第四章理想流体动力学基本方程

第四章理想流体动力学基本方程第1页，共131页，2023年，2月20日，星期四第四章理想流体动力学基本方程主要内容动量方程：反映了流体的动量变化与外力之间的关系能量方程：机械能守恒定理粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的问题简单化。理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实际流体中，所以本章的研究具有实际意义。第2页，共131页，2023年，2月20日，星期四粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。粘性流体：理想流体：理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。第3页，共131页，2023年，2月20日，星期四

一、动量方程——流体的运动方程1、积分形式的动量方程——流体的运动方程质点系的动量定理：系统的动量对时间的变化率等于作用于该系统上所有的外力之合。第4页，共131页，2023年，2月20日，星期四把动量代入输运方程的随体导数公式控制体τ（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。第5页，共131页，2023年，2月20日，星期四作用于控制体上的外力：质量力表面力表面力：对于理想流体表面力只有压力，粘性剪应力为零。——指外法线方向，负号表示压力质量力：用f表示，具有加速度的量纲——积分形式的动量方程第6页，共131页，2023年，2月20日，星期四（1）定常流动：动量不随时间变化单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和——积分形式的动量方程控制体τ（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。第7页，共131页，2023年，2月20日，星期四2、微分形式的动量方程——欧拉运动微分方程理想流体，无粘性切应力，只有法向压应力第8页，共131页，2023年，2月20日，星期四坐标：x、y、z平均密度：ρ动压强：p速度：方向沿坐标轴的正向取六面体的流体微团为控制体，其边长分别为：dx、dy、dzC点（六面体的中心点）:

第9页，共131页，2023年，2月20日，星期四x轴方向受到的表面压力：流体微团受到x轴方向的质量力：单位质量力为：第10页，共131页，2023年，2月20日，星期四x轴方向受到的表面压力：根据牛顿第二定理：流体微团受到x轴方向的质量力：第11页，共131页，2023年，2月20日，星期四根据牛顿第二定理：（1）（2）（3）微分形式的动量方程或欧拉运动微分方程第12页，共131页，2023年，2月20日，星期四根据欧拉法求导：写成矢量的形式：——哈密顿算子第13页，共131页，2023年，2月20日，星期四（1）达朗伯原理：单位质量流体的质量力、表面力及惯性力三力组成平衡力系。单位质量流体的表面力单位质量流体的惯性力单位质量流体的质量力（2）动量定理：单位质量流体的动量对时间的导数等于单位质量流体所受的质量力与表面力之和。动量：mu。当m=1时，动量：u第14页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）欧拉运动微分方程与欧拉平衡微分方程的转化当时，流体的速度为零，即流体静止不动。欧拉平衡微分方程（4）欧拉运动微分方程的求解欧拉运动微分方程中有四个未知数p、ux、uy、uz，但只有三个运动方程，所以必须在特殊情况下才能求解。第15页，共131页，2023年，2月20日，星期四在恒定流动时，动量方程为：单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。

3、恒定总流的动量方程及其应用恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程控制体——任取一段总流1-1、

2-2之间的流体。第16页，共131页，2023年，2月20日，星期四分析其中任一元流：dt时段内元流由1-2运动至1’-2’从而动量发生变化，动量的增量为：对于不可压流体：第17页，共131页，2023年，2月20日，星期四恒定总流：总流可以看作是由无数元流组成，将元流动量的增量对总流过流断面进行积分，得：用过流断面的平均流速v来代替上式中未知的点速u分布，由此产生的误差，通过引进动量修正系数β加以改正。——总流的流量第18页，共131页，2023年，2月20日，星期四方程的投影式：两边同除dt：——不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。外力与流速的符号规则：外力：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。动量方程的右端是单位时间内流出的动量减去流入的动量。第19页，共131页，2023年，2月20日，星期四①β—动量修正系数（1）总流动量方程讨论②指外界作用在控制体上外力的合力质量力：只有重力(恒定流动——速度不随位置改变a=0，无惯性力)。表面力：①控制体两端过流断面的动压力：②固体壁面给予控制体的作用力，即待求的力R。③边壁的摩擦力，若不计损失，则摩擦力为0。ⅰ、在均匀流中v=u，Δu=0，所以β=1。ⅱ、速度分布越不均匀，β值越大。ⅲ、在缓变流中β=1.02——1.05，常取β=1。第20页，共131页，2023年，2月20日，星期四⑤动量方程中的压强只能用相对压强：因为对所选的控制体，周界上均作用了大小相等的大气压强。④当沿程有分流和汇流时：③应用条件：

