柱，且AA平面ABC1，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，0ADC60.（1）求证：1D//平面C；（2）若AA1AC，求证：1平面1CD；（3）若CD2，二面角A1DC的余弦值为若55，求三棱锥CACD的体积．112如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，可否存在折叠后的线段AD上存在一点P，且APPD，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明原由．（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．FADBAFDBECEC已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.（1）证明：PF⊥DF；（2）在线段上可否存在点，使得EG∥平面PFD？若存在，确定点G的地址；若不存在，说明原由.（3）若PB与平面ABCD所成的角为求二面角A-PD-F的余弦值.3以下列图，在直三棱柱ABC－AB1C1中，CA＝4，CB＝4，CC＝22，∠ACB＝90M在线段1B1上.(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和AC所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30M的地址．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90（Ⅰ）求证：AC⊥FB（Ⅱ）求二面角﹣FB﹣C的大小．4如图，在四棱锥PABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB4，AD2，PAPD，且平面PAD平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.（1）求证：l∥EF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为22121，求PAEB的余弦值.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=12BC=1，E是PC的中点，面⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面；（Ⅱ）若PC=2，3，求二面角﹣PC﹣D的余弦值．5如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90BAC=∠CAD=60⊥平面ABCD，=2，AB=1．（1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面；（2）线段PD上可否存在一点N，使得直线CN与平面C所成的角155？若存在，试确定点N的地址，若不存在，请说明原由．如图，已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，AEBE2（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD.（2）求二面角A-EC-D的余弦值.6如图，在三棱锥P-ABC中，侧面B为边长为22的正三角形，底面ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的的余弦值.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60PB=PD=2，ACBD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且BE与平面PAC所成的角的正切值为63，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．7如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD2BC2,BADABC90.（1）证明：PCBC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为面角BPCD的余弦值.如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PBAB.（1）证明：平面PBC平面PCD；o，PBAB，PBBC，求二面角（2）若异面直线PC与BD所成角为60BPDC的大小.8如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BAD，ABPD2，3PBPC2.（1）求证：平面PBC平面ABCD；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB//EF，AB2，ADAF1，0BAF60,O,P分别为AB,CB的中点，M为底面OBF的重心.（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值.9如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB//CD，CDAD，ADCD2AB2，E，F分别为PC，CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE平面BEF；（Ⅱ）设PAa，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,43，求a的取值范围．以下列图ABCD中，AD//BC，ADDCAB，ABC60，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上.（Ⅰ）求证：平面ACD平面ABD；（Ⅱ）求二面角GACD的平面角的余弦值.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，PAPB，E为AC的中点.（1）求证：PEAB；（2）设平面PAB平面ABC，PBBC2，AC4，求二面角BPAC的平面角的正弦值.