专题二　2.2基本不等式及不等式的应用-高三数学一复习

2.2专题二、基本不等式及不等式的应用知识梳理基础篇考点一基本不等式及其应用1.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件

≤

a>0,b>0a=b其中

为正数a,b的算术平均数,

为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要不等式1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.2)a+b≥2

(a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.3)ab≤

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.4)a+

≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+

≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号

成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.3.一个重要的不等式链条:

≤

≤

≤

(a>0,b>0)上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”

转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b2≥2ab,

≤

,

≤

,

+

≥2(ab>0)等,所以利用基本不等式及其变式求最值(或证明不等式)既方便又具有很强的技巧性.考点二应用基本不等式求解最值已知x>0,y>0,1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2

(简记:积定和最小).2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值

(简记:和定积最大).注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一

正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积

为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件.2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒

成立⇔f(x)min>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<

B(x∈D).2.能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不

等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成

立⇔f(x)min<B(x∈D).3.恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式

f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.4.双变量的恒成立与存在性问题1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max.2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min.3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max.4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min.5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2

∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.例1

若对任意x>0,

≤a恒成立,则实数a的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.

解析对任意x>0,有

=

=

≤

=

,当且仅当x=

,即x=1时,等号成立,即

的最大值为

﹒由对任意x>0,

≤a恒成立,∴a≥

,即a的取值范围是

.故选B.答案

B例2

(2021江苏苏州新草桥中学月考,13)已知函数f(x)=

,设b>0,若存在x∈

,使f(x)≥1,则b的取值范围是

.解析若存在x∈

,使f(x)≥1,f(x)=

,则

≥1,由b>0得b≤x-x2,即b≤

,∵x-x2=-

+

,x∈

,∴x=

时,(x-x2)max=

,则b≤

.故0<b≤

.答案

0<b≤

例3

已知函数f(x)=x2,g(x)=

-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实数m的取值范围是

.解析对任意的x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),转化为m≥

-x2,则m≥

,令h(x)=

-x2,易证h(x)在x∈[1,2]上为减函数,故h(x)max=h(1)=-

,故m∈

.答案

例4

已知f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使

得g(x1)=f(x2),则a的取值范围是

.解析由x∈[-1,2],f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0)可得f(x)的值域为[-1,3],g(x)

的值域是[-a+2,2a+2].对任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),则

f(x)的值域包含g(x)的值域,即[-a+2,2a+2]⊆[-1,3],则-1≤-a+2<2a+2≤3,解

得0<a≤

,故a∈

.答案

2.2专题二、基本不等式及不等式的应用习题精练基础篇考点一基本不等式及其应用1.(2022广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是

(

)A.y=x+

B.y=lgx+

(1<x<10)C.y=

(x>1)D.y=sinx+

答案

C

2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为

(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C

3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中

一定成立的是(

)A.ab≤

B.

+

≥

C.2a+2b≥2

D.

+

≥8答案

ACD

4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0,b>0,且ab=4,则

(

)A.

+

≤2

B.

+

≥4C.log2

≥1

D.2a(a-b)>

答案

BC

5.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则

(

)A.x+y≤1

B.x+y≥-2C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1答案

BC

6.(2023届湖北摸底联考,14)若函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函

数,则

+

的最小值为

.答案

47.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+

的最小值为

.答案

8.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则

的最小值为

.答案

4

9.(2021浙江湖州中学月考)函数y=

+

的最大值是

.答案

2

考点二应用基本不等式求解最值考向一配凑法求最值1.(2023届辽宁鞍山质量监测,8)权方和不等式作为基本不等式的一个变

化,经常应用于高中数学竞赛,主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a,

b,x,y>0,则

+

≥

,当且仅当

=

时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出,函数f(x)=

+

的最小值为

(

)A.16

B.25

C.36

D.49答案

B

2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则

+

的最小值是(

)A.4

B.6

C.

D.

