第六节 函数的几种简单性质

第六节函数的几种简单性质第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三（一）函数的奇偶性§1.6函数的几种简单性质

（二）函数的周期性

（三）函数的单调性

（四）函数的有界性第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三【定义1.10】设函数（1）如果对所有的，则称为偶函数。（2）如果对所有的，则称为奇函数。第一章函数（一）函数的奇偶性有有第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三

奇偶函数的性质偶函数的图形关于轴对称奇函数的图形关于原点对称如图所示偶函数奇函数第一章函数第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三奇函数奇函数＝奇函数偶函数偶函数＝偶函数奇函数偶函数＝非奇非偶函数奇函数奇函数＝偶函数偶函数偶函数＝偶函数奇函数偶函数＝奇函数第一章函数第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三证令因此，是偶函数。证毕.第一章函数证明是偶函数。例1设是奇函数，是奇函数，第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三例2设函数，

解因此，函数为偶函数。如图所示第一章函数讨论其奇偶性第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三例3设函数，

解因此，函数为奇函数。如图所示第一章函数讨论其奇偶性第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三例4设函数，

解因为所以函数是非奇非偶函数。如图所示第一章函数讨论其奇偶性第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三

（二）函数的周期性

【定义1.11】设函数，中学已经学过：正弦函数余弦函数正切函数余切函数都是周期函数。第一章函数常数，函数为周期函数。，若存在正使得恒成立，则称此满足这个等式的最小的正数通常称为函数的周期。第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三周期是周期是正弦和余弦的图形如下第一章函数第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三正切和余切的图形周期是周期是第一章函数第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三

（三）函数的单调增减性【定义1.12】设函数对区间第一章函数内的任意两点和：在区间内是单调增加的（或称单调增）；则称此函数当时，有，当时，有，在区间内是单调减少的（或称单调减）。则称此函数第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三如图所示单调增加单调减少第一章函数单调增加函数的图形是沿轴正向逐渐上升的；下降的。单调减少函数的图形是沿轴正向逐渐第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三例5判断函数的单调性。

解对任意的，若，即故函数单调递增。如图所示第一章函数则第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三例6判断函数的单调性。

解对任意的，有在内，即在此区间内，在内，即在此区间内，因此在内，第一章函数函数单调递减。函数单调递增。若，有若，有不是单调函数。第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三如图所示一般称为此函数的单调减区间为此函数的单调增区间第一章函数第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三

（四）函数的有界性【定义1.13】设函数在区间

无界的定义可叙述为对任意的正数，第一章函数内有定义（可以是函数的整个定义域，可是定义域的一部分）。也所有的，内有界。否则，称函数在内无界。若存在正数，对于恒有，则称函数在总存在，使得称函数在内无界。第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三

例如函数在内有界。对任意的实数，函数在上无界。的正数，就有但函数在上有界，所以，函数在上无界。第一章函数因为，恒有。因为，对任意只要取实数因为在此区间上有第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三函数有界性与讨论的区间有关

对函数有界性的讨论，需要注意函数的界不唯一函数有界要既有上界又有下界第一章函数第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三内容小结1.函数的奇偶性偶函数奇函数2.函数的周期性3.函数的单调性增减4.函数的有界性作业P4342--49第一章函数第21页，共24页，2023年，2月20日，星期三备用题

1.证明狄利克雷（Dirichlet）函数是周期函数。证有理数＋有理数＝有理数无理数＋有理数＝无理数对任何正有理数，则即任何正有理数都是其周期，（有理数）（无理数）第一章函数由于但无最小正周期。第22页，共24页，2023年，2月20日，星期三

2.证明定义在对称区间内的任何函

证令则是偶函数；而证毕.第一章函数数，数的和的形式。都可以表示为一个偶函数和一个奇函是奇函数。第23页，共24页，2023年，2月20日，星期三