2019年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3

页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形

码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号

后两位。

答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第H卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答踵卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作

图题可先用铅笔在答跑卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在

题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

椎体体积丫=，5力，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高.

3

I〃

若y二—（X],y]），（x2,y2）（x“，y〃）为样本点，$=为回归直线，则

〃i=i

xnx

Z（%一9）（“一歹）X<y<-y

b=归----------------------三月----------------__

YV-2”丁2>a=y-bx

1=11=1

a=y-bx

说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位，复数匕丝为纯虚数，则实数。为

2-Z

（A）2（B）-2（C）--（D）-

22

(2)双曲线2d—>2=8的实轴长是

(A)2(B)272(C)4(D)472

(3)设/(x)是定义在R上的奇函数，当x〈O0寸J(x)=2,一x,贝"⑴=

(A)-3(B)-1(C)I(D)3

(4)设变量满足|x|+|y区1,贝k+2y的最大值和最小值分别为

(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1

7T

(5)在极坐标系中，点(2,§)到圆夕=2005。的圆心的距离为

(B)

(A)2卜+在(D)V3

(6)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

(A)48

(B)32+8而

(C)48+8V17

(D)80

(7)命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的行定是

(A)所有不能被2整除的数都是偶数

(B)所有能被2整除的整数都不是偶数第(8)11图

(C)存在一个不能被2整除的数都是偶数

(D)存在一个能被2整除的数都不是偶数

(8)设集合4={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7,8}则满足514且5的集合S为

(A)57(B)56(C)49(D)8

TT

(9)已知函数/(%)=sin(2x+0)，其中9为实数，若f(x)</(—)对xwR恒成立，且

6

>/(»)，则/&)的单调递增区间是

(A)《左»一事,我"十菅:(&£Z)(B)卜肛+

/c、L兀、2万

(C)《kjr-\—,kjrH---(AeZ)(D)1上万一5，％万1(%eZ)

163

(10)函数/(幻=。1"(1一幻"在区间[0,1]

上的图像如图所示，则m,n的值可能是

(A)m=l,n=l(B)m=l,n=2

(C)m=2,n=1(D)m=3,n=l

第H卷(非选择题共100分)

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

(11)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是.

(12)设(x—I)-'=4+a1％+ci^x~+•,,+2//，则40+q]=。।

(13)己知向量满足(a+2Z?)―(a-份=-6,且同=1,同=2,

则a与b的夹角为.

(14)已知A4BC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的

/希出"

等差数列，则AABC的面积为.

(结束)

(15)在平面直角坐标系中，如果％与)，都是整数，就称点(x,y)为整点，

*(ii)as

下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与匕都是无理数，则直线y=奴+2不经过任何整点

③直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点

④直线y=履+匕经过无穷多个整点的充分必要条件是：人与人都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答

题卡的制定区域内.

(16)(本小题满分12分)

设/(x)=—J*，其中。为正实数

1+OX

4

(I)当Q=§时，求/(工)的极值点；

(II)若/(九)为R上的单调函数，求。的取值范围。

(17)(本小题满分12分)

如图，A8COEFC为多面体，平面ABEO与平面AGP。垂直，点。在线段A。上,

OA=1,OD=2Q0AB,,△OAC,△ODE,△0。/7都是正三角形。

(I)证明直线8C〃EF；

(II)求棱锥F—OBED的体积。

«(17)BS

(18)(本小题满分13分)

在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃+2个数构成递增的等比数列，将这〃+2个数的

乘积记作T„,再令an=lgT,Bl.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)设d=tanantanan+i,求数列｛包｝的前〃项和Sn.

(19)(本小题满分12分).

(I)设xNLyNl,证明+L+盯;,

(II)\<a<b<c,iiElogab+log/?c+log(,a<logfca+Iog(,b+log,

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一

次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在

一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别由，生，2,假设PI，P2，P3互不

相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派

出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（n）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为彷,%,%,其中0,%,%是

回，必,〃3的一个排列，求所需派出人员数目x的分布列和均值（数字期望）EX；

（ni）假定1＞目＞〃2＞〃3,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均

值（数字期望）达到最小。

（21）（本小题满分13分）

设义＞0,点A的坐标为（1,1）,点B在抛物线y上运动，点。满足=经过。

点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足丽=2诉，求点P的轨迹方程。

第（21）题图

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

(1)A(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C(7)D(8)B(9)C(10)B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.

(1)15(⑵0(13)-(14)1573(15)①，③，⑤

3

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(16)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关

系，求解一元二次不等式基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.

解：对/~(x)求导得八X)=e*1*"二①

(l+ar)’

(I)当a=g,若/'(x)=0,则4x?—8x+3=0,解得网=^,x2=g.

