第十章 动量矩定理

第十章动量矩定理第1页，共20页，2023年，2月20日，星期三§10-1

转动惯量一、转动惯量的定义

刚体对坐标轴的转动惯量:

不计厚度的平面刚体:

物理意义：

刚体转动时惯性的度量

第2页，共20页，2023年，2月20日，星期三例1：

已知质量m的匀质杆，杆长为l，求转动惯量Jz、

JzC二、回转半径定义：物理意义：如果保持刚体对某轴的转动惯量不变，而将其质量集中于一个质点，则该质点到转轴的距离就是刚体对该轴的回转半径。CzxdxdmxzC解：工程中，标准形状构件的回转半径可以查表得到第3页，共20页，2023年，2月20日，星期三例2：试计算半径为R的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。

解：例3：试计算半径为R的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。

第4页，共20页，2023年，2月20日，星期三三、平行轴定理O

刚体对平行的两根轴的转动惯量之间有没有关系？

设有两根平行的轴z1

和z2O’y2z2x2

d为z1和z2之间的距离第5页，共20页，2023年，2月20日，星期三若z1轴过质心：平行轴定理匀质杆对端点的转动惯量:问题：对于一组平行轴，对哪根轴的转动惯量最小？OO’y2z2x2第6页，共20页，2023年，2月20日，星期三例4

质量为m的均质细圆环与相同质量的均质圆盘固结，已知圆环半径是圆盘半径r的4倍，求组合体对轴O的转动惯量。解：设圆环对O轴的转动惯量为JO1圆盘对O轴的转动惯量为JO2组合体对O轴的转动惯量JO：第7页，共20页，2023年，2月20日，星期三质点动量对O点的矩质点动量对z轴的矩设质点A的动量为，对固定点的矢径为r。动量矩的定义

质点系的动量矩§10-2质点系的动量矩

abOzAOzAzAzxy第8页，共20页，2023年，2月20日，星期三质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系

其中Q为任一动点第9页，共20页，2023年，2月20日，星期三1、Q点与质点系的质心C点重合：

讨论：质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心系的动量对O点之矩的矢量和

3、当Q为固定点与质心C重合：

2、当Q为固定点

：4、当时：第10页，共20页，2023年，2月20日，星期三２、定轴转动刚体对转轴的动量矩：

３、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩

刚体的动量矩１、平动刚体对任一固定点O的动量矩

第11页，共20页，2023年，2月20日，星期三例5：

已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，在图示瞬时杆OC的角速度为，求系统在该瞬时对O点的动量矩

解：第12页，共20页，2023年，2月20日，星期三§10-3质点系动量矩定理一、质点系对固定点O的动量矩定理

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。

投影形式：

第13页，共20页，2023年，2月20日，星期三例6

已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且P>Q。

求：两重物的加速度及轮的角加速度。解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析ABOQPG对O点应用动量矩定理第14页，共20页，2023年，2月20日，星期三二、质点系相对于质心的动量矩定理

又：（1）（2）（1）=（2）质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。

第15页，共20页，2023年，2月20日，星期三三、质点系动量矩守恒定理

1、2、质点系动量矩守恒第16页，共20页，2023年，2月20日，星期三动量矩守恒定理实例冰上芭蕾1J12J21J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,2J211J11J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,地球变迁第17页，共20页，2023年，2月20日，星期三例7:

旋转调速器在外伸刚性臂上悬挂两个重量P的小球,初始转动时角速度0,求当悬挂小球与垂直线夹角为时的角速度.解:角速度:初始转动时:夹角为时:aaPPz动量矩守衡第18页，共20页，2023年，2月20日，星期三例8：杆OA长l，重P。可绕过O点的水平轴转动，A端铰接一半径为R、重为Q的均质圆盘，初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度及角加速度a。解：由圆轮受力图，JAa＝0因此