2020年数学中考专题练习：《二次函数》（含答案）

《二次函数》

姓名：班级：考号：

第I卷(选择题)

一.选择题

1.如果将抛物线y=3*+2向右平移1个单位，那么所得新抛物线的顶点坐标是()

A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(7,2)D.(1,-2)

2.若抛物线了=2*+。广，的开口向上，对称轴是直线x=/,点/(-2,%)、B(1,%)、

C(2,%)都在该抛物线上，则%、%、%的大小关系是()

A.B.%<%<%C.yz<y2<yxD.y2<y3<yx

3.已知抛物线/=2/+云+。经过点(-4,0)，(-3,ri'),若用,局是关于x的一元二次方

程@/+云+。=0的两个根，且面>。，则下列结论一定正确的••是()

A.n^-n>0B.m-n<0C.m*n<0D.—>0

4.关于抛物线y=*+6x，-8,下列选项结论正确的是()

A.开口向下

B.抛物线过点(0,8)

C.抛物线与x轴有两个交点

D.对称轴是直线x=3

5.抛物线尸af+b户。与直线尸a*c(a#0)在同一直角坐标系中的图象可能是()

6.已知抛物线y=af+Z?x+c(ar0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:

X-2-10123

y•••-40220-4

下列结论：

①抛物线开口向下；

②当x>l时，y随x的增大而减小；

③抛物线的对称轴是直线x=^

④函数y=a*+Z?x+c(a#0)的最大值为2.

其中所有正确的结论为()

A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④

7.函数尸@/+2>产。的图象如图所示，关于x的一元二次方程aV+6户c-4=0的根的情况

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.有两个异号的实数根

8.如图，在平面直角坐标系X。中，点4(-2,-2),8(0,3),<7(3,3),〃(4,-2).y

是关于x的二次函数，抛物』线外经过点4B,C.抛物线为经过点氏C,D,抛物线外

经过点4B,D,抛物线弱经过点4C,〃，则下列判断其中正确的是()

①四条抛物线的开口方向均向下；

②当x<0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；

③抛物线M的顶点在抛物线为顶点的上方；

④抛物线%与y轴交点在点8的上方.

BA

6x

O

AD

A.①②④、B.①③④C.①②③D.②③④

9.如图，抛物线y=a*+bx+c与x轴的一个交点｛在点（-2,0）和（-1,0）之间（包

括这两点），顶点C是矩形庞？外上（包括边界和内部）的一点，a取值范围是（）

10.如图，，A,B、C三点均在二次函数的图象上，"为线段4。的中点，身痔y轴，且

MB=2.设4，两点的横坐标分别为小t2（t2>t^,则t2-右的值为（）

A.3B.2-72C.2愿D.2旄

11.二次函数y=—的图象如图,对称轴为直线*=2,若关于x的一元二次方程-e+mx

-t=0（t为实数）在l<x<6的范围内有解，则t的取值范围是（）

y

A.-12<f<3B.-5<t<3C.-12<^4D.-5<t<4

12.如图，抛物线y=-f+2广卬交不轴于点/0）和6（6,0）,交y轴于点G抛物线

的顶点为〃下列四个结论：

①点。的坐标为（0,®）;

②当m=0时，△48〃是等腰直角三角形；

③若a--1,则6=4；

④抛物线上有两点户（为，％）和。（如为），若为<1<的，且毛+々>2,则%>如

其中结论正确的序号是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

第n卷(非选择题)

二.填空题

13.在关于x的二次函数y=a/+6x+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函

根约等于(结果保留小数点后一位小数).

a+

14.如图，直线y1—kx+n(AWO)与抛物线y2~^bx+c(aWO)分别交于J(-1,0,B

(2,-3)两点，则关于x的方程4A+〃=a*+6A+c的解为.

15.如图，在平面直角坐标系中，点/是抛物线y=a/-6a卢9/〃与y轴的交点，点5是

这条抛物线上的另一点，且轴，则以48为边的等边三角形的周长为.

16.如图，一段抛物线：y=-x(^-3)(0WxW3),记为卬它与x轴交于两点0，4；

将G绕4旋转180°得到乙,交x轴于为将G绕4旋转180°得到乙，交/轴于“

过抛物线G，G顶点的直线与乙、乙围成的如图中的阴影部分，那么该面积为

G

17.如图为二次函数y=a/+6x+c图象，直线y=t(t>0)与抛物线交于46两点，A,B

两点横坐标分别为如n.根据函数图象信息有下列结论：

①a6c>0；

②若对于t>0的任意值都有m<-1,则心1；

③研n=1；

@m<-1；

⑤当£为定值时，若a变大,则线段46变长.

