第5章 代数结构

第3篇代数系统

（Algebra

System）

计算机科学与工程系数学的本质就在于一切能证明的都要

证明。

G.Frege没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。

CarusPaul2第3篇代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象代数”。5/5/2023第3篇代数系统内容集合的概念1集合的表示方法2环与域3格与布尔代数4代数系统与性质1半群与群25/5/2023（一个二元运算

）两个运算有逆元两个运算有单位元代数系统结合律半群单位元、逆元群循环群可换群变换群子群循环半群单元半群可换半群整环域商环理想有补格有界格布尔代数正规子群、商群特殊环特殊子环两个运算的单位元、逆元

（两个二元运算：,)两个运算的结合律、交换律、吸收律格两个运算的分配律分配格单位元，无零因子

（两个二元运算：,)可换群,半群,对分配群环交换律

可换环单位元,逆元交换律单位元生成元交换律生成元子集上的群特殊群特殊群5第5章代数系统集合的概念1同态与同构3代数系统与子代数1运算性质与特殊元25/5/2023第5章代数系统特殊群6半群与含幺半群4群及其性质5陪集与拉格朗日定理7环与域87

本章学习要求重点掌握一般掌握了解11代数系统与子代数2二元运算律3特殊元4同态与同构5半群、群、子群及性质6元素的周期及计算7生成元与循环群8陪集与拉氏定理

3同态与同构的应用商群及性质21同类型代数系统2正规子群性质与同态核5/5/2023代数运算定义5.1.1设A是一个非空集合，f是从An(nN+)到A的一个函数，则称f为A上的一个n元代数运算，简称为n元运算。即对任意的<x1,x2,…,xn>An，都存在唯一的xA，使得f(<x1,x2,…,xn>)=x。若f是A上的一个代数运算，也称A在运算f下是封闭的。称自然数集合N上的加法“+”为运算，这是因为给定两个自然数a,b,由加法“+”，可以得到唯一的自然数c=a+b。加法“+”是映射吗？N上的加法运算“+”本质上是一个N×N→N的映射5/5/2023代数运算例5.1.1设N+、Z、Q、R分别表示正整数集，整数集，有理数集和实数集，(1)求一个数的相反数是Z、Q、R上的一元运算。(2)普通加法和乘法都是N+上的二元运算，而减法和除法不是。因为1,2N+，但1+2,12N+。(3)普通加法、减法和乘法都是R上的二元运算，而除法不是。因为0R，但0不能做除数。(4)求平方根是R+上的一元运算，但不是R上的一元运算。因为-4R，但-4没有平方根。此外，9R，但9有两个平方根3。(5)集合的并、交、相对补和对称差运算是A的幂集P(A)上的二元运算，而绝对补运算是P(A)上的一元运算。(6)设Mn(R)表示n阶实矩阵集合(n2)，则矩阵的加法和乘法是Mn(R)上的二元运算。(7)设对任意<x,y,z>R3，有f(<x,y,z>)=x，则f为R上的三元运算。10代数运算通常用，，*，，+，等符号来表示n元运算，称为算符。如例5.1.1(1)中N+上的取相反数运算可表示x=-x，(2)中N+上的加法运算可记为(x,y)=x+y或者xy=x+y，(7)中R3上的运算f可记为(x,y,z)=x。一个二元运算就是一个特殊的映射，采取中缀方法表示为

ab＝c5/5/2023运算表有限集上的一元或二元运算有时也用运算表来表示。设A={a1,a2,…,an}，为A上的一元运算，为

上的二元运算，则和的运算表如下表所示。ai（ai）a1a2……an(a1)(a2)……(an)○

a1

a2

……

ana1a2……ana1○a1a1○a2

……a1○ana2○a1a2○a2

……a2○an……

……

……

an○a1an○a2

……an○an5/5/2023定义5.1.2设A是非空集合，f1,f2,…,fm分别是定义在A上k1,k2,…,km元封闭运算，ki是正整数，i=1,2,…,m。称集合A和f1,f2,…,fm所组成的系统称为代数系统，简称代数，记为<A,f1,f2,…,fm>。当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统，否则称为无限代数系统注意：判断集合A和其上的代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合A非空，二是这些运算关于A是否满足封闭性。

5/5/2023例子(1)R上的“+”、“×”运算；解构成一个代数系统〈R，+，×〉；(2)p（S）上的“∩”、“∪”、“―”运算；

解构成代数系统<p(S),∩,∪,->,称集合代数；(3)含有n个命题变元的命题集合A与A上的“∧”、“∨”、“┐”运算；解构成代数系统〈A，∧，∨，┐〉，称之为命题代数。5/5/2023同类型代数系统定义

设<A,1,2,…,m>和<B,o1,o2,…,om>是两个代数系统，若“oi”和“i”都是ki元运算，i=1,2,…,m，则称这两个代数同类型。如：代数系统〈Z，+〉,〈Z，×〉,〈R，+〉,〈p（S），∩〉,〈p（S），∪〉都是同类型的代数系统。代数系统〈I，+，×〉、〈R，+，×〉、〈p（S），∩，∪〉都是同类型的代数系统。5/5/2023子代数定义