应用：解决急变流运动中，流体与边界之间的相互作用力问题。

条件：恒定流动过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体第21页，共131页，2023年，2月20日，星期四(2)动量方程的应用步骤

选取适当的过流断面与控制体

对应总流取控制体：缓变流——急变流——缓变流控制体应包括动量有急剧变化的急变流段，急变流两端的过流断面应选择在缓变流区域。建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜

分析控制体的受力情况注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向分析控制体流入、流出的动量，列动量方程动量方程的右端是单位时间内流出的动量减去流入的动量，不可颠倒。

第22页，共131页，2023年，2月20日，星期四①选控制体:如图一段弯管，液体以速度v1流入1-1面，以速度v2流出2-2面,以弯管1-2中的流体为控制体；②建立坐标系:弯管在xy平面内；③受力分析：设弯管在水平面上，弯管的转角为。(3)动量方程的应用质量力：只有重力（垂直于xy平面）表面力：①控制体端面压力②与固体壁面的作用力，即待求的力R。由于管子有弯度，液流对弯管壁的作用力第23页，共131页，2023年，2月20日，星期四④列动量方程求解。第24页，共131页，2023年，2月20日，星期四二、能量方程——伯努利方程1、恒定元流的能量方程——恒定元流的伯努利方程欧拉运动微分方程是描述理想流体运动的基本方程，用来解决实际流体问题时，必须对其进行积分，目前在数学上还不能对欧拉运动微分方程进行普遍的积分，只有在一些特殊的条件下，才有解析解。（1）通过对欧拉运动微分方程进行积分来推导——伯努利积分

①理想流体；②定常流动；③质量力只有重力；④不可压流体；⑤沿流线积分。第25页，共131页，2023年，2月20日，星期四①理想流体的欧拉运动微分方程：②定常流动：第26页，共131页，2023年，2月20日，星期四流体微团的旋转角速度为：代入原方程得：第27页，共131页，2023年，2月20日，星期四三个投影方程的两端分别乘以dx、dy、dz，得：三式求和第28页，共131页，2023年，2月20日，星期四若行列式等于零，即：第29页，共131页，2023年，2月20日，星期四③若质量力只有重力④若不可压流体两边积分得：恒定元流的能量方程恒定元流的伯努利方程第30页，共131页，2023年，2月20日，星期四⑤关于行列式等于零的讨论：（a）若流体静止时，行列式必为零。即：（b）若流体作无旋运动，行列式必为零。即：（c）若沿流线积分时，行列式必为零。

即：根据流线的定义，流线上的曲线微元ds与流速矢量u的方向相同。在直角坐标系下，设ds的分量为dx、dy、dz，u的分量为ux、uy、uz，根据相互平行的两个矢量的分量成比例的性质得到流线的微分方程。第31页，共131页，2023年，2月20日，星期四第32页，共131页，2023年，2月20日，星期四

（1）用机械能守恒定律来推导

——即：外力对系统做功=系统机械能的增加2、恒定元流的能量方程—伯努利方程dt时段内总流1-2运动至1’-2'第33页，共131页，2023年，2月20日，星期四端面压力作功：侧面压力作功：0流段所获能量：势能的增加动能的增加：第34页，共131页，2023年，2月20日，星期四外力对系统做功=系统机械能量的增加单位重量的理想流体沿元流的能量方程单位重量的理想流体沿元流的伯努利方程第35页，共131页，2023年，2月20日，星期四（2）恒定元流能量方程各项的物理意义和几何意义

单位重量流体相对于某参考面所具有的位能

元流过流断面上某点相对于某参考面的位置高度/位置水头

能量意义

几何意义

单位重量流体所具有的压能

压强水头单位重量流体所具有的总势能

测压管水头单位重量流体所具有的动能

速度水头单位重量流体所具有的总机械能

总水头第36页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）恒定元流能量方程图示第37页，共131页，2023年，2月20日，星期四（4）恒定元流能量方程的应用欲测量A点流速，在该点放置一根弯成900两端开口的细管，将弯管一端的管口正对流动方向，另一端垂直向上，此管即为测速管。管中液柱受液流的顶冲，液面将上升到h1高度，液流受到弯管的阻挡，流体接近A点时流速逐渐减低，流至A点时速度变为零——

