第四章矩阵论

第四章矩阵论1第1页，共81页，2023年，2月20日，星期三1矩阵的概念4.1

矩阵的概念及其运算2矩阵的线性运算4矩阵的转置3矩阵的乘法2第2页，共81页，2023年，2月20日，星期三引例产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.产品产品产品产品1234店1店2店3单单件价重产品1产品2产品3产品43第3页，共81页，2023年，2月20日，星期三1矩阵概念简记为:

4第4页，共81页，2023年，2月20日，星期三矩阵相等若两个矩阵行数相同,列数也相同,则称为同型矩阵.矩阵的相等则称A与B相等,记作A=B.零矩阵0所有元素全是零的矩阵.5第5页，共81页，2023年，2月20日，星期三特殊矩阵特殊矩阵(1)n阶方阵(2)行矩阵(又称为行向量)(3)列矩阵(又称为列向量)6第6页，共81页，2023年，2月20日，星期三对角阵

(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元素族称为主对角线.主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵.记为7第7页，共81页，2023年，2月20日，星期三上、下三角阵(5)单位矩阵主对角线上的元素全是1的对角阵(6)上三角阵主对角线下方所有元素均为零的方阵;

下三角阵主对角线上方所有元素均为零的方阵.8第8页，共81页，2023年，2月20日，星期三2矩阵线性运算加法

：两同型矩阵之和为运算律:

9第9页，共81页，2023年，2月20日，星期三续数乘

：运算律:

给定矩阵

及数,10第10页，共81页，2023年，2月20日，星期三3矩阵的乘法的乘积为其中

A的第i行

B的第j列

注意:

A的列数=B的行数!11第11页，共81页，2023年，2月20日，星期三矩阵乘法的性质结合律(AB)C=A(BC).

(2)(AB)=(

A)B=A(B)，(为数).

(3)右分配律

A(B+C)=AB+AC，

左分配律(B+C)A=BA+CA.12第12页，共81页，2023年，2月20日，星期三例1

则

可见:AB=OA=O或B=O

BA=CAB=C

AB=BA

13第13页，共81页，2023年，2月20日，星期三注解特别注意:(1)一般情形AB

BA

若同阶方阵A,B满足AB=BA,则称A

与B

可交换.(2)矩阵乘法无消去律

AB=OA=O或B=O.AB=ACB=C.(AB)C=OA=B.14第14页，共81页，2023年，2月20日，星期三续(1)单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1.简写成EA=AE=A.

E与任何同阶方阵可交换.

(2)纯量矩阵

可见,纯量矩阵E与任何同阶方阵都可交换,它将数与矩阵之积转换为矩阵与矩阵之积.

15第15页，共81页，2023年，2月20日，星期三方阵的幂运算律16第16页，共81页，2023年，2月20日，星期三续思考:设A,B为n阶方阵,对吗？仅当A,B可交换时等号才成立.反例:17第17页，共81页，2023年，2月20日，星期三4矩阵的转置运算律:18第18页，共81页，2023年，2月20日，星期三对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵反对称矩阵若n阶方阵A满足

则称A为对称矩阵.

A为对称矩阵当且仅当：若n阶方阵A满足

则称A为反对称矩阵.

A为反对称矩阵当且仅当：19第19页，共81页，2023年，2月20日，星期三证例2E为n阶单位矩阵,

证明H为对称矩阵,且所以H为对称矩阵.

20第20页，共81页，2023年，2月20日，星期三1矩阵行列式的定义4.2

方阵的行列式2矩阵行列式的性质

21第21页，共81页，2023年，2月20日，星期三二阶行列式的定义行列式的元素

行标列标对角线法则22第22页，共81页，2023年，2月20日，星期三三阶行列式的定义不同行不同列元素乘积之代数和！

加减号的规律:23第23页，共81页，2023年，2月20日，星期三1n

阶行列式的定义

式1)当n=2时,

2)当n

>2时,假定n-1阶行列式已定义.所在行和列后所得的n–1阶行列式.则n阶行列式定义为：24第24页，共81页，2023年，2月20日，星期三续n阶行列式

中划去

所在的行和列后所得的n–1阶行列式的余子式;

的代数余子式.

因此,n阶行列式25第25页，共81页，2023年，2月20日，星期三例3行列式和代数余子式分别为：26第26页，共81页，2023年，2月20日，星期三例4

求下三角行列式之值27第27页，共81页，2023年，2月20日，星期三2性质拉普拉斯展开定理

设Aij

为行列式D中元素aij的代数余子式,则28第28页，共81页，2023年，2月20日，星期三例5

求上三角行列式之值29第29页，共81页，2023年，2月20日，星期三例6利用对角线法则计算得：30第30页，共81页，2023年，2月20日，星期三变换性质1交换行列式的两行(列),行列式变号.性质1例如

若

则推论:行列式D中有两行(或两列)完全相同

D=0.31第31页，共81页，2023年，2月20日，星期三变换性质2性质2例如

若

则D中第i行乘以k得行列式D1

(j列)推论:同一行(列)的公因子可提到行列式符号外.32第32页，共81页，2023年，2月20日，星期三续——推广33第33页，共81页，2023年，2月20日，星期三变换性质3性质3把行列式的某行(列)的k倍加到另一行(列),

行列式的值不变.推论

D中有两行(列)元素成比例

34第34页，共81页，2023年，2月20日，星期三分解性质性质4对行有类似结果!35第35页，共81页，2023年，2月20日，星期三注解36第36页，共81页，2023年，2月20日，星期三例7计算行列式37第37页，共81页，2023年，2月20日，星期三例8

计算解法1.