设<A,1,2,…,m>是代数系统，如果：（1）BA并且B

；（2）1,2,…,m都是B上的封闭运算。则<B,1,2,…,m>也是一个代数系统，称之为<A,1,2,…,m>的子代数系统，简称子代数。又若BA，则称<B,1,2,…,m>是<A,1,2,…,m>的真子代数。5/5/2023子代数子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的某些重要性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。注意：在后面章节中，将会学习半群、群、格、布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后面不再赘述某些典型代数系统中子代数的定义。5/5/2023例在代数系统<Z,+>中，令Q={5z|zZ}，证明<Q,+>是<Z,+>的子代数。分析根据定义，只需证明两点：（1）Q是非空子集；（2）“+”对集合Q封闭。显然，集合Q非空。对任意的5z1，5z2∈Q，有5z1+5z2=5(z1+z2)∈Q，因此“+”对集合Q封闭。证明略。5/5/20235.2二元运算律例

设“+”是定义在自然数集合N上的普通加法运算，试回忆N上的加法运算“+”满足哪些运算性质？分析对

a,b,c∈N，有(a+b)+c=a+(b+c)，即结合律成立；a+b=b+a，即交换律成立；

x,y∈N，如果a+x=a+y，则x=y，即消去律成立；0∈N，0+0=0，即0是幂等元，但其他自然数不是幂等元，即不满足幂等律。5/5/2023结合律、交换律、幂等律定义设是集合A上的二元运算，(1)如果对任意的x,yA，都有xy=yx，则称运算在A上是可交换的，或称运算在A上满足交换律。(2)如果对任意的x,y,zA，都有(xy)z=x(yz)，则称运算在A上是可结合的，或称运算在A上满足结合律。(3)如果对任意的xA，都有xx=x，则称运算在A上是等幂的，或称运算在A上满足幂等律。定义5.2.2设

是集合A上的二元运算，若存在x

A

，使得

xx=x

，则称

x为A

中关于运算

的等幂元。5/5/2023幂等律设“”是集合A上的二元运算，a∈A，则aa∈A，aaa∈A，…,由此，可以归纳定义a的正整数幂方：a1=a，a2=aa，a3=a2a，…an=an1a，…对任意的正整数n，m，有以下等式：an

am=an+m，（an）m=anm。5/5/2023实例例5.2.1(1)实数集R上的普通加法和乘法都满足交换律和结合律，但不满足幂等律；而这三个运算律对减法都不成立。(2)P(A)上的集合的并、交和对称差满足交换律、结合律和幂等律。(3)Mn(R)上的矩阵加法满足交换律和结合律，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。例5.2.2设是R上的二元运算，对任意的x,yR，有xy=x+y-xy，问运算是否满足交换律和结合律？22分配律与吸收律定义5.2.3

设和*是集合A上的两个二元运算，(1)若对任意的x,y,zA，都有x（y﹡z）=（xy）﹡（xz），(左分配律)（y﹡z）x=（yx）﹡（zx），(右分配律)则称运算对*在A上是可分配的，也称运算对*在A上满足分配律。(2)若和*都满足交换律，且对任意的x,yA，都有x*(xy)=x和x(x*y)=x成立，则称运算和*是可吸收的，或称运算和*满足吸收律。23实例例5.2.3(1)实数集R上的乘法对加法、乘法对减法都满足分配律；(2)幂集P(A)上的集合的并对交、交对并都满足分配律，且并和交满足吸收律；(3)n阶

实矩阵集合Mn(R)上的矩阵乘法对矩阵加法可分配。例

设和*是

Z上的两个二元运算，对任意的x，yZ

，有xοy=max(x,y)

，x*y=min(x,y)

，问运算

和*是否满足吸收律？24消去律定义

设<A,>是二元代数系统，元素a∈A，（1）对任意x,y∈A，都有如果a

x=a

y，那么x=y，则称a在A中关于“”是左可消去元；（2）对任意x,y∈A，都有如果x

a=y

a，那么x=y，则称a在A中关于“”是右可消去元；5/5/2023消去律（续）（3）如果a既是A左可消去元又是右可消去元，则称a是A的可消去元；（4）若A中所有元素都是可消去元，则称“”在A上可消去，或称“”满足消去律。5/5/2023集合上关于二元运算的特殊元在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫特殊元。例如在代数系统<N，＋>，其中N是自然数，“＋”是普通加法，0∈N，并且对任意的自然数x∈N，有x＋0＝x＋0＝x5/5/2023幺元（单位元）定义

设<A,>是二元代数系统，（1）若存在e∈A，对任意a∈A，都有ae=ea=a，则称e是A中关于运算“”的一个幺元（单位元）（2）若存在el∈A，使得对任意a∈A，都有el

a=a，则称el是A中关于运算“”的一个左幺元（左单位元）（3）若存在er∈A，使得对任意a∈A，都有aer=a，称er是A中关于运算“”的一个右幺元（右单位元）5/5/2023实例下列代数系统是否存在幺元(左幺元或右幺元)，如果存在计算之。（1）<R,+>，R是实数集，“+”是加法运算；（2）<R+,+>，R+是正实数集，“+”是加法运算；（3）<P(A×A),>，其中P(A×A)表示集合A上的所有二元关系集合，运算“”表示关系的复合；（4）<A,,,>，其中A=｛a,b,c｝，二元运算“”,“”,“”如表、表和表分别所示。

