充分条件与必要条件典型例题

充分条件与必需条件·典型例题能力素质例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[]A．充分但不用要条件B．必需但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件剖析利用韦达定理变换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，x1，x2的值分别为1，－6，x1＋x2＝1－6＝－5．所以选A．说明：判断命题为假命题可以经过举反例．例2p是q的充要条件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线相互垂直均分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解剖析逐一考据命题能否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，

p是

q的既不充分也不用要条件；对B．p

q但

q

p，p是q的充分非必需条件；对C．p

q且

q

p，p是q的必需非充分条件；对D．p

q且q

p，即p

q，p是q的充要条件．选

D．说明：当例3若的充要条件，则

a＝0时，ax＝0有无数个解．A是B成立的充分条件，D是D是A成立的

C成立的必需条件，

C是

B成立[

]A．充分条件C．充要条件剖析经过B、C

B．必需条件D．既不充分也不用要条件作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴∵D是C成立的必需条件，∴

AC

B①D②∵C是B成立的充要条件，∴

C

B③由①③得AC④由②④得AD．∴D是A成立的必需条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传达性．例4设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为

|x－2|＜3，那么甲是乙的[

]A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件剖析先解不等式再判断．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不用要条件，选A．说明：一般状况下，假如条件甲为x∈A，条件乙为

x∈B．当且仅当AB时，甲为乙的充分条件；当且仅当AB时，甲为乙的必需条件；当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5设A、B、C三个会集，为使A(B∪C)，条件AB是[]A．充分条件B．必需条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件剖析可以联合图形剖析．请同学们自己画图．A(B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，明显

A

(B∪C)，但

A

B不成立，综上所述：“A

B”

“A

(B∪C)”，而“A

(B∪C)”

“A

B”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不用要)．选A．说明：画图剖析时要画一般形式的图，特别形式的图会掩饰真实状况．例6给出以下各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．此中p是q的充要条件的有[]A．1组C．3组

B．2组D．4组剖析使用方程理论和不等式性质．解(1)p是q的必需条件(2)p(3)p(4)p

是q充要条件是q的充分条件是q的必需条件．选

A．说明：

ab＝0指此中最稀有一个为零，而

a2＋b2＝0指两个都为零．例7x1＞3x1x2＞6条件．是的x2＞3x1x2＞9剖析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察二者之间的关系．解x1＞3且x2＞3x1＋x2＞6且x1x2＞9，但当取x1＝10，x2＝2时，x1x2＞6x1＞3x1x2＞9成立，而不成立(x2＝2与x2＞3矛盾)，所以填“充分不x2＞3必需”．x1＞3x1－3＞0说明：x2－3＞0x2＞3(x1－3)＋(x2－3)＞0(x1－3)(x2－3)＞0x1＋x2＞6这一等价变形方法有时会用得上．x1x2－3(x1＋x2)＋9＞0点击思想例8已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“ef”的________条件．剖析∵a≥bc＞d(原命题)，∴c≤da＜b(逆否命题)．而a＜be≤f，c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常有的思想方法．例9ax2＋2x＋1＝0最稀有一个负实根的充要条件是[

]A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或

a＜0剖析除法解之．当

此题若采纳一般方法推导较为复杂，a＝1时，方程有负根x＝－1，当

可经过选项供给的信息，a＝0时，x＝

用排1－．故除掉A、B、D选C．21解常例方法：当a＝0时，x＝－．2当a≠0时．＞，则2＋＋＝最稀有一个负实根244a＜01a0ax2x102a2－＜20＜≤．1aa12．＜，则2＋＋＝最稀有一个负实根244a＜0a0ax2x102a2＞21－a＞21－a＞1a＜0．综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0最稀有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特别值法、除掉法都是解选择题的好方法．例10已知p、q都是r的必需条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？剖析画出关系图1－21，观察求解．解r是p是

s是q的充要条件；q的充要条件；(rq的必需条件；(q

(sq，qs

rr

s

q，qr)p)

s)说明：图可以画的随意一些，要点要表现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11关于x的不等式|x－(a1)2≤(a1)2与x2－＋＋＋≤的解集挨次为A22与，问“AB”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？B1a3a1剖析化简A和B，联合数轴，构造不等式(组)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}1当2≤3a＋1即a≥时，3B＝{x|2≤x≤3a＋1}．≥2AB2a≤≤a2+1≤3a+11a3当2＞3a＋1即a＜1时，3B＝{x|3a＋1≤x≤2}2a≥3a+1ABa＝－1．a2+1≤2综上所述：ABa＝－1或1≤a≤3．∴“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件．说明：会集的包括关系、命题的真假常常与解不等式亲近相关．在解题时要理清思路，表达正确，推理无误．学科浸透例12x＞y，xy＞0是1＜1的必需条件还是充分条件，还是充y要条件？剖析将充要条件和不等式同解变形相联系．解1．当

1＜

1

时，可得

1

－

1＜0即

y

x

＜0x

y

x

y

xyy－x＞0y－x＜0则或xy＜0xy＞0，x＜yx＞y即或xy＜0xy＞0，故1＜1不可以推得x＞y且xy＞0(有可能获得x＜y)，即x＞y且xyxyxy＜0＞0其实不是1＜1的必需条件．xyx＞yx＞y2．当＞且xy＞则分成两种状况议论：x＞或x＜0xy00y＞0y＜0不论哪一种状况均可化为1＜1．yx＞y且xy＞0是1＜1的充分条件．y说明：分类议论要做到不重不漏．例13设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试剖析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？剖析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．此后再考据是p还是q还是pqqp．pqa＞2解据韦达定理得：a＝α＋β，b＝αβ，判断的条件是p：b＞1结论是q：α＞1＝a2－4b(还要注意条件p中，a，b需要满足大前提β＞1≥0)α＞1(1)由得a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，β＞1qp．上述议论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必需但不充分条件．说明：此题中的议论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．高考巡礼例14(1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，假如甲是乙的必