D

38第38页，共81页，2023年，2月20日，星期三

计算解法2.

D

39第39页，共81页，2023年，2月20日，星期三方阵的行列式由n阶方阵A的元素构成的行列式称为方阵A

的行列式,

定义运算律40第40页，共81页，2023年，2月20日，星期三例9设

解法1.解法2.

设A为n阶方阵,

1或–1.

41第41页，共81页，2023年，2月20日，星期三1矩阵的初等变换与初等矩阵4.3

矩阵的秩与矩阵的逆2矩阵的等价与阶梯矩阵4矩阵的逆3矩阵的秩42第42页，共81页，2023年，2月20日，星期三1矩阵的初等变换与初等矩阵下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(列)初等行变换与初等列变换统称为初等变换.43第43页，共81页，2023年，2月20日，星期三例1044第44页，共81页，2023年，2月20日，星期三初等矩阵的定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等矩阵(1)对调单位矩阵E的第i行(列)与第j行(列)E(i,j)E(i(k))(3)以数k乘第j行(i列)加到第i行(j列)上E(ij(k))45第45页，共81页，2023年，2月20日，星期三初等矩阵—对调E第i

行(列)与第j

行(列)E(i,j)作用

对调A的第i行与第j行.

对调A的第i列与第j列.46第46页，共81页，2023年，2月20日，星期三例11给定矩阵则有直接计算可得：47第47页，共81页，2023年，2月20日，星期三初等矩阵E(i(k))作用—

对A施行运算—对A施行运算

48第48页，共81页，2023年，2月20日，星期三初等矩阵—第i

行(j列)加第j行(i列)

的k

倍E(ij(k))作用—对A施行运算—对A施行运算49第49页，共81页，2023年，2月20日，星期三例12给定矩阵则有50第50页，共81页，2023年，2月20日，星期三计算得所以有：

用一系列初等矩阵左乘矩阵A等价于对A施加一系列初等行变换，用一系列初等矩阵右乘矩阵A等价于对A施加一系列初等列变换.51第51页，共81页，2023年，2月20日，星期三2矩阵的等价与(行)阶梯矩阵设矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为例如，矩阵等价.因为52第52页，共81页，2023年，2月20日，星期三(行)阶梯矩阵—定义满足下列条件的矩阵称为（行）阶梯矩阵.(1)每行第一个非零元素的列标大于或等于其行标.(2)每行第一个非零元素的列标大于其上一行第一个非零元素的列标.例如，初等行变换可将任意一个矩阵变为阶梯形矩阵！(3)所有零行（即元素全为零的行）均在非零行的下方.

53第53页，共81页，2023年，2月20日，星期三行标准形矩阵称满足下列条件的阶梯矩阵为行标准形矩阵：(1)各非零行的第一个非零元（即首非零元）都是1；(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.例如，矩阵初等行变换可将任意一个矩阵变为行标准形矩阵！是行标准形矩阵.54第54页，共81页，2023年，2月20日，星期三3矩阵的秩引理1、任何一个矩阵经过有限次行初等变换可以化成（行）阶梯形矩阵.

称与矩阵A等价的阶梯形矩阵的非零行数必相等.2、与矩阵A等价的任何两个阶梯形矩阵的

非零行数为矩阵

A的秩,记作r(A).规定:零矩阵的秩为0.矩阵秩的定义

55第55页，共81页，2023年，2月20日，星期三矩阵秩的性质

设A为n阶方阵,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵;若r(A)<n,则称A为降秩矩阵.(2)矩阵的初等变换不改变矩阵的秩！即(1)行阶梯矩阵的秩等于它的非零行数.56第56页，共81页，2023年，2月20日，星期三例13求矩阵A的秩解因为所以，r(A)=2.57第57页，共81页，2023年，2月20日，星期三4矩阵的逆对n阶方阵A,

若存在n阶方阵B,使得则称A

可逆,B为A的逆矩阵.

命题若A可逆

A的逆矩阵惟一.

证则于是有证毕.定义:58第58页，共81页，2023年，2月20日，星期三矩阵逆的性质59第59页，共81页，2023年，2月20日，星期三例14求矩阵的逆矩阵.解构造矩阵则60第60页，共81页，2023年，2月20日，星期三矩阵的逆求法例15解61第61页，共81页，2023年，2月20日，星期三因此有62第62页，共81页，2023年，2月20日，星期三1线性方程组可解条件4.4

线性方程组2线性方程组的解法63第63页，共81页，2023年，2月20日，星期三概述一般形式(1)系数矩阵常向量

未知向量64第64页，共81页，2023年，2月20日，星期三线性方程组的矩阵形式与向量形式矩阵形式向量形式(2)(3)65第65页，共81页，2023年，2月20日，星期三几个概念若有常数

，使得方程组(1)中的m个式若常向量b=0,则称为方程组(1)的解.子均成为恒等式，方程组(1)有解,就称它是相容的,

方程组(1)无解,就称它是不相容的.则称方程组(1)为齐次线性方程组，否则，称方程组(1)为非齐次线性方程组.即(4)66第66页，共81页，2023年，2月20日，星期三1线性方程组的可解条件引例求解解①②③67第67页，共81页，2023年，2月20日，星期三引例（续）68第68页，共81页，2023年，2月20日，星期三69第69页，共81页，2023年，2月20日，星期三70第70页，共81页，2023年，2月20日，星期三可解条件(1)无解线性方程组(2)有惟一解(3)有无穷多解齐次线性方程组一定有解.(1)有惟一零解(2)有非零解71第71页，共81