5/5/2023实例（续）分析可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺元存在，然后计算之，最后验证所计算的元是否是幺元。5/5/2023实例（续）（1）设x是<R,+>的幺元，则由定义，对任意的a∈R，有x+a=a，让a=1，有x+1=1，则x=0，x∈R。这说明，如果<R,+>的幺元存在，那么幺元必是0。对任意的a∈R，0+a=a+0=a，即验证可得，0是<R,+>的幺元。5/5/2023实例（续）（2）设x是<R+,+>的幺元，对任意的a∈R+，有x+a=a，让a=1，有x+1=1，则x=0，但0R+。这说明<R+,+>不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在。5/5/2023实例（续）（3）设X是<P(A×A),>的幺元，对任意的Y∈P(A×A)，有XY=Y，让Y=IA，则XIA=IA，又XIA=X，因此X=IA。这说明，如果<P(A×A),>的幺元存在，则幺元必是IA。对任意的Y∈P(A×A)，IAY=YIA=Y，即验证可得IA是<P(A×A),>的幺元。5/5/2023实例（续）（4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直接观察可得。解（1）<R,+>中的幺元是0；（2）<R+,+>中无幺元；（3）<P(A×A),>中的幺元是恒等关系IA；（4）<A,,,>中关于运算“”有左幺元a和b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“”无左幺元，但有右幺元b和c，因此无幺元；关于运算“”有幺元a。5/5/2023结论（1）计算幺元可根据定义直接进行，即首先假设幺元存在，并根据定义计算，然后进行验证。（2）可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元或右幺元。具体方法是：①如果元素x所在的行上的元素与行表头完全相同，则x是一个左幺元；②如果元素x所在的列上的元素与列表头完全相同，则x是一个右幺元；③同时满足①和②。5/5/2023零元

定义设<A,>是一个二元代数系统，（1）若存在∈A，使得对任意a∈A，都有a=a=，则称θ是A中关于运算“”的一个零元；（2）若存在l∈A，使得对任意a∈A，都有l

a=l，则称l是A中关于运算“”的一个左零元；（3）若存在r∈A，使得对任意a∈A，都有ar=r，则称r是A中关于运算“”的一个右零元。5/5/2023逆元定义

设<A,>是二元代数系统，e是幺元，a∈A，若存在一个元素b∈A，（1）使得：ab=ba=e，则称a可逆，并称b是a的一个逆元，记为a1；（2）使得：ba=e，则称a左可逆，并称b是a的一个左逆元，记为al1；（3）使得：ab=e，则称a右可逆，并称b是a的一个右逆元，记为ar1。5/5/2023定理设<A,>是一个代数系统，“”满足结合律，a∈A，a可逆，则a是可消去元。证明记幺元为e，a的逆元为a1，设x、y是A中的任意元素，假设ax=ay。由a

x=a

y，有a1

(a

x)=a1

(a

y)，又结合律成立，所以有(a1

a)

x=(a1a)

y，即e

x=e

y，可得x=y5/5/2023定理设<A,>是二元代数系统，（1）如果<A,>存在幺元，则幺元唯一；（2）如果<A,>存在幺元，则该幺元一定是左、右幺元；（3）如果<A,>存在左、右幺元，则该左、右幺元相等，且是幺元。5/5/2023定理（续）证明（1）（反证法）设〈S,*〉存在两个以上的幺元，不妨假设e1，e2是〈S,*〉的两个幺元，则对xS，x*e1=e1*x=x，此时，取x=e2，有e2*e1=e1*e2=e2

①则对xS，有x*e2=e2*x=x，此时，取x=e1，有e1*e2=e2*e1=e1

②由①、②可知e1=e2，即〈S,*〉的幺元是唯一的。5/5/2023定理（续）（2）显然成立（3）若el、er是〈S,*〉的左、右幺元，则对xS,有el*x=x，此时，取x=er，有el*er=er①则对xS,有x*er=x，此时，取x=el，有el*er=el②由①、②可知el=er，即左、右幺元相等；显然可得e=el。5/5/2023定理设<S,*>是二元代数系统，（1）如果<A,>存在零元，则零元唯一；（2）如果<A,>存在零元，则该零元一定是左、右零元；（3）如果<A,>存在左、右零元，则该左、右零元相等，且是零元。分析该定理的证明方法与定理证明相似。5/5/2023定理设<A,>是二元代数系统，“”满足结合律且设e是幺元，则对任意的a∈A，（1）如果a存在逆元，则逆元唯一；（2）如果a存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；（3）如果a存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，且是逆元。分析该定理的证明方法与定理证明相似5/5/2023定理（续）证明（1）（反证法）设a∈A存在逆元，且不唯一，不妨设a1，a2都是a的逆元，则有aa1=a1

a=e，aa2=a2

a=e，由于“”满足结合律，所以有a1=a1e=a1

(aa2)=(a1

a)a2=ea2=a2，即a1=a2即a的逆元唯一；5/5/2023定理（续）（2）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；（3）设a∈A的左、右逆元分别是al1和ar1，则有al1a=e，aar1=e，“”满足结合律，所以有ar1=ear1