综合①，可知

£3(|,8)

X

T)2£2

r(x)+0—0+

/(x)/极大值极小值/

31

所以，玉=2是极小值点,/=—是极大值点.

22

(II)若/(x)为R上的单调函数，则/'(x)在R上不变号，结合①与条件a>0,知

ax1—2ax+1>0

在R上恒成立，因此A=4Q2-4。=4。(。-1)<0,由此并结合。>0,知0<。41.

(17)(本小题满分12分)本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间

直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能

第(17)题综合法解答用图第(17)噩向量法解答用图

(I)(综合法)

证明：设G是线段D4与EB延长线的交点.由于AOAB与40DE都是正三角形，所以

OB//-DE,0G=0D=2,

=2

同理，设G'是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG'=OD=2.

又由于G和G'都在线段DA的延长线上，所以G与G'重合.

在4GED和AGFD中，由〃工OE和0C〃工DF,可知B和C分别是GE和GF的中点，

==2=2

所以BC是AGEF的中位线，故BC〃EF.

(向量法)

过点F作FQ_LAZ),交AD于点Q,连QE,由平面ABED_L平面ADFC,知FQ_L平面ABED,

以Q为坐标原点，瓦为X轴正向，而为y轴正向，砺为z轴正向，建立如图所示空间直角坐

标系.

由条件知E(g,O,O),尸(0,0,石),8(£,-=,0),。(0,-1,£).

2222

则有前=(—立,0,立)，三苏=(—Q,0,J5).

22

所以说'=2册即得BC〃EF.

(II)解：由OB=1,OE=2,NEQB=60°,知SEOB=5-，而△OED是边长为2的正三角形，

故SQED=

所以SOBED=SEOB+SQ£O=2.

过点F作FQLAD,交AD于点Q,由平面ABED,平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED

的局,且FQ=5/3,所以Vp-OBED_2FQ•SOBED=万.

(18)(本小题满分13分)本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基

本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：⑴设U…,晨2构成等比数列，其中4=L*2=1°Q则

Tn=t}-t2...tH+},tn+2,①

T〃=tn+i,，〃+2.........12,G，②

①x②并利用亿+3T=亿+2=1。2（"注力+2）,得

2

=（4%+2）•（，2%i）...（乙+也）,（匕+2，1）=10”?-）an=1g，=H+2,n>l.

(II)由题意和(I)中计算结果，知a=tan3+2)・tanQ?+3),〃N1.

CqIEi/〃1、7、tan«+l)-tan女

另一方面，利用tanl=tan(8+l)-攵)=------------------,

l+tan«+l)Tan改

/口八八，tan(Z:+l)-tank.

得1加(4+1)7311攵=-----------------1.

tan1

nn+2

所以S,,=£bk=Ztan/+l)-tanZ

«=1k=3

_qtan-+1)—tanl

tan〃+3)-tan3

=--------------------n.

tanl

(19)(本小题满分12分)本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知

识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.

证明：⑴由于x21,yNl,所以x+y+'-44+工+孙=xy(尤+y)+l<y+x+(孙)\

孙xy

将上式中的右式减左式，得

(>+X+(%>-)2)—(xy(x+y)+1)

=((孙)2-1)一(移(x+y)—(x+y))

=(xy+1)(孙-l)-(x+y)(xy-1)

=(xy_l)(xy-x_y+l)

=(xy-l)(x-l)(j-l).

即^x>l,y>1,所以(呼-l)(x-l)(y-l)>0,

从而所要证明的不等式成立.

(II)设log“Z?=x,log〃c=y,由对数的换底公式得

,1,1,,1,

log,,a=—,log&a=—,log,》=一』og“c=xy

xyxy

于是，所要证明的不等式即为1+)，+'-4,+,+个，

xyxy

其中x=log(/b>l,y^logbc>1.

故由(D立知所要证明的不等式成立.

(20)(本小题满分13分)本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、

均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分

类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：(I)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1—乃)(1—〃2)。一〃3)，所

以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

1一（1一。1）（1一〃2）（1-。3）=，1+。2+。3-〃也一。2P3-。3，12P3。

（ID当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为0,0,%时，随机变量X的分布列为

X123

P0(1一1)%(1—1)(1—%)

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

EX=1+2（1—%）%+3（1—）（1一q、）=3-2q、—%+

（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

EX=3—2/7]—p2+/?!p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于2],/?2，。3的任意排列41，%，%，都有

3-2名-%+4。23-20-p2+PiP2,................（*）

事实上，A=（3-2^]—q2+qlq2'）-（3-2pl—p2+PiP2）

=2（Pi-%）+（P2-%）-PiP2+♦%

=2（Pi-％）+（〃2一％）一（Pl一名）〃2一0（〃2一%）

=（2-〃2）（P1）+（1-/）（（。2-%）

之（1一%