北京市西城区名校2022-2023学年数学八上期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右

上角〃条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是().

A.(X-1)(X-2)=X2-3X+2B.x2-3x+2=(x-l)(x-2)

C.x2+4x+4=x(x-4)+4D.x2+y2=(x+y)(x—y)

2.如图，ZiABC中，AB=AC,ADJLBC,垂足为D,DE〃AB,交AC于点E,则下

列结论不正确的是()

C.AE=EDD.DE=DB

3.2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布.以下是参选的会

徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是()

4.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3,Q为对角

线AC上的动点，则ABEQ周长的最小值为()

D.8

5.如图，直线产-x+m与直线y=nx+5n(n#0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不

等式-x+m>nx+5n>0的整数解为()

A.-5,-4,一3B.一4,一3C.一4,一3,-2D.-3,-2

6.如图，“士”所在位置的坐标为（-1，-2）,“相”所在位置的坐标为（2,-2）,那么“炮”

8.老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中

条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是（)

D.22

9.计算结果为好-V的是（）

A.（-x+j）（-x-y）B.(-x+j)(x+j)

C.(x+j)(-x-y)D.(x-j)(-x-j)

10.甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平

均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.设原来的平均速度为x

千米/时，可列方程为()

420420420420c

A.=2B.--------------=2

X1.5%x1.5x

X1.5x__1x1.5x_1

C.1D.

420420.一2420-420-2

11.一个直角三角形的两条边长分别为3cm,5cm,则该三角形的第三边长为().

A.4cmB.8cmC.^34cmD.4cm或cm

12.如图，。为线段AB的中点，AS=4cm,P「4、P、、巴到点。的距离分别

是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm,下列四点中能与A、3构成直角三角形的顶点是()

A.4B.P2C.P3D.P4

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如果正方形ABC。的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段4E上一

点，射线8M交正方形的一边于点/，且=那么的长为.

14.有一张三角形纸片ABC,N4=80。，点。是AC边上一点，沿方向剪开三角

形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则NC的度数可以是.

15.如图所示，于点。，且AB=BC,BD=ED,若NA6C=54°,则

NE=一

16.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米

材料，其理论厚度应是0.0000034m,用科学记数法表示是»

17.分解因式：9x2-y

18.如图，在AABC中，ZA=90°,AB=2后,AC=后,以BC为斜边作等腰

RtABCD,连接AD,则线段AD的长为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)在AABC中,NACB=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且ADJLMN于D,

BE1.MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，^ADC和△CEB全等吗?请说明理由；

(2)聪明的小亮发现，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，可得DE=AD+BE,请你

说明其中的理由；

(3)小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置，发现DE、AD、BE之间存在着一个新

的数量关系，请直接写出这一数量关系。

20.(8分)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的

同侧作等边AABD和等边ABCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连

接MN得ABIVIN.

求证：AE=DC

21.(8分)如图，△A8C是等边三角形，△AOC与△ABC关于直线AC对称，AE与

CD垂直交5c的延长线于点E,NEA尸=45°,且AF与A3在AE的两侧，EF±AF.

(1)依题意补全图形.

(2)①在4E上找一点P,使点P到点8,点C的距离和最短；

②求证：点。到AF,E厂的距离相等.

A

22.（10分）如图所示，AB//DC,AD1CD,BE平分NABC,且点E是AD的中点,

试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由.

23.（10分）已知3既是x-1的平方根，又是x-2y+l的立方根，求x7y2的平方根.

24.（10分）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍多20。，求此多边

形的边数.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线4：y=丘+8与x轴交于点A（-6,0）,

4

与）’轴交于点8（0,4）,与直线=相交于点C,

（1）求直线4的函数表达式；

（2）求ACOB的面积；

（3）在x轴上是否存在一点P,使APOC是等腰三角形.若不存在，请说明理由；

若存在，请直接写出点尸的坐标

26.如图，△&（：是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E,F分别在AB,AC边

上，连接AD,DE,DF,且NADE=NADF=60°.

小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE=AF,小明把这

个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：利用AD是NEDF的角平分线，构造aADF的全等三角形，然后通过等腰三

角形的相关知识获证.

想法2：利用AD是NEDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后

通过全等三角形的相关知识获证.

想法3：将4ACD绕点A顺时针旋转至aASG,使得AC和AB重合，然后通过全等三

角形的相关知识获证.

请你参考上面的想法，帮助小明证明AE=AF.（一种方法即可）

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【解析】试题分析：因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式.

解：根据因式分解的概念，A,C答案错误；

根据平方差公式：（x+y）（x-y）=x2-y2所以D错误；

B答案正确.