=(al1a)ar1

=al1(aar1)=al1e=al1，所以a1=ar1=al15/5/2023推论设<A,>是二元代数系统，“”满足结合律，a,b∈A，（1）如果a,b分别有逆元a1,b1，则

(ab)1=b1a1；（2）如果a是左（或右）可逆的元素，则a是左（右）可消去的元素；（3）如果a是可逆的元素，则a是可消去的元素。5/5/2023推论（续）分析

(1)根据逆元的定义，只需证明(ab)(b1a1)=(b1a1)(ab)=e；同理，(2)和(3)可以直接根据消去元的定义证明。5/5/2023推论（续）证明

(1)由于“”满足结合律，所以有(ab)(b1a1)=a(bb1)a1

=aea1=aa1=e，

(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1eb=b1b=e，即(ab)1=b1a1。5/5/2023推论（续）（2）若a是左可逆的元素，设左逆元为al1，则对任意的x,y∈A,如有ax=ay，则al1(ax)=al1(ay)，即(al1a)x=(al1a)y，ex=ey，所以x=y则a是左可消去元。同样可证，如果a是右可逆的，则a是右可消去元。（3）由(2)和定理直接可证。5/5/2023实例设G={fa,b(x)=ax+b|a≠0,a,b∈R}，其中R是实数，“”是G上关于函数的复合运算。（1）验证<G,>是代数系统；（2）如有幺元计算之；（3）如有零元计算之；（4）如有幂等元，计算出这些幂等元；（5）说明G中的那些元有逆元，并计算这些元的逆元。5/5/2023实例（续）：封闭性分析（1）要说明<G,>是代数系统，只需要说明“”对G封闭，即说明对任意fa,b，fc,d∈G，fa,bfc,d∈G，又(fa,bfc,d)(x)=fc,d(fa,b(x))=fc,d(ax+b)=c(ax+b)+d=cax+bc+d=fca,bc+d(x)，即fa,bfc,d=fca,bc+d，显然ca≠0，故fca,bc+d∈G，所以“”对G是封闭的，即〈G,〉是代数系统。5/5/2023实例（续）：幺元（2）不妨假设幺元是fc,d∈G，则对fa,b∈G，有fa,bfc,d=fa,b，又fa,bfc,d=fca,bc+d，则fa,b=fca,bc+d，因此，x∈R，有fa,b(x)=ax+b=fca,bc+d(x)=cax+bc+d，特别取x=0,x=1，可得bc+d=b,ca=a。由于fa,b是G中的任意元，取a=1，b=2,可得c=1,d=0。5/5/2023实例（续）：幺元上面的分析说明，如果<G,>有幺元，则此幺元必是f1,0，所以需进一步验证f1,0就是幺元。即对任意的fa,b∈G，验证等式fa,bf1,0=f1,0fa,b=fa,b显然此等式成立，所以f1,0是幺元。5/5/2023实例（续）：零元（3）按同样的思路，不妨假设零元是fc,d∈G，由零元的定义，

fa,b∈G，有fa,bfc,d=fc,d，fa,bfc,d(x)=cax+bc+d=fc,d(x)=cx+d，取x=0，有bc=0,又fa,b是任意的，取b=1，可得c=0，又fc,d∈G，则c≠0,矛盾，故fc,d是零元不成立，故代数系统<G,>没有零元。5/5/2023实例（续）：幂等元（4）不妨假设幂等元是fc,d∈G，有fc,d

fc,d=fc,d，fc,d

fc,d(x)=c2x+cd+d=fc,d(x)=cx+d，取x=0，有cd=0，又c0，则d=0，取x=1，有c2+cd+d=c+d，又d=0,c0，则c=1。因此，fc,d=f1,0，又f1,0f1,0=f1,0，所以f1,0是唯一幂等元。5/5/2023例（续）：逆元（5）对fa,b∈G，不妨假设它的逆元为fc,d，当然fc,d∈G，有fa,bfc,d=f1,0，fa,bfc,d(x)=cax+bc+d=f1,0(x)=x，特别取x=0,x=1，可得bc+d=0,ca=1，因为a≠0，显然c=1/a,d=b/a，故fc,d=f1/a,b/a，5/5/2023例（续）：逆元同理，上面分析说明，如果fa,b有逆元，则此逆元是f1/a,b/a,因此还需验证f1/a,b/a是fa,b逆元，即验证等式fa,bf1/a,b/a=f1/a,b/afa,b=f1,0，显然此等式成立，所以f1/a,b/a是fa,b的逆元。由fa,b的任意性，可得G中的任何一个元都有逆元。5/5/2023结论（1）<G,>是代数系统；（2）幺元是f1,0；（3）<G,>中没有零元；（4）<G,>中唯一幂等元是f1,0；（5）<G,>中任意元fa,b的逆元是f1/a,b/a