如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面PAB，PAC为等边三角形，ABPB且ABPB2，O为PA的中点，点M在AC上.（1）求证：平面BOM平面PAC；（2）求点P到平面ABC的距离.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，BAD90，PAADAB2BC2，M为PB的中点，平面ADM交PC于N点.（1）求证：PBDN；（2）求二面角PDNA的余弦值.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，获取几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角﹣CD﹣M的余弦值．已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF翻折至使二面角B﹣EF﹣C的所成角为°（Ⅰ）求证：CE∥面ADB′（Ⅱ）求直线ABFECD所成角的正弦值PMDCAB如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PDCD4，AD2．（1）求AP与平面CMB所成角的正弦．（2）求二面角MCBP的余弦值．试卷答案（）设AC与BD订交于点O，连接FO，∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，且O为AC中点，∵FAFC，∴ACFO,又FOBDO，∴AC平面BDEF.（2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且DBF60，∴DBF为等边三角形，∵O为BD中点，∴FOBD，又ACFO，∴FO平面ABCD.∵OB,OF两两垂直，∴成立空间直角坐标系Oxyz，以下列图，设AB2，∵四边形ABCD为菱形，DAB60，∴BD2,AC23.∵DBF为等边三角形，∴OF3.∴A3,0,0,B0,1,0,C3,0,0,F0,0,3，∴AF3,0,3,CF3,0,3,CB3,1,0.r设平面BCF的法向量为nz，则rCFn0r，CBny0r取x1，得n1,3,1.设直线AF与平面BCF所成角为，则rsincosAF,nurAFn10r.5AFn（）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形，如图（乙），∵F、H、G分别为、AD、DE的中点，∴FH//CD,HG//AE．∵CD//BE，∴FH//BE．∵BE面ABE，FH面ABE．∴FH//面ABE．同理可得HG//面ABE，又∵FHHGH,∴平面FHG//平面ABE．（2）4BC这时32AC，3从而2225ABACBC，3过点C作CMAB于M，连接MD．∵CDAC,CDBC,ACBCC，∴CD面ABC．∵CM面ABC，∴CMCD∴AB面MCD，∵MD面MCD，∴ABMD，∴CMD是二面角DABC的平面角，24由ABCMACBC得CMACBCAB332534515，∴2246MDMCCD，3545在RtMCD中cosCMDMCMD1546666．解：（）联系PO,因为PAPB3,O为AB的中点,所以POAB.又平面PAB平面ABCD,交线为AB,PO平面PAB,所以PO平面ABCD.又CD平面ABCD,所以POCD.o所以（2）取线段CD的中点E,OE，OEPBC,因为ABC90,ABBC,ABOE.由（）知,PO平面ABCD.故可以O为原点,射线OB,OE,OP分别为轴,轴,z轴的正半轴成立空间直角坐标系O则O(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,22),D(1,3,0).u于是CP(1,1,22),CD(2,2,0),OP(0,0,22).设平面CPD的一个法向量为m(x,y,z),由mCP0,mCD0得111xy22z01112x2y011,令11,得m(2,2,1).设平面OPD的法向量为n(x,y,z),由nOP0,nOD0得22222z02x3y022,x23,得n(3,1,0).令所以mn424cosm,n.mn5105易知二面角CPDO的平面角为锐角所以二面角CPDO的余弦值为45.（）【证明】连BC1交C于M点，连BD交AC于N点，则MN平面ABC1.由平几知：M为BC1的中点，N为BD的中点，即MN为BC1D的中位线.MN//C1D.又1D平面AB1C,1D//平面C.⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）【证明】Q1平面ABCD,AC平面ABCD,AA1AC,AA1CD.又QAAAC知AACC为正方形ACAC.1,11,11在ACD中由余弦定理知：222AC得ADACCD,CDAC.又ACIAA1A,CD平面1ACC1.又AC1平面1ACC1,CDAC1.又CICDC,AC1平面1CD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（3）【解】作CH1D交1D于H，连AG，由（2）知：AC平面CC1D.AC1D,1D平面ACH,AHC为二面角ACD的平面角.5cosAHC,tanAHC25ACCH；由CD2知：AC23得CH3；在CCD中由平几知：1CC123，于是得AACC为正方形.由（）知：11VV(2323)24.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12CACDDACC111132解：（）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时32．证明：当32，此时APAD35，过P作∥FD，与AF交M，则3MPFD5，又FD5，故MP3，∵EC3，MP∥FD∥EC，∴∥EC，且MPEC，故四边形MPCE为平行四边形，∴PC∥ME，∵CP?平面ABEF，ME平面ABEF，∴CP平面ABEF成立．（2）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEFEFDC=EF，AF⊥EF，∴AF⊥平面EFDC，∵BEx，∴AFx，(0x4)，FD6x，故三棱锥A-CDF的体积21111x6xVx2(6x)≤3，32332∴x3时，三棱锥的体积V有最大值，最大值为．成立以下列图的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，，C(2,1,0)，D(0,3,0)．AD(0,3,3)，CD(2,2,0)，FA(0,0,3)．r设平面ACD的法向量为n(x,，则rnAD0r，nCD0∴3y3z02x2y0，取y1，则x1，z1，r∴n(1,1,1)．ru∴点F到平面ACD的距离|nFA|33