其中，正确的结论有(写出所有正确结论的番号)

三.解答题

18.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=a(*+x-1)的图象交于点/(I,a)

和点6(-1,-a).

(1)求直线48与y轴的交点坐标;

（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着/的增大而增大，求a应满

足的条件以及x的取值范围：

（3）设二次函数的图象的顶点为0,当。在以45为直径的圆上时，求a的值.

19.如图，对称轴为x=l的抛物线经过力（-1,0）,B（2,-3）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）一是抛物线上的动点，连接。。交直线AB于■点、Q,当0是。尸中点时，求点尸的坐标:

（3）C在直线上，〃在抛物线上，£在坐标平面内，以B,C,D,£为顶点的四边形为

正方形，直接写出点£的坐标.

20.某商场购进某种商品时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是60

元时，销售量是300件，而销售单价•每涨1元，就会少售出10件.

（1）设该种商品的销售单价为x元（x>40）,请你分别用x的代数式来表示销售量了件

和销售该品牌玩具获得利润及元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）X

销售量y（件）

销售服装获得利润/（元）

（2）在（1）的条件下，若商场获得了4000元销售利润，求该商品销售单价x应定为多

少元？

（3）当定价多少时，该商场获得的最大利润，最大利润是多少元？

21.某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高8=6处跨

度AB=20m,有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH,相邻两支柱的距离均为5加

（1）以用的中点为原点，协所在直线为x轴，支柱切所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，求抛物线的解析式；

（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；

（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2加的隔离带），其中的一条行车道是坦克

的行进方向，现每辆坦克长4处宽2m,高3加，行驶速度为24妫/A,坦克允许并排行驶,

坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长

1000/^的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？

22.已知抛物线y=/+{2m-1）X-2R（勿＞0.5）的最低点的纵坐标为-4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,抛物线与x轴交于48两点、（点/在点8的左侧），与y轴交于点GD

为抛物线上的一点，如平分四边形/I腼的面积，求点。的坐标；

（3）如图2,平移抛物线y=*+（2加-1）x-2m,使其顶点为坐标原点，直线y=-2

上有一动点只过点夕作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点反直线PE、PF不

与y轴平行)，求证：直线跖恒过某一定点.

23.如图，在平面直角坐标系*行中，二次函数尸与x轴交于点4(10,0),点8

(1,2)是抛物线上点，点”为射线仍上点(不含。，6两点)，且.物吐x轴于点"

(1)求直线加及抛物线解析式；

(2)如图1,过点材作旅〃x轴，且与抛物线交于C,。两点(〃位于。左边)，若必=

例/，点0为直线式'上方的抛物线上点，求△68面积的最大值，并求出此时点。的坐标；

(3)如图2,过点8作缈〃x轴，且与抛物线交于£,在线段的上有点只在点〃从左

向右运动时始终有加-2。〃，过点户作QVCLx轴，且7W与直线仍交于点当〃与/V重

合时停止运动，试判断在此运动过程中△历出与48监1能否全等，若能请求出全等时的利

长度，若不能请说明理由.

参考答案

选择题

1.解：由将抛物线y=3f+2向右平移1个单位，得

y=3（x-1）2+2,

顶点坐标为（1,2）,

故选：C.

2.解：抛物线尸aV+6户c的开口向上，对称轴是直线x=/,当时，y随x的增大

而增大，

:点4（-2,乂）、6（1,%）、C（2,%）都在该抛物线上，

.•.点力关于对称轴■的对称点是（3,力），

；•%<%<外，

故选：D.

3.解：..‘抛物线y=af+6A+c经过点（-4,加），（-3,n）,xt,々是关于x的一元二次方

程a?+8Ac=0的两个根，且-4<%<-3,*2>。，

〃<0或z»<0,z?>0,

,当加>0,〃<0时;研〃的正负不好确定，ni-n>0,mn<0,—<0,

当卬<0,〃>0时，帆〃的正负不好确定，m-n<0,mn<0,—<0,

由上可得，一定正确的结论是在<0,,

故选：C.

4.解：/、抛物线y=V+6x-8中a=l>,则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意.

B、x=0时，尸抛物线与y轴交点坐标为（0,-8）,故本选项不符合题意.

C.A=62-4XlX8>0,抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意.

D、抛物线y=/+6x-8=（广3）2-17,则该抛物线的对称轴是直线x=-3,故本选项

不符合题意.

故选：C.

5.解：/、一次函数y=aAc与y轴交点应为（0,c）,二次函数y=a*+/+c与y轴交点

也应为（0,c）,图象不符合，故本选项错误;

B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,a的取值矛盾，故本选项错误；

C,由抛物线可知，a<0,由直线可知，a>0,a的取值矛盾，故本选项错误；

D、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a<0,且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本

选项正确.

故选：D.