称为驻点或滞止点，此时动能全部转换为压能。毕托管——测点的速度原理：应用伯努利方程，通过测量点压强的方法来间接地测出点速度的大小。第38页，共131页，2023年，2月20日，星期四在A点上游同一水平流线上取相距很近的B点，在B点所在的过流断面边壁上安放一根测压管，此测压管的液面将上升至h2高度，因为A点与B点相距很近，B点的压强、流速实际上等于A点在放置测速管以前的压强与流速。Δh——两根测压管的液面高差。

μ——毕托管的校正系数（µ=0.98--1.04）。实际上，由于流体具有粘性，能量转换时有损失，所以必须乘以校正系数。应用理想流体元流的能量方程第39页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：如图所示，在D=150mm的水管中，装一带有水银压差计的毕托管，用以测量管轴心处的流速。如果1、2两点相距很近且毕托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度为管轴处流速的0.84倍。问：此时水管中的流量为多少？解：由于1，2两点相距很近，可认为水流自1流至2之间无能量损失，取管轴线为基准面，列过流断面1-1，2-2之间的能量方程。根据伯努利方程：第40页，共131页，2023年，2月20日，星期四假设在过流断面上1-1及2-2上压强按静压规律分布，即：hAB第41页，共131页，2023年，2月20日，星期四恒定元流能量方程：上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的流量为dQ，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重量为ρgdQ，将上式中各项分别乘以ρgdQ，则单位时间内通过元流两过流断面间流体的能量关系为：3、恒定总流的能量方程恒定总流的伯努利方程第42页，共131页，2023年，2月20日，星期四对总流过流断面进行积分：代入上式：第43页，共131页，2023年，2月20日，星期四①的积分一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上的流动状态有关，若是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分布规律与静压强相同，即：，因此只要是缓变流断面，上式的积分可化为：第44页，共131页，2023年，2月20日，星期四②的积分上式表示单位时间内通过过流断面A的流体总动能。由于过流断面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，一般难于确定。因此工程上常用平均速度取代点的速度，由此产生的误差，通过引进动能修正系数α加以改正。上式的积分可化为：第45页，共131页，2023年，2月20日，星期四将（1）（2）两个积分代入公式中，可得总流的能量方程式：——总流的能量方程式(恒定总流的伯努利方程)第46页，共131页，2023年，2月20日，星期四（１）恒定总流能量方程各项的物理意义和几何意义总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能

位置高度/位置水头

能量意义

几何意义

压强水头单位重量流体所具有的平均势能

测压管水头速度水头单位重量流体的平均机械能

总水头总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能

总流过流断面上单位重量流体的平均动能

第47页，共131页，2023年，2月20日，星期四（2）恒定总流能量方程图示第48页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）总流能量方程的应用条件①恒定流动；②不可压缩流体；③作用于流体上的质量力只有重力；④所选取的两个计算过流断面应符合缓变流或均匀流条件，但两计算断面之间允许存在急变流；⑤两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变（4）运用总流能量方程的解题步骤①选基准面(参考面）基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个为0，一个为正。②选过流断面和计算点过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取共同应力求使未知数最少。③列能量方程式结合连续性方程求解。第49页，共131页，2023年，2月20日，星期四（6）运用总流能量方程的注意事项①基准面可以任意选取，但必须是水平面；②在计算过流断面的测压管水头（）时，可任意选取过流断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面③方程中的p可以是相对压强也可以是绝对压强，但等式两边一致；（5）α