dr．|n|3（1）连接AF，则AF2，DF2.又AD2，∴222DFAFAD，∴DFAF又∵PA平面ABCD，∴DFPA.又PAIAFA.∴DF平面PAF.∵PF平面PAF，∴DFPF.（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有1AHAD.4再过点H作HG∥DP交PA于点G，连接EG，则HG∥平面PFD且1AGAP.4∴平面EHG∥平面PFD∴EG∥平面PFD.∴当G为PA的一个四均分点（凑近点A）时，EG∥平面PFD（3）∵PA平面ABCD，∴PBA是PB与平面ABCD所成的角，且PBA45，∴PAAB1.取AD的中点M，连接FM，则FMAD，FM平面PAD，∴FMPD.在平面PAD中，过点M作MNPD于点N，连接FN则PD平面FMN，则MNF为二面角APDF的平面角.∵△MND∽△PAD，∴MNMDPAPD∵PA1，MD1，PD5，且FMN90，∴5MN，530FN，∴5cosMNFMNFN66故二面角APDF的余弦值为66解:以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，成立以下列图的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,22)，B(0,4，22).(1)因为AM＝3MB，所以M(1,3,22).所以CA＝(4,0,22)，AM＝(－3,3,22).1所以cos〈CA1，AM〉＝CA1|CA1||AMAM＝|24426＝－3939.所以异面直线AM和1C所成角的余弦值为3939.8分(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,22)，知AB＝(－4,4,0)，AC1＝(－4,0,22).设平面ABC1的法向量为＝，，c)，由nnABAC100得4a4a4b200，令＝1，则＝1，＝2，所以平面ABC1的一个法向量为＝(1,1，2).因为点M在线段AB1上，所以可设M(x,4－2)，所以AM＝(x－－2).12因为直线AM与平面ABC1所成角为30|cos〈n，AM〉＝sin30.由|nAM＝|n||AM〈n，AM〉，得|1(x－4)＋(4－＋222|1＝·(x2(4x)28·2，解得x＝2或x＝6.因为点M在线段AB1上，所以x＝，即点M(2,2,22)是线段A1B1的中点.14分（Ⅰ）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DCDF=D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC由DCAD∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4∴AC22，BC22，则有AC+BC2=AB∴AC⊥BC由BCFC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线互相垂直，故以D为原点，以DADCDE的方向分别为x，y，z轴的正方向，成立以下列图的空间直角坐标系D-xyz⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分可得D（，，），F（0，，），B（2，，），E（0，，），C（0，，），（，，0），由（Ⅰ）知平面FCB的法向量为AC(∵EF，FB(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分设平面EFB的法向量为n(x,y,z)则有nnEFFB00即2y2x02y2z0令z1n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分EFBC的大小易知cos|nn|AC|AC|1(202212012所以二面角EFBC的大小为3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12解：（1）矩形ABCD中，AB∥CD∵AB面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB平面ABE，平面PCDI平面ABEEF，∴AB∥EF，又平面PABI平面PCDl，∴AB∥l∴l∥EF.（2）取AD中点O，PO，∵PAPD，∴POAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PADI平面ABCDAD，∴PO平面ABCD，OB，OBPB在平面ABCD内的射影，∴PBOPB与平面ABCD所成角，∴sin221PBO.21∴tan217PBO，由OB17，∴PO217取BC中点G，OG，以O坐原点，分以OAOG，OP的方向分x，y，z的空直角坐系：1P(002)，00)，B(140)，C(140)，E21，2PA(10，2)，3AE212PAnAEn00，∴x2z032x2yz0PAE的法向量n(x，y，于是，令x2，y1，z1∴平面PAE的一个法向量n(211)同理平面ABE的一个法向量m(203)，∴cosnm43778nm.|n||m|61378可知二面角PAEB所以二面角PAEB的余弦为77878【解析】（Ⅰ）取PB的中点F，AF，，由三角形的中位定理可得四形ADEF是平行四形．获取DE∥AF，再由面平行的判断可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，AM，由意得A在以BC直径的上，可得AB⊥AC，找出二面角APCD的平面角．