6.解：由表格可知，

a~b+c=O

1a+b+c=2

,c=2

'a=-l

解得，b=l

.c=2

抛物线的解析式为y=-*+户2,

Va=-1<0,抛物线开口向下，①正确；

抛物线的对称轴是直线”=等=[,故②③正确，

抛物线的顶点坐标是（!，当,故④错误，

24

故选：4

7.解：由函数图象可知，

函数y=ax^bx^c的最大值是4,

即4=对应的矛的值只有一个，

即一元二次方程a^bx^c-4=0有两个相等的实数根，

故选：A.

8.解：根据已知条件利用待定系数法可得：

1

2

--fzW

2x

8

5

--(

4

93一

516

--z+

8k289,

%=-(x-1)2+7=-产+2/6.

%与y轴交点为（0，6）.

①四条抛物线的开口方向均向下；

②当x<0时，四条抛物线表达式中的y均随X的增大而增大;

③抛物线外的顶点在抛物线为顶点的下方；

④抛物线出与y轴交点在点8的上方.

所以①②④正确.

故选：A.

9.解：•.,顶点。是矩形Z®%上(包括边界和内部)的一个动点，

二当顶点。与〃点重合，顶点坐标为(1,3),则抛物线解析式尸a(x-1).3,

.a(-2-l)2+340

-

ta(1~1)2+3>0

解得--4；

43

当顶点c与尸点重合，顶点坐标为(3,2),则抛物线解析式y=a(X-3)、2,

./a(-2-3)2+2<0

2

La(-l-3)+2>0

解得-

o25

•••顶点可以在矩形内部，

-law-义，

425

故选:A.

10.解：设6点坐标为6(x,A2),

“"〃y轴，，监=2,

*+2),

；/、B、C三点均在二次函数尸V的图象上，

2)

：.A(匕2),C(t2,t2-

为线段47的中点，

2+2=+2

tl+t2—2x,tj12-^>

/.(t2-&)2=8,

•t?f

：.t2-tx=2y12'

故选：B,

11.解：•.•对称轴为直线X=-cszV-=2,

2X（-JJ

•・加=4,

.♦.抛物线解析式为y=-f+4x,

当x=2时，y—-4+8=4,即抛物线的顶点坐标为（2,4）,

••・关于x的一元二次方程-f+侬-t=0（［为实数）在KVx<6的范围内有解，

，抛物线y=-f+4x与直线y=t在l<x<6的范围内有交点，

当x=l时，y—-1+4=3；当x=6时，y=-36+24=-12,

即1V/V6时，y的范围为-12Vj<4,

.•.当-12<tW4时，关于x的一元二次方程-^+mx-t—0（t为实数）在1<XV6的范

围内有解.

故选：C.

12.解：①：抛物线与y轴的交点坐标为（0,加，

C（0,/»）,

故①正确；

②当加=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0,0）、（2,0）,

对称轴方程为x—\,

...△4劭是等腰直角三角形，

故②正确；

③当a=-1时;抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,

•.,对称轴x=l,

，另一个交点坐标为（3,0）,

Ab=-3,

故③错误；

④观察二次函数图象可知：

当且%+々>2，则

故④正确.

故选：C.

二.填空题（共5小题）

13.解:由表格可知,

当x=5时，y=-1.10<0,当x=6时，y=0.14>0,

则关于x的一元二次方程af+6户c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8,

故答案为：5.8.

14.解：•直线%=%x+/?(AWO)与抛物线必=af+b户c(。#0)分别交于4(-1,0),B

(2,-3),

当外=为时，即公什〃=af+Ar+c,x的值是x=-1或x=2.

关于的方程的解为为=-1,X2—2,

故答案为：*=-1,々=2.

15.解：抛物线y=ax2-6aA^■9a+4的对称轴是x=3,

作破1四于点〃，则4?=3,

贝ijAB=2AD=6,

则为边的等边△49C的周长为3X6=18.

故答案是：18.

16.解:当x=^|时，尸左,则点G仔》同理点G(写,》

由图象可以看出阴影部分的面积等于△GQG的面积=/XGGX2%=/X6X5=

27

T,

故答案为：~~-

2

17.解：由图象可知，a>0,c--2,

b--a<0,

/.abc>0；

.•.①正确;

/、6两点关于x=-^■对称，

2

研〃=1,

③正确；

a>0时，当a变大，函数尸aV-ax-2的开口变小,

则18的距离变小，

⑤不正确；

若m<-1,n>2,

由图象可知n>\,

④不正确；

当a=l时，对于t>0的任意值都有m<-1,

当a>l时，函数开口变小，则有m>-1的时候，

②不正确；

故答案①③.

