第四章离散模型

第四章离散模型第1页，共68页，2023年，2月20日，星期三离散模型离散模型：差分方程、整数规划、图论、对策论、网络流、…

…分析社会经济系统的有力工具只用到代数、集合及图论（少许）的知识第2页，共68页，2023年，2月20日，星期三4.1层次分析模型背景日常工作、生活中的决策问题涉及经济、社会等方面的因素作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化

Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法第3页，共68页，2023年，2月20日，星期三目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.第4页，共68页，2023年，2月20日，星期三“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。第5页，共68页，2023年，2月20日，星期三层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地第6页，共68页，2023年，2月20日，星期三成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量第7页，共68页，2023年，2月20日，星期三成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量第8页，共68页，2023年，2月20日，星期三2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量第9页，共68页，2023年，2月20日，星期三一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n

阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下第10页，共68页，2023年，2月20日，星期三“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验第11页，共68页，2023年，2月20日，星期三正互反阵最大特征根和特征向量的使用算法由于当矩阵的阶较大时,用定义来求矩阵的特征值与特征向量是相当困难的.除了用数学软件来求解外,这里介绍最简单的方法近似计算矩阵的特征值与特征向量.和法的步骤为：(1)将A的每一列向量归一化得(2)对按行求和得(3)将归一化第12页，共68页，2023年，2月20日，星期三即为A的近似特征向量.(4)计算作为最大特征值的近似值.例题：设有一成对比较矩阵A为：用和法求出A的最大特征值的近似值,并近似求其对应的特征向量,并对A进行一致性检验.第13页，共68页，2023年，2月20日，星期三解：第一步,先将A的列向量归一化得第二步,将A1按行求和,得第14页，共68页，2023年，2月20日，星期三第三步,将归一化，得第四步，计算第15页，共68页，2023年，2月20日，星期三精确地求出A的最大特征根与对应的特征向量为第16页，共68页，2023年，2月20日，星期三可以看出和法求出的误差很少通过一致性检验.第17页，共68页，2023年，2月20日，星期三例题：设有一成对比较矩阵A为：用和法求出A的最大特征值的近似值,并对A进行一致性检验.第18页，共68页，2023年，2月20日，星期三解：先将A的列向量归一化得对A1每行作和,得第19页，共68页，2023年，2月20日，星期三第三步,将归一化，得归一化得第20页，共68页，2023年，2月20日，星期三通过一致性检验.第21页，共68页，2023年，2月20日，星期三组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第22页，共68页，2023年，2月20日，星期三第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第23页，共68页，2023年，2月20日，星期三组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵第24页，共68页，2023年，2月20日，星期三组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时,除了对每个成对比较阵进行检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.组合一致性检验可逐层进行.若第p层一致性指标为

(n是第p-1层因素的数目),随机一致性指标为定义则第p层的组合一致性比率为第25页，共68页，2023年，2月20日，星期三第p层通过组合一致性检验的条件为定义最下层(第s层)对第一层的组合一致性比率为对于重大项目,仅当适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.第26页，共68页，2023年，2月20日，星期三层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。第27页，共68页，2023年，2月20日，星期三二.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。第28页，共68页，2023年，2月20日，星期三国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1

国家实力分析例2

工作选择第29页，共68页，2023年，2月20日，星期三过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择第30页，共68页，2023年，2月20日，星期三过河的代价