。计算幺元、零元、幂等元、逆元等特殊元时，首先可以假设这些元存在，然后根据定义直接得到方程，解这个方程就可以计算出这些元，如果方程无解，则特殊元不存在，如果方程存在解，则根据特殊元的定义还需要进一步验证所求解是否是对应的特殊元。

5/5/20235.3半群与独异点（含幺半群）定义

在二元代数<S,>中，若二元运算“”满足结合律，则称<S,>为半群；特别地，若半群<S,>中的二元运算“”满足交换律，则称<S,>为可交换半群。定义

设<S,>为半群，若S中存在关于运算“”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为<S,,e>；若独异点<S,,e>中运算“”满足交换律，则称<S,,e>为可交换独异点（可交换含幺半群）。5/5/2023例5.3.1设A是非空集合，AA表示所有A到A的函数集合，运算“”表示映射的复合运算，证明<AA,>是半群。分析只需证明运算“”满足封闭性和结合律。证明对f,g∈AA，显然有fg∈AA，故封闭性成立。又函数复合运算“”满足结合律，所以<AA,>是半群。5/5/2023例5.3.2设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代数系统<P(S),∪>与<P(S),∩>都是可交换的含幺半群。分析运算“∪”和“∩”显然满足交换律，因此只需说明<P(S),∪>与<P(S),∩>是半群，并计算它们的幺元即可。5/5/2023例证明显然运算“∪”和“∩”均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。易证和S分别是<P(S),∪>和<P(S),∩>的幺元。因此，<P(S),∪>与<P(S),∩>是可交换的含幺半群。5/5/2023例设Nn＝｛0,1,2,…,n－1｝,定义Nn上的运算＋n

如下：x,y∈Nn,x＋ny＝x＋y(modn)(即x＋y除以n的余数)。证明<Nn,＋n>是含么半群。证明

封闭性

任意x,y∈Zn,令k＝x＋y(modn),则0≤k＜n－1,即k∈Nn,所以封闭性成立；5/5/2023例5.3.3证明（续）结合律任意x,y,z∈Nn,有(x＋ny)＋nz＝x＋y+z(modn)＝x＋n(y＋nz)所以结合律成立。幺元任意x∈Nn,显然有

0＋nx＝x＋n0=x所以0是幺元。故<Nn,＋n>是含么半群。5/5/2023子半群和子含幺半群将子代数应用于半群，可得下面的定义：定义5.3.3如果<S,>是半群，T是S的非空子集，且运算“”对T封闭，则称<T，>是半群<S,>的子半群；如果<S,,e>是含幺半群，T是S的非空子集，e∈T。且运算“”对T封闭，则称<T,,e>是含幺半群<S,,e>的子含幺半群。5/5/2023例5.3.4设<S,>是含幺半群，M={a|a∈S，x∈S有ax=xa}，则<M,>是<S,>的子含幺半群。分析需证明两点：幺元存在，运算“”封闭。证明

(1)设e是半群<S,>的幺元，则x∈S，显然有e

x=x

e，因此，e∈M。进而M是S的非空子集。5/5/2023例证明（续）（2）对任意a,b∈M，由M的定义知，x∈S，有ax=xa，bx=xb，又运算“*”满足结合律，则(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab)，即x∈S,(ab)x=x(ab)，因此，(ab)∈M。由(1)、(2)可知：<M,>是<S,>的一个子含幺半群。5/5/2023元素的幂设〈S,*〉是一个半群,对xS,可定义：x¹=x,x²=xx,x³=xx²=x²x=xxx,

……xn=xn-1

x=xxn-¹=xxx

……x。

……

如果〈S,*〉有单位元e,可以定义：x0=e由于结合律的满足,同样有如下的公式：

am

an=am+n(am)n=amn5/5/2023例5.3.5（1）设<S,>是半群，a∈S，M={an|n∈Z+}，则<M,>是<S,>的子半群；（2）设<S,,e>是含幺半群，a∈S，M={an|n∈N}，则<M,>是<S,>的子含幺半群；分析（1）M是非空子集，运算“”封闭。（2）还需说明幺元e在M中。5/5/2023例证明（1）a=a1∈M，所以M是非空集合。对n∈Z+，an∈S，因此M是S的非空子集。对an，am∈M，n，m∈Z+，则anam=an+m，n+m∈Z+，anam∈M。故运算“”封闭。<M,>是<S,>的子半群。（2）幺元e=a0∈M，即幺元在M中。类似（1），同理可证<M,>是<S,>的子含幺半群。5/5/2023循环半群定义

（1）在半群<S,>中，若存在一个元素a∈S，使得对任意x∈S，都有x=an，其中n∈Z+，则称<S,>为循环半群，并称a为该循环半群的一个生成元，M={a|(a∈S)且a是S的生成元}称为该循环半群的生成集；（2）在含幺半群<S,,e>中，若存在一个元素a∈S，使得对任意x∈S，都有x=an，其中n∈N，则称此循环含幺半群为循环含幺半群（或循环独异点），并称a为该循环含幺半群的一个生成元，M={a|(a∈S)且a是S的生成元}称为该循含幺半群的生成集。5/5/2023例5.3.6判断含幺半群<N,+>是否是一个循环含幺半群？分析根据定义，判别含幺半群（或半群）是循环含幺半群（循环半群）的关键是计算生成元。如何计算生成元呢？首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。