故选B.

考点：因式分解的意义.

2、D

【解析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答即可.

【详解】'：AB=AC,ADA.BC,：.ZCAD=ZBAD,A正确，不符合题意；

BD=CD,B正确，不符合题意；

"：DE//AB,：.ZEDA=ZBAD.

'：ZEAD=ZBAD,：.ZEAD=ZEDA,：.AE=ED,C正确，不符合题意；

OE与08的关系不确定，D错误，符合题意.

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是

解题的关键.

3、B

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.

【详解】A.不是轴对称图形，本选项错误；

B.是轴对称图形，本选项正确；

C.不是轴对称图形，本选项错误；

D.不是轴对称图形，本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合.

4、B

【解析】连接BD,DE,根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE

的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论.

【详解】解：连接BD,DE,

四边形ABCD是正方形，

:,点B与点D关于直线AC对称，

ADE的长即为BQ+QE的最小值，

-DE=BQ+QE=L+际=、中+3：=5.

,ABEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=L

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

5、B

【解析】根据一次函数图像与不等式的性质即可求解.

【详解】直线y=nx+5n中，令y=0,得x=-5

•.•两函数的交点横坐标为-2,

.,.关于x的不等式-x+m>nx+5n>0的解集为-5VxV-2

故整数解为-4,-3,故选B.

【点睛】

此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.

6、B

【分析】由士和相的坐标推得坐标原点所在的位置，即可得出“炮”所在的位置坐标.

【详解】解：根据“士”所在位置的坐标为（-1,-2）,“相”所在位置的坐标为（2,-2）

可建立如图所示坐标系，

“炮'’所在位置为（-3,1）,

故选：B.

【点睛】

本题考查了坐标确定位置的知识，解答本题的关键是要建立合适的坐标系.

7、C

【解析】试题解析：根据轴对称图形的意义可知：选项A.B.D都是轴对称图形，而C

不是轴对称图形；

故选C.

点睛：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这

样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可.

8、B

【分析】条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,

然后按顺序把这些直条排列起来.扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大

小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同

总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数（单位1）,用圆的扇形面积表示各部分占

总数的百分数.

【详解】课外书总人数：6+25%=24（人），

看5册的人数：24-5-6-4=9（人），

故选注

【点睛】

本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键.

9、A

【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一展开即可

【详解】A.(-x+y)(-x-y)=(-x)2-产炉-优故A选项符合题意；

B.(-x+y)(x+y)=(y—x)(y+x)=/一%?,故B选项不符合题意；

C.(x+j)(-x-j)=—(x+y)(x+y)=-x2-2肛一故C选项不符合题意；

D.(x-j)(-X-j)==(-y+x)(-y-x)=(-y)2-*2=9_彳2,故d选项不符合

题意；

故选A.

【点睛】

此题考查的是平方差公式以及完全平方公式,掌握平方差公式以及完全平方公式的特征

是解决此题的关键.

10>B

【分析】设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后的平均速度为1.5x千米/时,

根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可.

【详解】解：设原来的平均速度为x千米/时，

故选：B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找

出合适的等量关系，列方程.

11、D

【分析】根据已知的两边长，利用勾股定理求出第三边即可.注意3cm,5cm可能是两

条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况讨论.

【详解】当3cm,5cm时两条直角边时，第三边=户手=用，

当3cm,5cm分别是一斜边和一直角边时，第三边=炉?'=4,

所以第三边可能为4cm或取cm.

故选D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想.

12、B

【分析】根据O为线段AB的中点，AB=4cm,得到AO=BO=2cm,由Pi、P2、P3、

P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm,得到OP2=2cm,推出OP2=—AB,

2

根据直角三角形的判定即可得到结论.

【详解】为线段AB的中点，AB=4cm,

/.AO=BO=2cm,

VPi>P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm,

AOP2=2cm,

.,.OP=—AB,

22

APi>P2、P3、P4四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是P2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了直角三角形的判定定理，熟记直角三角形的判定是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

【分析】因为BM可以交AD,也可以交CD.分两种情况讨论：

①BM交AD于F,贝！］AABEgZ\BAF.推出AF=BE=3,所以FD=EC,连接FE,

则四边形ABEF为矩形，所以M为该矩形的对角线交点，所以BM=AC的一半，利用

勾股定理得到AE等于5,即可求解；

②BM交CD于F,则BF垂直AE（通过角的相加而得）且△BMEsaABE,则

——=——，所以求得BM等于”.