—动能修正系数：速度分布越不均匀，α

值越大。在均匀流中v=u，所以α=1。在缓变流中

α=1.05——1.10，常取α=1。第50页，共131页，2023年，2月20日，星期四（7）总流能量方程的推广两断面之间有分流或汇流根据能量守恒定理：单位时间内通过1-1、2-2两过流断面间流体的总机械能等于通过3-3过流断面的总机械能。根据连续性方程：第51页，共131页，2023年，2月20日，星期四通过1-1，2-2两个过流断面的流体，全部流向过流断面3-3。即两股总流1-1，3-3和2-2，3-3可分别列能量方程。第52页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：水流通过如图所示管路系统流入大气，已知U形管中水银柱高差hp=0.25m，水柱高h1=0.92m，管径d1=0.1m，管道出口直径d2=0.05m，不计损失。求：管中通过的流量。第53页，共131页，2023年，2月20日，星期四解：（１）选基准面以管道出口断面为基准面，即以2-2面为基准面（２）选过流断面选安装U形管的管道断面为1-1断面；以及管道出口断面为2-2断面（３）选计算点计算点均取在管轴中心上（４）列1-1，2-2断面的能量方程第54页，共131页，2023年，2月20日，星期四相对压强（5）连续性方程第55页，共131页，2023年，2月20日，星期四三、恒定总流能量方程应用1、文丘里流量计用以测量管路中流体流量的设备。它是由渐缩管、喉管、渐扩管所组成。主管路直径d1；喉管直径d2；管长L=0.5d1-0.25d1；渐缩管管长L=2.5d1；渐扩管管长L=7.5d1。欲测某管段的流量，则把文丘里流量计连接在该管段中，因喉管断面缩小，流速增大，动能增加，势能减小，安装在该断面的测压管液面就会低于安装在渐缩管进口断面前的测压管液面。测量两测压管液面高差，便可根据恒定总流的能量方程计算得到管道的流量。第56页，共131页，2023年，2月20日，星期四（1）文丘里流量计——水平管路已知：某水平管路直径d1，喉管直径d2，两根测压管水头差为

Δh,不计能量损失。试求：管道的流量。解：（1）连续性方程列1-2过流断面间的连续性方程第57页，共131页，2023年，2月20日，星期四取管路的轴线为参考面，所以（2）伯努利方程

沿1-2过流断面列伯努利方程，计算点均取在管轴中心第58页，共131页，2023年，2月20日，星期四将连续性方程代入伯努利方程第59页，共131页，2023年，2月20日，星期四第60页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：某倾斜管路直径d1，喉管直径d2，两根测压管水头差为

Δh,不计能量损失，为水的密度。试求：管道中水的流量。（2）文丘里流量计——倾斜管路解：列1-1，2-2断面的能量方程：（参考面为0-0）连续性方程第61页，共131页，2023年，2月20日，星期四K

——

文丘里管常数，可通过计算确定。由于推导过程的简化，实际流量一般低于理论流量，所以需要修正，即µ——

流量系数μ<1，（μ=0.95—0.98）。第62页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）文丘里流量计——安装水银压差计的倾斜管路如果两断面的压差过大，不便读数时可直接安装水银压差计已知：某倾斜管路直径d1，喉管直径d2，不计能量损失,为水银的密度，水银压差计的水银面高差为Δhp

，为水的密度。试求：管道的流量。解：列1-1，2-2断面的能量方程：（参考面为0-0）连续性方程第63页，共131页，2023年，2月20日，星期四第64页，共131页，2023年，2月20日，星期四此时管道通过的实际流量：第65页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：输油管道的直径d1=260mm收缩到d2=180mm，用图示缸套、活塞装置测量油的流量Q。活塞直径D=300mm，油的密度

ρ=850kg/m3，如果固定活塞所要施加的力F=75N。求：管内油的流量Q。第66页，共131页，2023年，2月20日，星期四解：（1）建立连续性方程（2）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程第67页，共131页，2023年，2月20日，星期四取管路的轴线为参考面，所以作用于活塞左右两侧的压力第68页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）作用于活塞上的力F第69页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：为了测量矿山排风管道的气体流量Q，在其出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，在喉部处安装一个细管，下端插入水中，如图所示。其中h=45mm，d1=400mm，d2=600mm，大气压的密度为ρ=1.25kg/m3,水的密度为ρ’=1000kg/m3。求：排风管道的气体流量Q。第70页，共131页，2023年，2月20日，星期四解：（1）建立连续性方程（2）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程大气大气第71页，共131页，2023年，2月20日，星期四取管路的轴线为参考面大气大气第72页，共131页，2023年，2月20日，星期四2、虹吸现象虹吸管是一种在负压（真空）下工作的管道，由于其部分管道高于液面，必存在真空管段，为使虹吸管开始工作，必须由管中预排出空气，在管中初步造成负压，在负压的作用下，液体进入管道并从低液位处排出。第73页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：在图示的虹吸管中，3-3端并未接触水面

