三角形中位线与反证法 知识讲解

三角形中位线与反证法【学习目标】理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．4、会利用反证法证明简单命题．行”.【要点梳理】要点一、三角形的中位线要点诠释（（2三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的41 124.（3）要点二、反证法（一）定义在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．（二）用反证法证明定理的正确性已知:l∥l,l∥l1 2 2 3求证：l∥l１ ３证明：用反证法证明：假设l不平行l，则l与l相交，１ ３ １ ３设交点为∥l,l ∥l１ ２ ２ ３则过点Ｐ就有两条直线l l 都与l平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条１， ３ ２直线平行于已知直线”矛盾．【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知PR分别是长方形ABCD的边BCCD上的点F分别是、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐变C．线段EF的长不变 D．无法确定【答案】C；【解析连AR，由EF分别为的中点知EF为△PAR的中位,则EF 1AR，而2AR长不变，故EF大小不变.辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点AC分别在xyOBAC交于点EFG分别是线段OPAPBPCPDEFG.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5；EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2（2016）如图所示，在四边形ABCDNP分别是ADBC、BD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，【思路点拨】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【答案与解析】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，=25°．已知信息，确定应用的知识．3M为BCADBAC于D，AB＝12，AC＝18，求MD【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段ABACMBCADABN，DBNMD【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，在△ABDANDBAD＝NADAD=ADADB＝ADN∴△ABD≌△AND(ASA)∴AN＝AB＝12，BD＝DN．∵AC＝18，∴NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵D、M分别为BN、BC的中点，1 1∴DM＝2CN＝26＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：（2015）如图所示，在△ABCDBC上且CD=CA，CF求证BD．【答案】证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，∴F是AD中点，∵AE=EB，∴E是AB中点，BD．4问题：如图1，在△ABC点DBC上，且CD=CA，点EF分别为BCADEFABG．求证：四边形AGEC如图2，若点D△ABC与CD交于点H，否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】运用中位线的性质，找出对应相等的角；根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取ACH，连接HE、HFEBC∴EH为△ABC的中位线1∴EH∥AB，且EH=2AB1FH∥DC，且FH=2DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图分别为的中点，若则EF的长是（ ）A．4 【答案】D；解：连接DEABH，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，1∴EF=2BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．5、用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．确．【答案与解析】90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．【总结升华】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点E分别在AC、ABC