BMBE5

【详解】分两种情况讨论：

①BM交AD于F,

VZABE=ZBAF=90°,AB=BA,AE=BF,

/.△ABE^ABAF（HL）

AAF=BE,

VBE=3,

AAF=3,

AFD=EC,

连接FE,则四边形ABEF为矩形,

1

.\BM=-AE,

2

VAB=4,BE=3,

.•.AE=物+42=5,

5

2

②BM交CD于F,

VAABE^ABCF,

，NBAE=NCBF,

VZBAE+ZBEA=90°,

，NBEM+NEBM=90。，

.".ZBME=90°,

即BF垂直AE,

/.△BME^AABE,

.ABAE

"1BM~1BE,

VAB=4,AE=5,BE=3,

12

；.BM=—.

5

综上，故答案为：士5或与I?

25

【点睛】

本题考查了正方形的性质和勾股定理，以及三角形的全等和相似，解题的关键是熟知相

似三角形的判定与性质.

14、25。或40。或10°

【解析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出NADB,

再求出ZBDC,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.

【详解】由题意知4ABD与ADBC均为等腰三角形，

对于4ABD可能有

①AB=BD,此时NADB=NA=80。，

.,.ZBDC=180o-ZADB=180°-80o=100°,

ZC=­(180°-100°)=40°,

2

②AB=AD,此时NADB=，(180°-ZA)=—(180°-80°)=50°,

22

.,.ZBDC=180o-ZADB=180°-50o=130°,

ZC=—(180°-130°)=25°,

2

③AD=BD,此时，NADB=180°-2x80°=20°,

.,.ZBDC=180o-ZADB=180o-20o=160°,

ZC=—(180°-160°)=10°,

2

综上所述，NC度数可以为25°或40°或10°

故答案为25。或40。或10°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论.

15、27°

【分析】连接AE,先证RtAABDWRSCBD,得出四边形ABCE是菱形，根据菱形的

性质可推导得到NE的大小.

【详解】如下图，连接AE

VBE±AC,.•.NADB=NBDC=90°

,AABD和ACBD是直角三角形

在RtAABD和RtACBD中

AB=BC

BD=BD

.♦.RtAABDgRtACBD

AAD=DC

VBD=DE

，在四边形ABCE中，对角线垂直且平分

二四边形ABCE是菱形

VZABC=54°

，ZABD=ZCED=27°

故答案为：27°

【点睛】

本题考查菱形的证明和性质的运用，解题关键是先连接AE,然后利用证

RtAABD^RtACBD推导菱形.

16、3.4X106

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO",与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数嘉，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【详解】0.0000034m=3.4xl0\

故答案为：3.4x10-6

【点睛】

此题考查科学记数法，解题关键在于掌握一般形式为axlOZ其中l<|a|<10,n为由原

数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

17、(3x+y)(3x-y).

【解析】直接利用平方差公式进行分解即可.

【详解】原式=(3x+y)(3x-y),

故答案为：(3x+y)(3x-y).

【点睛】

本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

3而

l1oQ>--------

2

【分析】过D作DE_LAB于E,DFJ_AC于F,则四边形AEDF是矩形，先证明

△BDE^ACDF(AAS),可得DE=DF,BE=CF,以此证明四边形AEDF是正方形,

可得NDAE=NDAF=45°,AE=AF,代入AB=2后，AC=6可得BE、AE的

长，再在RtAADE中利用特殊三角函数值即可求得线段AD的长.

【详解】过D作DEJ_AB于E,DF_LAC于F,

则四边形AEDF是矩形，

/.ZEDF=90°，

VZBDC=90",

/.ZBDE=ZCDF,

VZBED=ZCFD=90°,BD=DC,

/.△BDE^ACDF(AAS),

.*.DE=DF,BE=CF,

四边形AEDF是正方形

/.ZDAE=ZDAF=45O,

；.AE=AF,

；.2逐-BE=V5+BE,

:.BE=M

2

…—30

2

.\AD=V2AE=^^,

3V10

故答案为:

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合问题，掌握矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的性

质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）全等，理由见解析；（2）见解析；（3）DE=AD-BE.理由见解析

【分析】（1）根据同角的余角相等得到NACD=NBCE,证明AADCgaCEB即可;

（2）根据全等三角形的性质得到BE=CD,CE=AD,结合图形得到结论；

（3）与（1）的证明方法类似，证明AADCgaCEB即可.

【详解】(1)AAD*ZkCEB.

理由如下：VZACB=90°,

.•.ZACD+ZBCE=90°,

VBE±MN,

.,.ZCBE+ZBCE=90°,

二NACD=NBCE,

在AADC和ACEB中，

ZACD=NCBE

<AADC=ACEB=90°,

AC=CB

.,.△ADC^ACEB；

(2)VAADC^ACEB,

/.BE=CD,CE=AD,

DE=CE+CD=AD+BE；

(3)DE=AD-BE.