求解三角形可得二面角APCD的余弦法二、由意得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A原点，方向分x正方向，y正方向成立空直角坐系．求出P的坐，再求出平面PDC的一个法向量，由可得面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦APCD的余弦．【解答】（Ⅰ）明：取PB的中点，AF，．∵EF是△PBC的中位，∴∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，形ADEF是平行四形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，AM，AD∥MC且AD=MC，∴四形ADCM是平行四形，∴AM=MC=MB，A在以BC直径的上．∴AB⊥AC，可得．D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，DG⊥PC．G作GH⊥PC于H，⊥面GHD，DH，⊥DH，∴∠GHD是二面角APCD的平面角．在△ADC中，，AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角APCD的余弦．法二、取BC的中点M，AM，AD∥MC，且AD=MC．∴四形ADCM是平行四形，∴AM=MC=MB，A在以BC直径的上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如以A原点，方向分x正方向，y正方向成立空直角坐系．可得，．（x，，），（＞），依意有，，解得．则，，．PDC的一个法向量，由，取x0，得．PAC的一个法向量，且，APCD的大小，即二面角APCD的余弦．【解析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位EM∥平面PAB，利用同位角相等MC∥AB，获取平面EMC∥平面PAB，得EC∥平面PAB；（2）成立坐系，求出平面PAC的法向量，利用直CN与平面PAC所成的角值，可得【解答】（1）明：取AD中点M，EM，CM，EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠0，AC=AM=2，∴∠ACM=60．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．（2）解：A作AF⊥AD，交BC于，成立以下列图的坐系，A（0，，），B（，，），C（，1，），D（0，，0），P（0，，），PAC的法向量=（x，y，z），，取=（，，），设λ（≤=（0，=（λ1，2∴|cos＜，＞|==，∴，∴NPD的中点，使得直CN与平面PAC所成的角为．（1）明：取AB的中点O，EO，COAEEB2，AEB等腰直角三角形∴EOAB，EO1又∵ABBC，ABC60，∴ABC是等三角形.∴CO3，EC2，∴222ECEOCO∴EOCO∵EO平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB平面ABCD（2）解：以AB的中点O坐原点，OB所在直y，OE所在直z，如图建系A0,0，C3,0,0，D3,2,0，E0,0,1AC3,1,0u，EC3,0,1，DC0,2,0rDCE的法向量nx,1urECn0，则r，即DCn03x102y0，xy330，∴rn33解得：,0,1同理求得平面EAC的一个法向量为m33,1,1rcosm,nrmn2727r，所以二面角AECD的余弦为77mn.Ⅰ）取AB中点D，PD，CD．QAPBP，PDAB．QACBC，CDAB．QPDICDD，AB平面PCD．3分QPC平面PCD，PCAB，又∵PCAC，∴PC平面ABC6分解：（Ⅱ）如，以C原点成立空直角坐系Cxyz．C(00)，A(00)，B(20)．P(0，t)．8分QPBAB22，t2，P(02)．9分取AP中点E，BE，CE．QACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．uQE(011)，EC(0，，1)，EB(211)，，，10分cosBECuuECgEB232g63．二面角BAPC的余弦为33．12分【解析】（Ⅰ）明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，尔后明BD⊥PC．（Ⅱ）明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，明⊥AO．推出⊥面ABCD．方法一：明∠OHB是二面角AECB的平面角．经过求解三角形求解二面角AECB的余弦．方法二：以成立空直角坐系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一个法向量，利用空向量的数量求解即可．【解答】（本小12分）Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以2+AO=PA2，所以⊥AO．（6分）又⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角AECB的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角AECB的余弦为．（12分）方法二：如，以成立空直角坐系，，B（，，0），，，，，．（9分）BEC的法向量，，即，得方程的一解，即．（10分）又面AEC的一个法向量，（11分）所以，所以二面角AECB的余弦为．（12分）【议论】本题观察二面角的平面角的求法，直与平面垂直的判判定理的用，观察空间想象能力以及算能力．（1）取AD的中点O，PO,CO，PAD等三角形，POAD.底面ABCD中，可得四形ABCO矩形，COAD，POCOAD平面POC，PC平面POC,ADPC.又AD//BC，所以ADPC.（2）由面PAD面ABCD,POAD知，PO平面ABCD，OP,OD,OC两两垂直，直PC与平面PAD所成角30，即CPO30，由AD2，知PO3，得CO.