三.解答题（共6小题）

18.解：（1）设直线的解析式为：尸kx+b,

由题意可得卜=k+b

（-a=-k+b

:・b=G,k=a,

/.直线力3的解析式为：y=ax,

.•.当x=0时，y=0,

.♦.直线股与y轴的交点坐标(0,0)；

(2):反比例函数过点4(1,a),

...反比例函数解析式为：尸曳，

X

・・,要使反比例函数和二次函数都是y随着X的增大而增大，

aV0.

'・,二次函数p=d(x+x-1)=a(^+―)2--a,

24

・，・对称轴为：直线x=-

要使二次函数y=a(/+x-1)满足上述条件，在k<0的情况下，x必须在对称轴的左

边，即■时，才能使得y随着x的增大而增大.

综上所述，a<0且xW-

(3)•.•二次函数y=a(9+x-l)=a(广上)2-—a,

24

；♦顶点0(-5，-

24

在以四为直径的圆上，

：.OA=OQ,

：.(--)2+(-—)2=l2+a2,

24a

:.a=^区

3

19.解：(1)对称轴为x=l的抛物线经过4(-1,0),则抛物线与x轴的另外一个交点坐

标为：(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(广1)(x-3),

将点8的坐标代入上式并解得：a=l,

故抛物线的表达式为：尸f-2x-3；

(2)设点、P5/-2m-3),

将点/、6的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线48的表达式为：y=-x-\,

当0是8中点时，则点例

22

将点0的坐标代入直线4?的表达式并解得：勿=）土匹,

2

故点Q（上强，金区）或（土金，二1M£）；

2222

（3）①当比为正方形的对角线时，如图1所示,

图1

直线的表达式为：y=-x-1,则点C（0,，-1）,点〃（0,-3）,

BD=CD=2,故点E、（3,-2）；

②当外是正方形的一条边时，

（I）当点。在根下方时，如图2所示，

抛物线顶点尸的坐标为：（1，-4）,点6（2,-3）,椒PD1BC,

有图示两种情况，左图，点C、£的横坐标相同，在函数对称轴上，故点回（1,-4）；

此时，点以£的位置可以互换，故点耳（0,-3）；

右图，点反£的横坐标相同，同理点鸟（2,-5）；

（II）当点〃在48上方时，

此时要求点8与点〃横坐标相同，这是不可能的，故不存在；

综上，点£的坐标为：（3,-2）或（1,-4）或（0,-3）或（2,-5）.

20.解,:(1)由题意得，销售量为：300-10(%-60)=900-10%,

销售获服装得利润为：(x-40)(900-10A-)=-10/+1300A--36000；

(2)列方程得：-10/+1300X-36000=4000,

解得：x,=50,西=80.

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得4000元销售利润;

(3)--10A1300X-30000=-10(x-65)2+6250,

所以当定价为65元时的利润最大，最大利润为6250元.

故答案为：900-10x,-10/+1300A--36000.

21.【解】(1)设/=@/+£?,把C(0,6)、6(10,0)代入，

得a--c—&.

50

".y^——^+6.

50

(2)当x=5时，y———X52+6=—,

502

911

：.EF^10--,310-6=4,

22

支柱的总造价为2(2X?2X10+4)=70(万元).

(3)•.•坦克的高为3米，令y=3时，+6=3,

50

解得：X—±5-72'

：7<5&<8,坦克宽为2米，

,可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120+3X4=160(米),

坦克的行驶速度为24km/h=400米/分，

•••通过隧道的最短时间为10°??60=2.9(分).

400

22.解：(1)•.•/=*+(2/z?-1)x-2勿=(肝勿-0.5)2-/-勿-0.25,

，顶点坐标为(0.5-加，0.25)

・・,最低点的纵坐标为-4,

-nf-m-0.25=-4,即4#+4m-15=0,

：・/n=l.5或-2.5,

Vm>0.5,・,•勿=1.5.

...抛物线的解析式为y=f+2x-3；

(2)•••尸/+2*-3与x轴交于48两点、(点4在点6的左侧)，与y轴交于点G

：.A(-3-,0),B(1,0),C(0,-3).

如图1,连4c交BD于E,过1作AMYBD于M,过C作CNLBD于N,

•：如平分四边形ABCD的面积，

,,/”幽一S&CRU，

：.—BDXAM=—BDXCN,

22

：.AM=CN,且//£¥=/G稠；NAME=NCNE=90°

二△力£侬△例(A4S),

AE=CE,

：.E(-1.5,-1.5),且8(L0),

，直线班1的解析式为y=0.&x-0.6.

A0.6%-0.6=*+2x-3,

解得-孕，4=1，

5

：.D(-—,

525

(3)由题意可得平移后解析式为尸

设£(匕，t2),F(n,6)，

设直线"为y=4(A--t)