专题二　2.1不等式及其解法-高三数学一轮复习

2.1专题二、不等式及其解法知识梳理基础篇考点一不等式的概念与性质1.不等式的性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a;a<b⇔b>a可逆传递性a>b,b>c⇒a>c;a<b,b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bcc的符号移项法则a+b>c⇔a>c-b可逆同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0⇒

>

(n∈N,n≥2)同正2.不等式的倒数和分数性质1)倒数性质:a>b,ab>0⇒

<

;a<0<b⇒

<

.2)分数性质:若a>b>0,m>0,则

<

;

>

(b-m>0);

>

;

<

(b-m>0).考点二不等式的解法1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1

<x2)有两个相等实根x1=x2=-

没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解

集{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解

集{x|x1<x<x2}⌀⌀在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不等式的

性质,将其转化为正数,再对照上表求解.2.分式不等式的解法1)

>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);2)

≥0(≤0)⇔

3.绝对值不等式的解法1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2;2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);3)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x);4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题1.不等式解集法:不等式f(x)≥0在x∈A时恒成立⇔集合A是不等式f(x)≥0

的解集B的子集.通过求出不等式的解集,利用集合间的关系得出参数的

取值范围.2.分离参数法:不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立⇔λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立⇔λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,进而求得g(x)(x∈D)的最值即可.

该方法适用于参数与变量易分离,且函数最值易求得的题目.3.变换主元法:更换变元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原

变量的取值范围列式求解.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的

范围,谁就是参数.4.数形结合法:结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点处的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.例1

(2022福建厦门一中期中,4)不等式ax2+5x-7a>3-2x2对一切a∈(-1,0)

恒成立,则实数x的取值范围是

(

)A.(-∞,-4]∪

B.(-∞,-4]∪[-1,+∞)C.(-4,-1)D.

解析令f(a)=a(x2-7)+5x-3+2x2,则f(a)对一切a∈(-1,0)均大于0恒成立,则

有

化简得

解得

故x≤-4或x≥

.故选A.答案

A例2

(2021江苏连云港测试,14)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<

-m+5恒成立,求m的取值范围.解析要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,则m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒

成立.因为x2-x+1=

+

>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<

.又因为函数y=

=

在[1,3]上单调递减,所以ymin=

,所以m<

.所以,m的取值范围是

.名师点睛1.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是①当a=0时,b=0,c≥0;

②当a≠0时,

(2)不等式ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是①当a=0时,b=0,c≤0;

②当a≠0时,

2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)当a<0时,f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔

或

或Δ<0.f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔

(2)当a>0时,f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔

f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔

或

或Δ<0.易错提醒解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.2.1专题二、不等式及其解法习题精练基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若

<

<0,则下列结论中正确的是

(

)A.a2<b2

B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|

D.a3>b3答案

ABD

2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成

立的是

(

)A.a+c<b+c

B.

<

C.ac>bc

D.b-a>c答案

A

3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有

(

)A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

D

4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式

中一定成立的是

(

)A.ac(a-c)>0

B.c(b-a)<0C.cb2<ab2

D.ab>ac答案

BCD

5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成

立的有

(

)A.a2<b2

B.a3<b3C.ea-b<1

D.ln

<0答案

AD

考向二作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a>b>c,abc≠0,则下列结论一定正确

的是

(

)A.

>

B.ab>bcC.

<

D.ab+bc>ac+b2答案

D

2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小

关系为

(

)A.M<N

B.M>NC.M=N

D.不能确定答案

B

3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是

(

)A.若a<b<0,则

<

B.若a>b>0,则ac2>bc2C.若c>a>b>0,则

<

D.若a>b>c>0,则

>

答案

D

4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是

(

)A.若

>

,则x<yB.若xy>0,则

+

≥2C.若x>y>0,c>0,则

<

D.若xy+1>x+y,则x>1,y>1答案

BC

5.(2022全国甲理,12,5分)已知a=

,b=cos

,c=4sin

,则

(

)A.c>b>a

B.b>a>cC.a>b>c

D.a>c>b答案

A

考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x

-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为

(

)A.

B.

C.(-∞,-2)∪

D.(-∞,-2]∪

答案

C

2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有

一个零点,则

(

)A.a2-b2≤4B.a2+

≥4C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案

ABD

3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等

式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是(

)A.

B.{x|x≠-1}C.

D.R答案

AB

4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为

.答案

考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<

2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为

(

)A.{x|-2<x<1}

B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}

D.{x|0<x<3}答案

C

2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为

,则函数y=cx2-x-a的图象可以为

(

)

A

B

C

D答案

C

3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解

集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是

(

)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为

D.a+b+c>0答案

AC

4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m

<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有

(

)A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为

D.cx2+bx+a>0的解集为

答案

AC

5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的

解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为

.答案

6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根

之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为

.答案

47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不

等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的

解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析

(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以

所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B=

,因为A⊆B,所以-

≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若

对于任意的x∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为

(

)A.{m|m≤0}

B.

C.

D.

答案

D

2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒

成立,则m的取值范围是

(

)A.(-2,2)

B.

C.[-2,2]

D.(-∞,2]答案

D

3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则

m的取值范围是

(

)A.m≤-4

B.