证明：VZACB=90°,

/.ZACD+ZBCE=90o,

VAD±MN,

.*.ZACD+ZDAC=90o,

:.ZDAC=ZBCE,

在aADC和ACEB中，

ADAC=ZECB

<ZADC=^CEB=9Q°,

AC=BC

/.△ADC^ACEB,

；.AD=CE,CD=BE,

.*.DE=CE-CD=AD-BE.

【点睛】

此题考查几何变换综合题，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解题关键在于掌握

判定定理.

20、见解析

【分析】根据等边三角形的性质可得NABD=NCBE=60。，AB=BD,BE=BC,根据

角的和差关系可得NABE=NDBC,利用SAS即可证明4ABEg△DBC,可得AE=DC.

【详解】•••△ABD和aBCE都是等边三角形,

.,.ZABD=ZCBE=60°,AB=BD,BE=BC,

，ZABD+ZDBE=ZCBE+ZDBE,即NABE=ZDBC,

AB=DB

在AABE和ADBC中，ZABE=ZDBC,

BE=BC

/.△ABE^ADBC(SAS),

AAE=DC.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定

理是解题关键.

21、(1)详见解析；(2)①详见解析；②详见解析.

【分析】(1)本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可.

(2)①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他

等量线段之和，以达到求解目的.

②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得

出结论.

【详解】(1)补全图形，如图1所示

(2)①如图2,连接B。，尸为30与AE的交点

,等边AACD,AE±CD

.\PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短

故B,D之间直线最短，点P即为所求.

②证明：连接OE,DF.如图3所示

图3

VAABC,△A0C是等边三角形

：.AC=AD,ZACB=ZCAD=6G0

9：AE±CD

：.NCAE=—NCW=30。

2

:・NCEA=NACB-NC4E=30。

：.ZCAE=ZCEA

：.CA=CE

・・・CD垂直平分AE

：.DA=DE

:.ZDAE=ZDEA

VEF±AF,NEA尸=45。

：.ZFEA=45°

:・NFEA=NEAF

：.FA=FE9ZFAD=ZFED

•••△£4。注△户ED(SAS)

：.NAFD=NEFD

工点。到A凡EF的距离相等.

【点睛】

本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分

线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提

升.

22、BC=AB+CD,理由见解析

【分析】过点E作EFLBC于点F,只要证明△ABEgZkFBE(AAS),

RtACDE^RtACFE(HL)即可解决问题；

【详解】解：证明：TABaDC,AD1CD,

AZA=ZD=90°,

过点E作EFLBC于点F,贝IJNEFB=NA=9O。,

XVBE平分NABC,

...NABE=NFBE,

VBE=BE,

/.△ABE^AFBE(AAS),

AAE=EF,AB=BF,

又点E是AD的中点，

.\AE=ED=EF,

ARtACDE^RtACFE(HL),

/.CD=CF,

；.BC=CF+BF=AB+CD.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

23、+1

【分析】根据题意得x-l=9,x-2y+l=27,再解方程组求得x,y的值，代入即可得出答

案.

x—

【详解】解：根据题意得c,

x-2y+l=27②

由①得：x=10,把x=10代入②得：y=-8,

A=10

/.《，

y=_8

/.x2-y2=102-(-8)2=31,

V31的平方根是±1,

.•.x2-y2的平方根是±1.

【点睛】

本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单.注意：一个正数有两个平方根，这

两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

24、1.

【分析】设多边形的一个外角为x,则与其相邻的内角等于3x+20。，根据内角与其相邻

的外角的和是180度列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360。，求出此多

边形的边数为360。取，然后根据多边形内角和公式求解.

【详解】解：设多边形的一个外角为x,则与其相邻的内角等于3x+20。，由题意，得

(3x+20)+x=180°,解得x=40°.

即多边形的每个外角为40。.

又•••多边形的外角和为360。，

...多边形的外角个数=%=1.

40

.•.多边形的边数为1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求

解比较简便.

25、(1)y=|x+4；(2)12；(3)存在，(10,0),(-10,0),(12,O),^y,oj

【分析】(1)将点A、B的坐标代入解析式，即可得到答案；

(2)先求出交点C的坐标，利用底乘高列式计算即可得到答案；

(3)先求出OC的长，分三种情况求出点P的坐标使APOC是等腰三角形.

,f2

-6k+b=Qk=±2

【详解】(1)由题意得彳。一4，解得j3,直线4的函数表达式y=§x+4；

2，

y