，H1=2m，H2=6m，吸管的直径为d=15mm，如不计损失。求：（1）S处的压强应为多大时此管才能吸水？（2）吸管的速度v2及吸管的流量Q为若干？第74页，共131页，2023年，2月20日，星期四选取水平面3-3为基准面，列过流断面2-2及3-3的能量方程：解：选取过流断面1-1、2-2及水平基准面O-O列能量方程：第75页，共131页，2023年，2月20日，星期四由（B）得：第76页，共131页，2023年，2月20日，星期四四、恒定总流动量方程与能量方程的综合应用（1）连续性方程（2）伯努利方程（3）动量方程方程的投影式：求固体壁对液体的作用力或液体对固体壁的作用力时，需要连续性方程、伯努利方程和动量方程综合应用第77页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量

Q=0.1m3/s，若直径d1=300mm，d2=200mm，变直径弯管的转角

θ=600，如图所示。求：水对弯管作用力R

’的大小。

1、水流对弯管的作用力水流经弯管，动量发生变化，水对弯管必然产生作用力R’。而R’与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。第78页，共131页，2023年，2月20日，星期四解：（1）取控制体取管道进、出两个截面和管内壁之间的液体为控制面。取1-1，2-2过流断面之间的液体为控制体。（2）选坐标系（3）建立连续性方程第79页，共131页，2023年，2月20日，星期四（4）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程弯管在水平面内p1=17.6×104Pa——表压强第80页，共131页，2023年，2月20日，星期四（5）控制体受力分析表面力：①控制体进、出口端面的总压力p1A1

，p2A2②固体壁面面对控制体内水的的作用力的合力，即待求的力R。合力R在x，y方向的投影为Rx、Ry。——表压强质量力：因弯管在水平面上，重力垂直于xy平面，所以不计重力。第81页，共131页，2023年，2月20日，星期四（6）建立动量方程——弯管的转角为选定坐标系后，作用力和速度与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，取负值。沿x轴方向：沿y轴方向：第82页，共131页，2023年，2月20日，星期四管壁对水的反作用力水流对弯管的作用力R’与R大小相等，方向相反。——合力与x轴之间的夹角第83页，共131页，2023年，2月20日，星期四2、射流对平面壁的冲击力如图液体自管嘴射出，形成射流，液流处在同一大气压强下，如忽略重力的影响，则作用在流体上的力，只有固体壁对射流的阻力，其反作用力则为射流对固体壁的冲击力。当流体自喷嘴射出时，设为A0、v0，射向平板后，分散成两股，其速度分别为v1、v2，求射流对固体壁的冲击力。第84页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：水平射流从喷嘴射出，冲击一个前后斜置的固定平板，射流轴线与平板成θ角，射流流量为Q1，速度为v1，空气阻力不计。

求：（1）射流沿平板的分流量Q2，Q3；（2）射流对平板的冲击力。解：（2）建立坐标系如图所示（3）受力分析只有平板对射流的阻力

（1）取控制体选射流冲击平板之前的1-1断面和冲击后转向的2-2，3-3断面，即取1，2，3断面及平板、大气所包围的封闭体内的液体为控制体。第85页，共131页，2023年，2月20日，星期四令：可得：同理，对1-1，3-3断面列伯努利方程（5）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程（水平面内的射流）（4）连续性方程第86页，共131页，2023年，2月20日，星期四射流对平板的冲击力（6）动量方程分析控制体流入、流出的动量，列动量方程（流出减流入）x轴方向：y轴方向：x轴方向：第87页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：单位宽度的平板闸门开启时，上游水位h1=2m，下游水位h2=0.8m。试求：水流作用在闸门上的力R。第88页，共131页，2023年，2月20日，星期四（1）取控制体选取1-1断面，2-2断面及平板之间的液体为控制体。解：（2）受力分析平板对流体的阻力R1-1断面流体的压力2-2断面流体的压力第89页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）连续性方程（4）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程参考面选在底面第90页，共131页，2023年，2月20日，星期四（5）动量方程坐标系x轴向右为正，y轴向上为正。则闸门对水流的作用力为R。第91页，共131页，2023年，2月20日，星期四3、水流对喷嘴的作用力已知：如图是消防水龙头的喷嘴，高速水流从管道经过一个喷嘴射入大气，截面积从A1收缩为A2，A1处的绝对压强为P1。