5/5/2023例分析（续）如在本例中，不妨假设a∈N是<N,+>的生成元，则根据生成元的定义，对n∈N，m∈N，使得n=am=ma让n=1，有1=ma，因此a=1。这说明，如果<N,+>有生成元，则生成元必须为1。下面还需验证1是生成元。5/5/2023例解由于存在元素1∈N，使得对任意n∈N，都有：n=(n1)+1=1+（n1）=1+1+1+……+1=1n，特别对幺元0∈N，有0=10。所以，“1”是生成元。因此，该半群一定是循环含幺半群。5/5/2023定理定理循环半群都是可交换半群。分析由于循环半群中的每个元素都可以表示为生成元的方幂形式，可以使用这种表示形式来证明。证明设a∈S是循环半群<S,>的生成元。则对x,y∈S，存在m,n∈Z+，使得x=am，y=an，所以xy=aman=am+n=an+m=anam=yx，故运算“”是可交换的，即<S,>是可交换半群。推论

循环含幺半群都是可交换含幺半群。5/5/2023例5.3.7判断含幺半群<N6，+6>是否是循环含幺半群？若是，请求出其所有的生成元。分析

N6={0,1,2,3,4,5}，共有6个元素，则可以判别每一个元素是否是生成元。解由于N6={0,1,2,3,4,5}，0是幺元，则0肯定不是生成元，对其他元，有：①、1º=0,1¹=1,1²=2,1³=3,14=4,15=5，所以“1”是<N6,+6>的生成元；5/5/2023例解（续）②、2º=0,2¹=2,2²=0,2³=2,……，所以“2”不是<N6,+6>的生成元；

③、3º=0,3¹=3,3²=0,3³=3,……，所以“3”不是<N6,+6>的生成元；④、4º=0,4¹=4,4²=2,4³=0,……，所以“4”不是<N6,+6>的生成元；⑤、5º=0,5¹=5,5²=4,5³=3,54=2,55=1，所以“5”是<N6,+6>的生成元。因此，含幺半群<N6,+6>有两个生成元“1”、“5”，则<N6,+6>是循环含幺半群。计算生成元方法：首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。5/5/2023推广（1）<Nn,+n>是循环含幺半群；（2）对a∈Nn,若(a,n)=1，则a是<Nn,+n>的生成元；（3）当n是素数时，Nn中除幺元“0”以外，其他一切元素都是生成元。

5/5/2023定理与推论定理

在每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在。

推论

设<S,>为一个有限半群，则<S,>中至少存在一个幂等元。5/5/20235.4群与子群定义

设<G,>为二元代数系统，满足如下性质：（1）“”在G中满足结合律，即a,b,c∈G，有(ab)c=a(bc)；（2）G中存在关于“”的幺元e，即e∈G，使得a∈G，ea=ae=a；（3）G中每个元素a都有逆元a1，即a∈G，都a1∈G，aa1=a1a=e。则称二元代数系统<G,>为群。概括：群是满足结合律、有幺元，每个元有逆元的二元代数系统为群5/5/2023群的类型定义在群<G,>中，（1）若运算“”满足交换律，即a,b∈G，都有ab=ba，则称<G,>为可交换群或阿贝尔(Abel)群；（2）集合G的基数称为群G的阶(Order)，记为|G|。若群<G,>的阶有限，则称之为有限群，否则称为无限群。5/5/2023例5.4.1证明<Nn,+n>是群，其中n是正整数。分析需要证明4点：封闭性；结合律；幺元存在；逆元存在。证明（1）封闭性：x,y∈Nn，令k=x+y(modn)，则0≤k＜n1，即k∈Nn，所以封闭性成立。5/5/2023例证明（续）（2）结合律：x,y,z∈Nn，有(x+ny)+nz=x+y+z(modn)=x+n(y+nz),所以结合律成立。（3）幺元：x∈Nn，显然有

0+nx=x+n0，因此，0是幺元。5/5/2023例证明（续）（4）逆元存在：x∈Nn，如果x=0，显然01=0，如果x≠0，则有nx∈Nn，显然x+n(nx)=(nx)+nx=0，所以x1=(nx)，因此，x∈Nn，x有逆元。综上，<Nn,+n>是群。5/5/2023例5.4.2设X是任意集合，S={f：XX|f是双射函数}，运算“”是函数的复合运算，证明<S,>是群。证明（1）封闭性：f,g∈S,f,g是双射，则fg也是双射，即fg∈S。故封闭性成立。（2）结合律：由于函数的复合运算“”满足结合律，因此，在集合S也满足结合律。5/5/2023例证明（续）（3）幺元存在：恒等函数IX∈S，且f∈S，有IXf=fIX=f，因此，恒等函数IX是幺元。（4）逆元存在：f∈S,f是双射，则f1∈S，且有f1

