专题01二次函数（2个知识点3大题型1个易错点）（原卷版）

专题01二次函数（2个知识点3大题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．二次函数的定义（重点）知识点2．根据实际问题列二次函数关系式（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据二次函数的定义求参数的值题型二：根据实际问题列二次函数的表达式题型三：根据动态问题列二次函数的表达式【方法三】差异对比法易错点1根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误【方法四】成果评定法期中期末中考真题练【学习目标】1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式2.能根据概念判断函数是不是二次函数3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.例1．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（）A．y＝3xB．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3例2．（2023春•兰溪市月考）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝2x2﹣7D．知识点2．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．例3．（2022春•金东区校级月考）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+aB．y＝a（x﹣1）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2例4．（2022秋•下城区校级月考）美国圣路易斯市有一座巨大的拱门，这座拱高和底宽都是192m的不锈钢拱门是美国开发西部的标志性建筑．如果把拱门看作一条抛物线，试建立恰当的平面直角坐标系，并写出与该抛物线相应的函数表达式．【方法二】实例探索法题型一：根据二次函数的定义求参数的值例5．（2022秋•金华期末）若y＝（m﹣2）x是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．±例6．（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±1题型二：根据实际问题列二次函数的表达式例7．（2022秋•桐庐县校级月考）某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为．例8．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x例9．（2022秋•萧山区月考）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y＝（x﹣35）（400﹣5x）B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）C．y＝（x+5）（200﹣5x）D．y＝（x+5）（200﹣10x）例10．（2021秋•拱墅区校级期中）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为．例11．（2022秋•南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是元/件，在一段时间里，单价是元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（）A．y＝（6﹣x）（500+x）B．y＝（﹣x）（500+200x）C．y＝（6﹣x）（500+200x）D．以上答案都不对例12．（2022秋•拱墅区月考）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a例13．（2021秋•新昌县期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式．（2）当S＝时，求x的值．例14．（2021春•青秀区校级月考）国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y＝66（1﹣x）B．y＝33（1﹣x）C．y＝33（1﹣x2）D．y＝33（1﹣x）2例15．（2022秋•义乌市月考）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为．（不要求写出自变量x的取值范围）题型三：根据动态问题列二次函数的表达式例16．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？【方法三】差异对比法易错点1根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误例17．（2022秋•蜀山区校级月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0这个条件，得出错解-5或-1.【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（）A．1 B．2 C． D．02．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）下列函数是二次函数的是（）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为()A． B． C． D．4．（2022·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）25．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（）A． B． C． D．6．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或47．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（）A． B．C． D．8．（2021秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（）A． B． C． D．9．（2022·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（）A． B．C． D．二、填空题10．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知二次函数，当时，____________．11．（2021秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________．12．（2022秋·浙江·九年级专题练习）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．13．（2022秋·浙江·九年级期中）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例：_____．14．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝_____．15．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）有下列函数：①y=5x-4；②；③；④；⑤；其中属于二次函数的是___________（填序号）．16．（2019秋·浙江·九年级统考期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是；三、解答题17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）已知y关于x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？18．（2021秋·九年级校考期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．19．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝千克（用含x的代数式表示）．(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？20．（2019秋·浙江湖州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．21．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，①当时，、、能否作为同一个三角