10.31充分、必要、充要条件

充分条件、必需条件1、命题：能够判断真假的陈说句，可写成：若p则q

2、四种命题及相互关系：一、复习引入

抗命题

若q则p原命题

若p则q否命题

若p则q逆否命题

若q则p互逆互逆互否互否互为逆否注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。引入：若p则q型的命题（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若a=0，则ab=0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0判断以下命题的真假真真真假推出符号“”的含义假如命题“若p则q”为真，假如命题“若p则q”为假，则记作pq。则记作pq。（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若a=0，则ab=0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0引入：若p则q型的命题真真真假在⑴、⑵、⑷中，，即只要有条件p就一定能“充分”保证q

成立，这时称p是q成立的充分条件.1、思虑：⑴p：小明是江西人q：小明是中国人⑵p：x

>5，q：x

>0；

⑷p：A∩B=A，q：A是B的子集2、学生活动⑴q：小明是中国人p：小明是江西人命题⑴,根据逆否命题,即如果没有q成立,就一定没有p成立,q成立是p成立“必须要有”的条件,称q是p的必要条件.

定义1：假如已知p=>q,则说p是q的充分条件，q是p的必需条件假如已知q=>p,则说q是p的充分条件，p是q的必需条件①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充分的，足够的，足以保证的。②必需性：必需就是一定的，必不可少的。注：③p是q的充分条件与q是p的必需条件是完好等价的，它们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x2–4x+3=0；

（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2

为无理数解：(1)x=1x2–4x+3=0

(2)f（x）=xf（x）为增函数

(3)x为无理数x2为无理数

如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。定义1：是是不是例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中

q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。(3)若a>b，则ac>bc。(1)x=yx2=y2(2)两个三角形全等这两个三角形的面积相等(3)a>bac>bc。是是不是思虑：已知p：整数a是６的倍数，q：整数a是２和３的倍数，那么p是q的什么条件？pq，p是q的充分条件qp，p是q的必需条件称:p是q的充分必需条件,简称充要条件明显,假如p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件p与q互为充要条件(也能够说成”p与q等价”)定义2：例3、以下各题中，哪些p是q的充要条件?(1)p:b=0q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数(2)p:x>0，y>0q:xy>0(3)p:a>bq:a+c>b+c解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分条件。（3）p是q的充要条件假如既有p=>q又有q=>p，就记做p<=>q，则称p是q的充分必需条件，简称充要条件。①明显，假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。p与q互为充要条件(或称“p与q等价”)定义2：②“充要条件”有时还可以够改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示充分，“仅当”表示必需注：p是q充分不用要条件p是q必需不充分条件p是q既不充分也不用要条件p是q充要条件全方向考虑p与q的关系例3．在以下电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；充分不用要必需不充分充要既不充分也不用要练习1已知p,q都是r的必需条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）P是q的什么条件？充要条件充要条件必需条件p是q充分不用要条件p是q必需不充分条件p是q既不充分也不用要条件p是q充要条件复习：p与q的关系又称：q是p必需不充分条件也称：p是q充要条件又称：q是p充分不用要条件例4、请用“充分不用要”、“必需不充分”、“充要”、“既不充分也不用要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充分不用要必需不充分充要既不充分也不用要p=>q，相当于pq，

即

从集合角度理解：充分条件与必需条件的理解pq子集是母集的充分条件，真子集是母集的______________条件充分不用要条件例5、已知p:q:问：p是q的什么条件?解：易得p:q:∵A是B的真子集，∴p是q的充分不用要条件问：q是p的什么条件?练习1设会合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( )A.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件B1）a∈R,|a|<3成立的一个必需不充分条

件是( )A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2A相当于a∈R,_____是|a|<3成立的一个必需不充分条件.A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2练习2a＞b成立的充分不用要的条件是（）A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2D相当于_____是a＞b成立的充分不用要的条件.A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2练习31）.已知p是q的必需而不充分条件，那么┐p是┐q的_______________.练习4、充分不用要条件注、等价法（转变为逆否命题）2）：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（）条件A.充要B必需不充分C充分不用要D不充分不用要Ａ练习５求证：对于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=>B，证必需性即证B=>A1.p是q的充分条件包含两种可能，即p是q的充分不用要条件或p是q的充要条件；相同，p是q的必需条件也包含两种可能，即p是q的必需不充分条件或p是q的充要条件.小结2.对于充要条件命题的证明，一般分充分性和必需性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必需性.3.充要条件是一种等价关系，很多半学问题的求解，就是求结论成立的充要条件.