f=ff1=IX，因此，f1就是f关于“”的逆元。由（1）、（2）、（3）和（4）可知，<S,>是群。5/5/2023说明说明<S,>被称为变换群，如果X是有限集合，设|X|=n，此时称<S,>为n阶置换群。变换群在几何学中有十分广泛的应用。5/5/2023定理在群<G,>中，有：（1）群G中每个元素都是可消去的，即运算满足消去律；（2）群G中除幺元e外无其他幂等元；（3）阶大于1的群G不可能有零元；（4）a,b∈G，都有(ab)1=b1a1；（5）群<G,>的的运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素。5/5/2023定理分析由于可逆元就是可消去元，因此（1）显然可证。（2）和（3）分别是证明唯一性和存在性问题，通常采用反证法证明。（4）显然。（5）采用反证法证明。5/5/2023定理证明（1）由于可逆元就是可消去元，而群G中每个元素都是可逆元，则G中的任何元素都是可消去的，即运算满足消去律。（2）对幺元e，由于ee=e，所以e是幂等元。现假设a是群G中的幂等元，即aa=a，则aa=ae，使用消去律，则有a=e。因此，幺元e是G的唯一幂等元。5/5/2023定理5.4.1证明（续）（3）假设群G的阶大于1且有零元，则

=，即是幂等元，因此由（2）有

=e，由于|G|>1，则x∈G，x≠，由是零元，有x=，又

=e是幺元，则有x=x=x，则，

=x，这与x≠矛盾。因此，G中无零元。注意：如果|G|=1，则有G={e}，此时e既是幺元又是零元。5/5/2023定理证明（续）（4）由于群G中的运算满足结合律，且每个元素都有逆元，有推论知，结论成立。（5）假设群G的运算表中某一行(列)有两个相同的元素，设为a，并设它们所在的行表头元素为b，列表头元素分别为c1,c2，这时显然有c1≠c2。而a=bc1=bc2，由消去律可得c1=c2，矛盾。5/5/2023群中元素的周期设〈G，*〉是一个群，对aG，可定义：

aº=e，a¹=a，a²=a

a,……,an=an-¹

a=a

an-¹=a

a

……

a；

a-¹=a-¹，a-²=(a-¹)²,……,

a-n=(a-¹)n=a-¹

a-¹

……

a-¹。由幂方的定义知：

am

an=am+n=an+m=an

am；

(am)n=amn。5/5/2023元素的周期（续）对群<G,>中的元a，由幂方可得到如下的一个序列：…,an，…,a2，a1，a0，a1，a2，…,an，…，这个序列有周期吗？如果有周期，其最小正周期为多少？分析在上述序列中，如果存在整数p和q，其中p<q，使得ap=aq，则由消去律有aqp=e，5/5/2023元素的周期（续）此时pq就是序列的一个周期，因为对任意的整数m，有am+(pq)=ame=am，即，对任意的正整数n，如果an=e，则n是序列的周期。5/5/2023元素的周期（续）反之，如果n是序列的周期，肯定有an=e。为什么呢？因为由周期的定义可知，如果n是周期，则对任意的整数m，由am+n=am，即aman=am，由消去律，可得an=e。5/5/2023定义5.4.3设e是群<G,>的幺元，a∈G，（1）使得an=e成立的最小正整数n称为a的周期或为元素a的阶，记为|a|；（2）若不存在这样的正整数n，使得an=e，则称a的周期无限，即对n∈Z+，都有ane。显然，群<G,>中幺元e的周期为15/5/2023定理设a是群<G,>中的元素，则：（1）如果a的周期为n，则对任意的整数i，有ai∈{a1,a2,…,an}，且对任意的p,q∈{1,2,….,n},pq，有ap≠aq；（2）如果a的周期无限，则对任意的整数p,q,pq，有ap≠aq；（3）a和它的逆元a1的周期相同。5/5/2023例5.4.3计算实数加群<R,+>中元素的周期。分析在<R,+>中幺元为“0”，所以有0¹=0，而对a∈R，且a≠0，及n∈Z+有an=an¹+a=a+an¹=a+a+……+a=na≠0，因此，此时仅有“0”有周期“1”，而其余元素的周期无限。结论在实数加群<R,+>中，0的周期为1，而其余实数的周期无限。5/5/2023定理设<G,>是一个群，a∈G，若a的周期为m，则an=e当且仅当m|n。分析

a的周期为m，则根据以前的分析，序列…,an,…,a2,a1,a0,a1,a2,…,an,…,的最小正周期为m，因此，当m|n时，就有an=e。反之，由于在一个周期{a1,a2，…，am}中只有am=e，因此，如果an=e那么一定有m|n。5/5/2023定理证明“”（反证法）：设an=e，若m不整除n，则q∈Z，使得n=mq+r（1≤r≤m1），由a的周期为m，且an=e，有：an=amq+r=amqar=(am)qar

=eqar=ar=e，由于1≤r≤m1，这就与a的周期为m矛盾，所以有m|n。5/5/2023定理证明（续）

“”