求：水流给喷嘴的力R。

解：（1）取控制体取1-1，2-2过流断面之间的液体为控制体。（2）取坐标系设向右为正（3）根据连续性方程第92页，共131页，2023年，2月20日，星期四（5）伯努利方程对1-1，2-2断面列伯努利方程（4）动量方程坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为-R，由动量方程得：第93页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：井巷喷锚采用的喷嘴如图，入口直径d1=50mm，出口直径

d2=25mm，水从喷嘴射入大气，表压p1=60N/cm2，如果不计摩擦损失。求：（1）喷嘴给水流的作用力。（2）工作面所受的冲击力。解：（1）喷嘴给水流的作用力

由连续性方程：第94页，共131页，2023年，2月20日，星期四由伯努利方程：对1-1，2-2断面列伯努利方程由动量方程：坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为-R表压第95页，共131页，2023年，2月20日，星期四（2）工作面所受的冲击力取2-2，3-3，4-4之间的液体为控制体由连续性方程：由动量方程：坐标系向右为正，则工作面给射流的作用力为-R’第96页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：水从水头为h1的大容器经过小孔流出射向一块无重的大平板，该平板盖住了另一个大容器的一个水位为h2的小孔。设两小孔的面积相等。如果射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压力相等。求：比值。解：分析1、左侧大容器小孔流出水的速度。2、射流部分水流给大平板的力R。3、右侧大容器及大平板射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压力相等，求出比值。第97页，共131页，2023年，2月20日，星期四1、左侧大容器（1）伯努利方程对0-0，1-1断面列伯努利方程参考面：通过1-1断面中心点的水平线为参考面第98页，共131页，2023年，2月20日，星期四2、射流部分（1）取控制体取1-1，2-2，3-3过流断面及平板之间的液体为控制体。（2）取坐标系设向右为正（3）连续性方程（4）动量方程第99页，共131页，2023年，2月20日，星期四（5）建立伯努利方程

对1-1，2-2断面列伯努利方程同理，对1-1，3-3断面列伯努利方程第100页，共131页，2023年，2月20日，星期四3、右侧大容器及大平板（1）大平板平衡（静止）因两小孔的面积相同第101页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：直径为150mm的水管末端，接上分叉管嘴，其直径分别为75mm和100mm，水以12m/s的速度射入大气，如果轴线在同一水平面上，夹角如图，忽略摩擦阻力。求：水作用在管嘴上的力的大小和方向。解：（1）取控制体取0-0，1-1，2-2过流断面之间的液体为控制体。

（2）取坐标系如图所示第102页，共131页，2023年，2月20日，星期四（3）连续性方程（4）伯努利方程列出截面0-0，1-1及0-0，2-2的伯努利方程：因轴线在同一水平面上，所以1-1，2-2断面的表压强为：第103页，共131页，2023年，2月20日，星期四设水作用在管嘴上的水平分力为：水作用在管嘴上的垂直分力为：方向向左方向向下（5）动量方程第104页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：如图所示过水低堰位于一水平河床中，上游水深为h1=1.8m，下游收缩河段的水深h2=0.6m，在不计水头损失的情况下。

求：水流对单位宽度堰段的水平推力。4、水流对水坝的作用力解：（1）取控制体取1-1，2-2过流断面之间的液体为控制体。

（2）建立坐标系第105页，共131页，2023年，2月20日，星期四方向向右表面力：①控制体端面压力因为符合渐变流条件，可以按照流体静力学方法计算：质量力：只有重力G，在x方向无投影②与固体壁面的作用力，即待求的力F，方向向左。方向向左（3）受力分析第106页，共131页，2023年，2月20日，星期四（6）动量方程（4）建立连续性方程（5）伯努利方程对1-1，2-2断面列伯努利方程第107页，共131页，2023年，2月20日，星期四5、射流的反推力设有内装液体的容器，在其侧壁上开一面积为A的小孔,液体从小孔泻出，如图设流量很小，可视为恒定流动，则出流的速度，由伯努利方程：

