高二数学组合与组合数公式

组合(zǔhé)与组合(zǔhé)数公式第一页，共19页。1问题(wèntí)有5本不同的书：〔1〕取出3本分(běnfèn)给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？〔2〕取出4本给甲，有几种不同的取法？问题(wèntí)〔1〕中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题(wèntí)．问题〔2〕中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序〞的要求，因而问题〔2〕不是排列问题．第二页，共19页。2复习(fùxí)问题(wèntí)1：什么叫做排列？排列的特征是什么？问题2：什么叫做(jiàozuò)排列数？它的计算公式是怎样的？第三页，共19页。3引例(yǐnlì)引例1：从甲、乙、丙3名同学(tóngxué)中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？从3名同学(tóngxué)中选出2名，不同的选法有3种：甲、乙乙、丙丙、甲所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法．

第四页，共19页。4引例(yǐnlì)引例2：从不在同一条直线上的三点中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：、、，直线与直线是一条直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序．

第五页，共19页。5引例(yǐnlì)31.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备(zhǔnbèi)多少种不同的飞机票？2.北京、上海、广州三个民航(mínháng)站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价？第六页，共19页。6引例(yǐnlì)总结以上两个引例所研究的问题(wèntí)是不同的，但是它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序(shùnxù)并成一组，一共有多少不同的组？第七页，共19页。7组合(zǔhé)定义排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关(wúguān)，这是它的根本区别．一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．思考(sīkǎo):排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？

共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素〞不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列〞，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组〞．第八页，共19页。8想一想什么是两个相同的排列(páiliè)？什么是两个相同的组合？如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们(tāmen)顺序如何，都是相同的组合．当两个组合中的元素不完全相同时〔即使只有一个元素不同(bùtónɡ)〕，就是不同(bùtónɡ)的组合．第九页，共19页。9判断以下问题是组合(zǔhé)问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，那么(nàme)集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，那么这条铁路线上共需准备多少(duōshǎo)种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题第十页，共19页。10组合(zǔhé)数从个不同元素中取出〔〕个元素的所有(suǒyǒu)组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作：．

注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．

第十一页，共19页。11如:从a,b,c三个不同的元素(yuánsù)中取出两个元素(yuánsù)的所有组合分别是:ab,ac,bc

如:4个元素(yuánsù)a,b,c,d,写出每次取出两个元素(yuánsù)的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)6个第十二页，共19页。12练习(liànxí):中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过(tōngguò)单循环决出冠亚军．〔1〕列出所有各场比赛的双方；〔2〕列出所有冠亚军的可能情况。〔1〕中国—美国(měiɡuó)中国—古巴中国—俄罗斯美国(měiɡuó)—古巴美国(měiɡuó)—俄罗斯古巴—俄罗斯〔2〕冠军中中中美美美古古古俄俄俄亚军美古俄中古俄中美俄中美古第十三页，共19页。13组合(zǔhé)排列(páiliè)abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb我们怎么(zěnme)去求组合数呢？从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元素的组合数是多少？第十四页，共19页。14第十五页，共19页。15组合(zǔhé)数公式排列与组合是有区别(qūbié)的，但它们又有联系．根据分步计数原理(yuánlǐ)，得到：因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．

这里，且，这个公式叫做组合数公式