答案

D

3.(2023届福建龙岩一中月考,15)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的

最小值为

.答案

4

-34.(2022天津南开中学模拟,13)若实数x,y满足x>y>0,且xy=4,则

的最大值为

.答案

5.(2022湖南湘潭三模,14)已知正数a,b满足a+b=5,则

+

的最小值为

.答案

考向二常数代换法求最值1.(2022河北邢台入学考,7)已知a>0,b>0,且a+b=2,则

+

的最小值是

(

)A.1

B.2

C.

D.

答案

C

2.(2022辽宁六校联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数

a、b满足f(a)+f(2b)=m,则

+

的最小值为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且

+

=1,则下列命题正确的是(

)A.a>2

B.ab-b的最小值为16C.a+b的最小值为9

D.

+

的最小值为2答案

ABD

4.(2021天津二模,14)已知正实数x,y满足x+y=

+

+6,则x+y的最小值是

.答案

85.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则

+

+

的最小值为

.答案

4考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考,7)函数f(x)=4x+

+

的最小值为

(

)A.2

B.2

C.4

D.3

答案

C

2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则

(

)A.a2+b2≥

B.2a-b>

C.log2a+log2b≥-2

D.

+

≤

答案

ABD

3.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则

+

+b的最小值为

.答案

2

综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略考向一恒成立与能成立共存问题1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟,11)已知函数f(x)=-x-1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2

x,x∈[-1,2],下列结论正确的是

(

)A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是a<-3B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是a<1C.∃x∈[-1,2],g(x)=a,则实数a的取值范围是-1≤a≤3D.∀x∈[-2,2],∃t∈[-1,2],f(x)=g(t)答案

ABC

2.(2022重庆巴南月考,14)已知函数f(x)=x+

,g(x)=2x+a,若∀x1∈

,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是

.答案

考向二函数最值与不等式结合问题1.(2022重庆名校联盟联考,5)已知x>0、y>0,且

+

=1,若2x+y>m2+8m恒成立,则实数m的取值范围为

(

)A.(-1,9)

B.(-9,1)C.[-9,1]

D.(-∞,-1)∪(9,+∞)答案

B

2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正

数x,y使得

+x≤t-2y-

成立,则实数t的可能取值是(

)A.2

B.4

C.6

D.8答案

CD

3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等

式x2+y2+xy>

m2+

m恒成立,则实数m的取值范围是(

)A.

B.

C.(-2,1)D.

∪(1,+∞)答案

A

4.(2021浙江绍兴模拟,4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则

实数a的取值范围为

(

)A.

B.

C.(1,+∞)

D.

答案

A

5.(2021湖南师大附中月考,13)已知函数f(x)=x2+4,g(x)=ax,当x∈[1,4]时,f(x)的图象总在g(x)图象的上方,则a的取值范围为

.答案

(-∞,4)6.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意

的x1∈[1,2],都存在x2∈[-1,2],使得f(x1)<g(x2)成立,则实数a的取值范围是

.答案

∪(2,+∞)一、单项选择题专题综合检测1.(2022石家庄二中月考,9)下列命题为真命题的是

(

)A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a>b,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a<b<0,则

>

答案

D

2.(2022辽宁丹东五校联考,9)设

<

<0,则

(

)A.a2>b2

B.ab>b2C.a+b≥2

D.2a+2b>2

答案

D

3.(2022河北曲阳一中月考,4)已知函数f(x)=log2

·log2

,若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则

+

的最小值为

(

)A.

B.

C.2

D.4答案

B

4.(2022石家庄二中月考,6)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值

时,x+4y的值为

(

)A.2

B.3

C.4

D.5答案

B

5.(2022重庆涪陵实验中学期中,6)已知x>0,y>-1,且

+

=3,则x+y的最小值为

(

)A.4

B.3

C.2

D.1答案

C

6.(2022广州执信中学月考,11)设a,b∈R,则下列结论正确的是

(

)A.若a<b<0,则(a-1)2<(b-1)2B.若a+b=2,则2a+2b≥4C.若2a-2b>2-a-2-b,则a>bD.若a>b>0,且a+b=1,则ab>ba答案

BCD

二、多项选择题7.(2022辽宁六校协作体期中,10)下列说法正