四川省成都重点学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题及参考答案

成都重点学校2022-2023学年度高二下半期考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知为虚数单位，复数，则（）A．1 B． C． D．22．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A．2 B．3 C．9 D．163．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．4．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．执行该程序框图，若输入的a，b分别为35、28，则输出的a=（）A．1 B．7 C．14 D．287．函数的图像大致是（）A． B． C． D．8．已知曲线（为参数）．若直线与曲线相交于不同的两点A，B，则的值为（）A． B． C．1 D．9．过椭圆右焦点的直线交于，两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF=2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A． B． C． D．11．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，为PC的中点，则面PCD与直线BE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的个数是（）①；②；③；④；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．已知函数，则______．14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：233.54.5726384360则表中的值为______．15．已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是______．16．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以M，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于A，B两点，设，求的值．18．（本小题满分12分）已知函数，若曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数在上的最小值．19．（本小题满分12分）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（Ⅰ）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（Ⅱ）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．20．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且．（I）求证：平面QAB；（Ⅱ）求平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明．数学（理科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题1—5BADBC6—10BDCAA11—12DC第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题13．014．8815．16．三、解答题17．【详解】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去t可得直线l的普通方程为：．∵曲线C的极坐标方程为，即，又∵，，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）将（t为参数）代入，得，显然，即方程有两个不相等的实根，设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，则，，∴．18．【答案】（1）；（2）-9【详解】（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为-9．19．【答案】（1）70.5（2）【详解】（1）解：由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：分．（2）解：在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，其中两人得分都在的情况只有，共有1种，所以两人得分都在的概率为．20．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：平面ABCD，，∴平面ABCD．∵平面ABCD，∴．又，，AB，平面QAB，∴平面QAB．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，D为原点，则有，，，，，设平面PBQ的一个法向量为，则有得令，则，，，易知平面PCD的一个法向量为，设平面PBQ与平面PCD所成二面角的平面角为，则，即平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值．21．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c．因为的周长为，所以，①因为椭圆C的离心率为，所以，②由①②解得，．则．所以椭圆的方程为．（2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，，，，解得，①，，则，又为锐角，不共线，则，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以实数的取值范围为．22．【答案】（1）（2）；证明见解析；【详解】（1）的定义域为．由，得在恒成立，转化为，令，则，∴在单调递增，在单调递减，∴的最大值为，∴．∴a的取值范围是．（2）设，则，，．①当时，恒成立，在单调递增，又，，所以存在唯一零点．当时，，当时，．所以存在唯一的极小值点．②当时，，在单调递增，，所以在有唯一零点．当时，，当时，．所以存在唯一的极小值点．③当时，令，得；令，得到