A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择第31页，共68页，2023年，2月20日，星期三待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价第32页，共68页，2023年，2月20日，星期三例5某人准备买一辆汽车,他希望所买的汽车功能强、价格低、油耗低、维修容易(配件容易买到,售后服务好),现有四种牌号的汽车A1,A2,A3,A4可供选择,试运用层次分析法进行决策.解第一步,建立层次分析结构模型购买四种品牌A1,A2,A3,A4之一为我们进行比较选择的方案.因此,用Pi表示购买Ai品牌的汽车(i=1,2,3,4)就构成了最底层方案层.其次,购买的汽车要从四个方面考虑,就功能、价格、油耗、维修(售后服务),因此,它们就构成了准则层.最后,选择一种功能强、油耗低、价格低、售后服务好的汽车是我们的目标,它就构成了目标层.得到的该问题的层次结构模型为：第33页，共68页，2023年，2月20日，星期三购买一辆汽车功能强价格低油耗低售后服务好P1P2P3P4目标层准则层Ci方案层Pi第34页，共68页，2023年，2月20日，星期三第二步，构造成对比较阵对于目标层来说,准则层的各项准则,其优先次序应按购买者从使用的角度或各人偏好出发排序.假设该购买者首先考虑所购汽车要功能强,其次价格低,再次是售后服务好,最后油耗低,然后进行两两比较,假设得到如下的成对比较矩阵：C1C2C3C4C1C2C3C4第35页，共68页，2023年，2月20日，星期三用MATLAB软件求出A的最大特征值为现在针对四种不同品牌的汽车,按照各项准则,两两比较,设分别得到下列成对比较矩阵.第36页，共68页，2023年，2月20日，星期三用MATLAB软件求出A的最大特征值为第37页，共68页，2023年，2月20日，星期三第三步，计算权向量并作一致性检验求出各成对比较矩阵的最大特征值与相应的特征向量,并作一致性检验.用MATLAB软件求出B1,B2,B3,B4最大特征值与相应的特征向量如下表：k12340.37180.408890.45230.36940.42270.408890.35710.45340.0590.055070.06350.10120.14650.127140.12710.0764.036314.010364.124514.21165CI(k)0.01210.003450.04150.0722CR(k)0.010.00380.0460.08第38页，共68页，2023年，2月20日，星期三由于CR(k)<0.1,(k=1,2,3,4),故全部通过一致性检验.第四步，计算组合权向量（作组合一致性检验）组合权向量为：再作组合一致性检验.第39页，共68页，2023年，2月20日，星期三再通过组合一致性检验,故组合权向量可作为决策依据,即购买第二种品牌的汽车A2最好.第40页，共68页，2023年，2月20日，星期三三.层次分析法的若干问题正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？第41页，共68页，2023年，2月20日，星期三层次分析法的优点

系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；

实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；

简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限

囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；

粗略——定性化为定量，结果粗糙；主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。第42页，共68页，2023年，2月20日，星期三4.2循环比赛的名次

n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。根据比赛结果排出各队名次方法1：寻找按箭头方向通过全部顶点的路径。123456312456146325方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5队各胜2场，6队胜1场。无法排名2,3队，4,5队无法排名6支球队比赛结果……32，45排名132456合理吗第43页，共68页，2023年，2月20日，星期三123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循环比赛的结果——竞赛图每对顶点间都有边相连的有向图3个顶点的竞赛图名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4个顶点的竞赛图名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?第44页，共68页，2023年，2月20日，星期三123412341234(1)(2)(3)1234(4)竞赛图的3种形式具有唯一的完全路径，如(1)；

双向连通图——任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)；其他，如(2)，(3)。竞赛图的性质必存在完全路径；若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1)。第45页，共68页，2023年，2月20日，星期三1234(4)双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序邻接矩阵得分向量第46页，共68页，2023年，2月20日，星期三双向连通竞赛图的名次排序对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A满足Ar>0，A称素阵素阵A的最大特征根为正单根，对应正特征向量s，且排名为{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?第47页，共68页，2023年，2月20日，星期三1234566支球队比赛结果排名次序为{1，3，2，5，4，6}第48页，共68页，2023年，2月20日，星期三4.3

效益的合理分配例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……第49页，共68页，2023年，2月20日，星期三(1)

Shapley(沙普利)合作对策[I,v]~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到的分配，满足v(s)~子集s的获利第50页，共68页，2023年，2月20日，星期三公理化方法s~子集s中的元素数目，

Si~包含i的所有子集~由s决定的“贡献”的权重

Shapley值~i对合作s的“贡献”Shapley合作对策第51页，共68页，2023年，2月20日，星期三三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算

1/31/61/61/311213I17511

0114

1647

1/312/37/3x1=13/3类似可得x2=23/6,x3=17/61223第52页，共68页，2023年，2月20日，星期三合作对策的应用例1污水处理费用的合理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图123污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L第53页，共68页，2023年，2月20日，星期三污水处理的5种方案1）单独建厂总投资2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作总投资总投资合作不会实现第54页，共68页，2023年，2月20日，星期三5）三城合作总投资D5最小,应联合建厂建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.6650.5120=3023管道费：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建议：d1按5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按5:3分担,d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174<C(3),城2分担d13/13+d33/8

=132<C(2),城1分担d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意D5如何分担？第55页，共68页，2023年，2月20日，星期三特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资~三城从节约投资v(I)中得到的分配Shapley合作对策第56页，共68页，2023年，2月20日，星期三计算城1从节约投资中得到的分配x111213I04006400025040039

12231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.3,城2C(2)-x2=127.9,城3C(3)-x3=217.8三城在总投资556中的分担x2=32.1,x3=12.2x2最大第57页，共68页，2023年，2月20日，星期三合作对策的应用例2派别在团体中的权重90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。虽然3派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。团体I={1,2,3}，依次代表3个派别îíì=否则，的成员超过定义特征函数045,1)(ssv第58页，共68页，2023年，2月20日，星期三优点：公正、合理，有公理化基础。如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资y