设m|n。则k∈Z，使得n=mk，于是有：

an=amk=(am)k=ek=e，总结如果证明形如m|n这样的结论，可以采用反证法，即假设m不能整除n，则q∈Z，使得n=mq+r（1≤r≤m1）。5/5/2023例设<G,>是一个群，对a，b∈G，若a的周期为3，b的周期为5，且有：ab=ba，则ab的周期为15。证明设ab的周期为n，由于ab=ba，且运算“”满足结合律，所以有：(ab)15=a15b15=ee=e，由定理可知：n|15，即n可能是1,3,5,15。5/5/2023例（续）当n=1,3,5，有：

(ab)1=ab≠e(若ab=e，则a=b1，故b1的周期为3，则b的周期也为3，矛盾)，(ab)3=a3b3=eb3=b3≠e（因b的周期为5），(ab)5=a5b5=a5e=a3a2=a2≠e(因a的周期为3)，n=15时，才有(ab)n=e。故ab的周期为15。5/5/2023例（续）另证设ab的周期为n，由ab=ba有(ab)n=anbn=e，所以有((ab)n)3=a3nb3n=e3=e，又a的周期为3，则由上式可得a3nb3n=eb3n=e，即b3n=e，由b的周期是5，则根据定理，有5|3n，5/5/2023例（续）因为(5,3)=1，所以可得5|n，同理，由((ab)n)5=a5nb5n=a5ne=a5n=e，且a的周期为3，可得3|5n，即是3|n，由3|n,5|n，且(3,5)=1，则15|n，5/5/2023例（续）又因为

(ab)15=a15b15=ee=e，而n是周期，则n|15，由15|n,n|15，且n是正整数，可得n=15。故ab的周期为15。5/5/2023推广设<G,>是一个群，对a，b∈G，若a的周期为n，b的周期为m，且有：ab=ba，则：（1）若(n,m)=1，则ab的周期为nm；（2）若(n,m)≠1，则ab的周期为[n，m]（[n，m]表示n与m的最小共倍数）。5/5/2023定理有限群<G,>中每个元素的周期都有限，且不大于群G的阶。证明对a∈G，构造a,a²,a³,…,an,…由运算“”的满足封闭性知：a,a²,a³,…,an,…∈G，因为|G|是有限的，所以a,a²,a³,…,an,…中必有相同的元素，不妨假设：ax=ay

（y＞x）……①，5/5/2023定理（续）在①式的左右两端同时作用一个ax，有：axax=ayax=e，即有：ayx=e（yx＞0），由周期定义可知：元素a的周期一定小于等于(yx)，所以a的周期有限。如果(yx)大于群G的阶，类似可找到小于G的阶的n，使得an=e5/5/2023子群及性质定义

设<G,>是群，如果（1）S是G的非空子集；（2）S在运算“”下也是群，即<S,>是群。则称<S,>是<G,>的子群。对任意的群<G,>,<｛e｝,>和<G,>是群G的子群。由于任何群<G,>都有这两个子群，故称之为平凡子群，将<G,>的非平凡子群称为真子群。5/5/2023例计算群<N6,+6>的所有子群。分析

N6共有26

1个非空子集，并判别哪些是子群。解集合N6={0,1,2,3,4,5}的所有的非空子集：一元子集：{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}；二元子集：{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，…三元子集：…四元子集：…5/5/2023例（续）五元子集：{0,1,2,3,4,5}。此时仅有四个子集：{0}，{0,3}，{0,2,4}，{0,1,2,3,4,5}，关于运算“

+6”满足：（1）封闭性：运算“+6”关于集合{0}，{0,3}，{0,2,4}，{0,1,2,3,4,5}是封闭的；（2）结合律：显然成立；5/5/2023例（续）（3）逆元存在：对集合{0}，有：01=0；对集合{0,3}，有：01=0，31=3；对集合{0,2,4}，有：01=0，21=4，41=2；对集合{0,1,2,3,4,5}，有：01=0，21=4，31=3，41=2，51=1；5/5/2023例（续）（4）幺元存在：对集合{0}，{0,3}，{0,2,4}，{0,1,2,3,4,5}，都有幺元“0”存在；由（1）、（2）、（3）、（4）知：<{0},+6>，<{0,3},+6>，<{0,2,4},+6>，<{0,1,2,3,4,5},+6>是<N6,+6>的子群5/5/2023引理设<G,>是一个群，<S,>是<G,>的子群，则:（1）子群<S,>的幺元eS也是<G,>的幺元eG；（2）对a∈S，a在S中的逆元aS1就是a在G中的逆元aG1。证明（1）eS是<S,>的幺元，则eS2=eS，又SG，则eS∈G，由上式可知eS也是群<G,>的一个幂等元。所以有：eS=eG。5/5/2023引理（续）（2）对a∈S，a在S中的逆元为aS1∈S，则有aaS1=aS1

a=eS=eG，由于SG，所以a，aS1∈G，有aS1=aG1。引理说明，如果S是G的子群，则S的幺元就是G的幺元，S中任意元a在S中的逆元也是a在G中的逆元。5/5/2023子群的判定如何判别一个子集是子群？定理

设S是群<G,>的非空子集，S是群G的子群的充分必要条件是：（1）对a,b∈S，都有ab∈S；（2）对a∈S，都有a1∈S。证明