一道数学竞赛题的几种证法

学生习2008年第4学生习何(科技大学资讯科技学院题目如图1⊙OAB(AB为平面内两定点)为直径MNO上(异于AB)的两个定PAB上(AB两点)点求证:tan∠PMAtan∠PNB为定值很具趣味性.笔者在研究此题时得到了下面1OABx

y轴的单位长度建立平面直角坐标系此,⊙O的方程为x2+y2=1.不妨M(cos,in)N(cosβ,sinβ),-|AM| (cosθ+1)2+iθ 2+2cos|PM| (cosθp)2+iθ p2-2pcosθ1|AP|=1+AM2+PM2-(射线OB为x轴的正半轴),并以|OB|为x cos∠PMA 20=(xn,xn-1,⋯,x100联想到排序不等式).如果|S(0|≤r或者|S(0|≤r,命题得证(处理存在性问题的法).否,|S(0)|>r且|S(0)|>r.

i∈{01⋯m-1}排列i1是通过交换排列i的两个相邻元素位置得到的.这意味着,如果i=(y1,y2,⋯,yn),i+1=(z1,z2,⋯,zn)k∈{12⋯m-1}n =1,可i=

zk=yk+1,zk+1=yk,zj=yj≤n+

j≠k,k+1)|S(0)+S(0)|=2 因为|xi ,所以则S(0)与S(0)异号.所以,S(0)与 |S(i+1)-S(i)|=|yk-yk+1|≤2r.S(0)必然一个大于r,一个小于- (0(1(m下面设法利用条件|xi|≤n12从0开始若干次对换(交换相邻两个元素位置)可以得到任一排列.,

01⋯mm=0注意到S0)、Sm)均落在区间[-r,r],且分别位于该区间的

两侧,因此,至少有一个数S(i)落在该区 =(1-=(1-p) 1+cosθ.2(p2-2pcosθsin∠PMA

1-cos2

33①MPNPSR联结BR

(1+ 1-cos 2(p2-2pcosθ+(PMA∈(0,,sin∠PMA0

BMASANAR.且∠ASB==90.tan∠PMA=1+1-

1-cos1+cos.1- 1+cos

故tan∠PMAtan=tan∠ABStan∠BAR

同理,tan∠PNB=1+ 1-cos

BS又由于MN是⊙O上(异于AB)的 ∠PAS=∠PMB,∠PSA=∠PBM个定点,即θβ,故两式相乘得tan∠PMAtan∠PNB

,

=AP 1-cosθ 1+cos

BN=PNAM=APBR=PR1+cos 1-cos

AP

PS 为定值证法2:如图2,作PE⊥AME,PF⊥BN于点F联结ANBM⊥AM.PE⊥AM,PE∥BMPE=AP,ME=BP. ABAM =

··ASBRBNAM=PN·PR··BSARAN 故tan∠PMAtan·=ASBR=AN·BMBS ·为定值44联结BMAN.则∠ANB==90. 图Rt△PEM

cos∠PMA

AM2+PM2-2 tan∠PMA

AP AP

AM2+AP2-MP2=2AM·APcos∠MAB B BP

∠PMA=cossinBP AM2+PM2-同理,tan∠PNB

APB

2AM2-2AM·APcostan∠PMAtan∠PNB

BM·

4SAM2-AM·APcos为定值

AMBN

2S2007年新知杯市初中数学竞说明:解答本试卷不得使用计算器填空题(1～5小题,8,

6.1,P是凸四边形ABCD内一,PABBCCDDA的垂线,垂足分别为EFGH.AH=3HD=4已知-1<2x-1<1.则2-1的取 DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE-x范围 1ABC,PBC的中点,QAC,AQ2QC联结AP、BQ交于点R.则△ABR的面积是.ABC∠C90°,∠A、∠Ba∠Cabcx的方程c(x2+1)-2bx-a(x2-1)=0的两根平10,b的值为.ax1,x2,⋯,x100满足如下条件:对于k=1,2,⋯,100,xk99k.则x25的值为.abc,b≠0x1

=1.则四边形ABCD的周长 FABACBCBD<DA∥BCDE∥AC,GF∥AB.则梯形DEFG积的最大可能值为1000的正整数x,x和x+1两者的数字和都是奇数.则满足条件的正整数x有个.k50的正整数,使得对n,2×36nk×23n+117 2 112xyy满足x2+ax2=b,xy-xy=a 整除.则这样的正整数 2 112 x1y1+ax2y2=c,则y2