分以OC,OD,OP的方向x，y，z的正方向成立空直角坐系Oxyz，P(0,0,3),D(CB，BC(PC3),CD(0)，PBC的法向量n(x,y,.xy03z0，n(3，PDC的法向量m(x,z)，xxy3z00，m(3,3，cosmn427m,n,|m||n|72727由可知二面角ASBC的余弦值.7（1）明：由已知四形ABCD矩形，得ABBC，∵PBAB，PBIBCB，∴AB平面PBC.又CD//AB，∴CD平面PBC.∵CD平面PCD，∴平面PBC平面PCD.（2）解：以B坐原点，成立以下列图的空直角坐系Bxyz.PBAB1，BCa(a0)，B(0,0,0)，C(0,0,，P(1,0,0)，D(0,1,a)，所以PC(1,0,a)，BD(0,1,a)uPC?BDo，|u|cos60，即|PC||BD|2a121a2，解得a1（a1舍去）.rn(x,y,z)111是平面PBD的法向量，则rn?BP0r，即n?BD0x01yz110，r可取n(0,1,1).m(x,y,z)222是平面PCD的法向量，则m?PD0即m?CD0xyz222y200，可取m(1,0,1)，所以rcosn,mrn?m1r，|n||m|2o由可知二面角BPDCBPDC的大小60.（1）明：如，取BC中点M，PM、DM、DB，BCD和PBC分是等三角形、等腰直角三角形.故PMBC，DMBC，且PM1，DM3，所以222DMPMPD，故PMDM，所以PM平面ABCD.又PM平面PBC，从而平面PBC平面ABCD.（2）如，成立空直角坐系Mxyz.uP，3,2,0)，B(0,1,0)，C(0,1,0)，AB(3,1,0)(0,0,1)u，PB(0,1,1)，PC(0,1,1)，rABP的法向量n(x,y,z)，则y0yz0，r令x1，解得y3，z3，即n(1,3,3)，PC与平面PAB所成角的平面角，sinr|n?PC|2342r|n||PC|147即直PC与平面PAB所成角的正弦为427.（Ⅰ）延长交F于，F的中点，又C的中点，∴∥CF，又∵CF平面FC，∴∥平面FC连接，∥C，C平面FC，∴∥平面FCI∴平面∥平面FC，平面//平面FC（Ⅱ）作AQ⊥EF交EF延长Q,作AH⊥DQ交DQ于H，AH⊥面EQDC∴∠ACH就是直AC与平面CEF所成角1323在RtADQ中，AH=772在RtACH中，∠ACH=AHAC10535直AC与平面CEF所成角正弦为10535（Ⅰ）明：如，∵AB//CD，CDAD，ADCD2AB2，FCD的中点，∴ABFD矩形，ABBF，又由AB平面PAD，∴ABPD，又∵EF//PD，∴ABEF，∵BFIEFF，∴AB平面BEF，又AE平面ABE，∴平面ABE平面BEF．（Ⅱ）由条件以AB所在直x，AD所在直y，AP所在直z成立空a系，B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，C(2,2,0)，(1,1,)

E，2aBDBE(1,2,0)，(0,1,)2平面BCD的法向量1(0,0,1)，u，平面EBD的法向量2(,,)nxyz，由nBD,2即nBE,2nBD,2，即nBE,2yx2y0,az20,取y1，得x2，z2a，n22(2,1,)a，所以cos2a412，2454

a2a因为平面EBD与平面ABCD所成二面角,43，所以12cos,22，即212,2225a4，由2125a42，得215215a；由552225a42，得25a或525a，5所以a的取范是25215,55．（Ⅰ）明：在等腰梯形ABCD中，可ADCDAB2，可求出BD23，BC4，在BCD中，222BCBDDC，∴BDDC，∵点A在平面BCD上的投影G落在BD上，∴AG平面BCD，∴AGCD，又BDDC，AGIBDG∴CD平面ABD，而CD平面ACD，∴CD平面ABD.（Ⅱ）由（Ⅰ）知BDCD，AGBD，GBD中点，成立以下列图的空坐标系，ADCDAB2，（Ⅰ）算可得：D(0,0,0)，C(0,2,0)，G(3,0,0)，3,0,1)，GA(0,0,1)，GC(3,2,1)，设1(x1,1,1)是平面AGC的法向量，则z013x2y011，取1(2,3,0)u.DC(0,2,0)，2(x2,2,z2)是平面ACD的法向量，则y20，3xz022取23).27GACD的平面角，coscosn,n.12727（1）AB中点O，PO，EO，因为PAPB，所以POAB，又EAC的中点，所以EO∥BC.因为ABBC，所以EOAB，因为POIOEO，所以AB平面POE，又PE平面POE，所以PEAB（2）由（）知POAB，因为平面PAB平面ABC，平面PABI平面ABCAB，PO平面PAB，所以PO平面ABC，又EOAB.u以O坐原点，分以OEu，OBu，OPx，y，z的正方向成立空直角坐Oxyz，以下列图，因为ABBC，AC4，BC2，所以2223ABACBC，由OAB中点，POAB，PB2，得OAOB3，221POPBOB，O0,0,0，E，P0,0,1，A0,3,0，B0,3,0，C2,3,0rPAC的一个法向量nz，由rnPA0ru，即nPC03yz02x3yz0r取y3，可得n3,3,3，因为平面PAB平面ABC，平面PABI平面ABCAB，OE平面ABC，u所以EO平面PAB，所以平面PAB的一个法向量OE1,0,0，ur∴cosOE,nurOEnurOEn321217，BPAC的大小，则cos217所以247sin1cos7，477∴二面角BPAC的平面角的正弦为.（1）QABPB，OAB的中点，OBPA.又Q平面PAC平面PAB，且OB平面ABP，BO平面PAC，而OB平面BOM，平面BOM平面PAC.（2）由已知得，PAB等腰直角三角形，ABPB2，AP2,BO1，等PAC的面S3，PAC1VSBOBPACPAC3133133，由（）易知OC平面APB，ACBC2，在ABC中，AB上的高为142，1147S2，ABC222P到平面ABC的距离h，13VSh，PABCABC33221221h，即点P到平面ABC的距离为77.）因为M，N分PB，PC的中点，PAAB，所以PBMA.因为BAD90，所以DAAB.因为PA底面ABCD，所以DAPA.因为PAIABA，所以DA平面PAB.所以PBDA.因为AMIDAA，所以PB平面ADNM因为DN平面ADNM，所以PB