设容器给液体的作用力在x轴的投影为，由动量方程：由于射流的反推力Fx使容器反方向运动。容器能够沿x轴自由移动。第108页，共131页，2023年，2月20日，星期四应用动量方程可以确定液流与边界之间总作用力的大小和方向，但不能给出作用力的位置。如要确定其位置，用动量矩方程求得。水流通过水轮机或水泵等流体机械时是在叶片所形成的通道内，这时水流与叶片之间有力的作用，受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动，在分析这类流动时也需要了解水流的动量矩变化与外力矩之间的关系。动量矩定理:一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化，等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和。下面以水流通过泵叶轮的流动情况为例来进行分析，所得动量矩方程也适用于一般定常流动情况。6、定常流动的动量矩方程第109页，共131页，2023年，2月20日，星期四设有一水泵的叶轮如图所示，液流从叶轮外周进入，入流的方向与圆周切线方向成一夹角α1，其绝对速度为v1；液流从内周流出，出流方向与圆周切线方向成夹角α2，其绝对速度为v2。第110页，共131页，2023年，2月20日，星期四单位时间内进入叶轮的液体对转轴的动量矩为为：单位时间内流出叶轮的液体对转轴的动量矩为：动量矩的差即为液流作用于叶轮的力矩M。M——叶轮的叶片对液流施加力对转轴的力矩。——定常液流运动的动量矩方程第111页，共131页，2023年，2月20日，星期四已知：一绕中心O旋转的洒水器，水平放置，如图所示。水管两端有方向相反的喷管，喷射水流垂直于水管出流。水管的两臂不等，分别为r1=1m，r2=1.5m；喷管管径d=25mm，每个喷口的流量为Q1=Q2=Q=0.003m3/s，不计阻力。试求：洒水器的转速n。解：因进入洒水器的水流没有动量矩，也没有作用在洒水器上的外力矩。所以出口水流的动量矩为零。设洒水器以等角速度ω绕中心O旋转，由总流动量矩方程得：——绝对速度第112页，共131页，2023年，2月20日，星期四绝对速度——牵连速度——洒水器（刚体）以等角速度ω绕中心O的转动。相对速度——代入第113页，共131页，2023年，2月20日，星期四例题：从喷嘴射出的水流，垂直地冲击一以速度u沿射流方向运动的平板。已知：射流的流量为Q=0.14m3/s，直径为d=22.5cm，u=0.6m/s试求：（1）作用在平板上的力。（2）作用在平板上的力每秒所做的功。第114页，共131页，2023年，2月20日，星期四解：射流长度不断地增加，离开喷嘴的部分流体需要延伸射流的长度，因此减少了冲击平板的水量。每秒离开喷嘴的流体质量=ρAv单位时间内平板移动了距离u，每秒射流增加的流体质量=ρAu每秒内冲击平板的流体质量=ρA（v-u）射流初速度=v射流末速度=平板的速度=u速度的变化=v-u第115页，共131页，2023年，2月20日，星期四由动量定理：作用在平板上的力=射流动量的变化率作用在平板上的力=射流的质量流量×速度变化每秒对平板所做的功=作用力×每秒种移动的距离第116页，共131页，2023年，2月20日，星期四例题：射流冲击平板，射流与平板法线成θ角，若平板在其射流方向上以速度u运动。已知：d1=25mm，v1=6m/s，θ=300试求：作用于平板上的法向力，功率和效率。解：射流冲击倾斜平板时，液体在平板平面上向各个方向扩散，若平板是光滑的，无摩擦时，平板切线方向的动量不变，而在法线方向上的动量转换成对平板的冲击力。第117页，共131页，2023年，2月20日，星期四每秒离开喷嘴的流体质量=ρAv单位时间内平板移动了距离u，每秒射流增加的流体质量=ρAu每秒内冲击平板的流体质量=ρA（v-u）射流沿平板法线方向的初速度=vcosθ射流沿平板法线方向的末速度=

ucosθ沿平板法线方向的速度的变化=（v–u）cosθ第118页，共131页，2023年，2月20日，星期四功率=每秒钟做的功=Fucosθ每秒钟射出射流的动能为：