高等数学微分中值定理教学

第三章导数(dǎoshù)的应用第一节微分(wēifēn)中值定理第二节函数(hánshù)的性质第三节洛必达法那么第一页，共28页。1第一节微分(wēifēn)中值定理本节主要(zhǔyào)内容:

一.罗尔中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理第二页，共28页。2一、罗尔中值定理(dìnglǐ)

费马（Fermat）引理函数y=f(x)在N(x0,)有定义，y=f(x0)存在，f(x)f(x0)(f(x)

f(x0))定义导数等于零的点称为函数的驻点(zhùdiǎn)〔或稳定点、临界点)．第三页，共28页。3引理的直观意义:可导函数极值点处的切线平行于x

轴.第四页，共28页。4定理3.1.1〔罗尔中值定理〕设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，如果〔1〕函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；〔2〕函数f(x)在开区间〔a，b〕内可导；〔3〕函数f(x)在区间两端(liǎnɡduān)点处的函数值相等，即f(a)=f(b)；那么在〔a，b〕内至少存在一个点a<<b，使得f()=0.例如(lìrú),第五页，共28页。5因为函数

f(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在闭区间[a,b]上必能取到最大值M

和最小值m,考虑两种可能的情况：

(1)若m=M,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M(或m),因而在(a,b)内处处有f(x)=0，因此可取(a,b)内任意一点作为ξ而使得f

(ξ)=0成立。定理(dìnglǐ)的证明第六页，共28页。6

(2)若m<M，因为

f(a)=f(b)，因此m、M不可能同时是两端点的函数值，即最小值m

和最大值M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设

f(ξ)=M，ξ∈(a,b).

由条件(2)和费马定理推知f(ξ)=0.第七页，共28页。7罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点，在该点处的切线平行(píngxíng)于x轴(如以下图〕。第八页，共28页。81.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论(lǐlùn)上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果(rúguǒ)三个条件不全满足，那么定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：两点说明(shuōmíng)：第九页，共28页。9例连续内可导连续内可导第十页，共28页。10例连续内可导第十一页，共28页。11例1验证罗尔中值定理(dìnglǐ)对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上的正确性，并求出．解得令f(x)=3x2+8x-7=0〔1〕f(x)=x3+4x2-7x-10在区间(qūjiān)[-1,2]上连续；〔2〕f(x)=3x2+8x-7在〔-1,2〕内存在(cúnzài)；〔3〕f(-1)=f(2)=0；所以f(x)满足定理的三个条件.则就是要找的点，显然有f(ξ)=0.解第十二页，共28页。12例2证明(zhèngmíng)方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根．存在性：令f(x)=x5-5x+1，那么(nàme)f(x)在[0,1]上连续f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在(cúnzài)一点x0∈(0,1),使f(x0)=0，x0即为方程的小于1的正实根.唯一性：设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0因为f(x)在x1，x0之间满足罗尔定理的条件所以至少存在一点ξ(在x1，x0之间),使得f(ξ)=0但f(x)=5x4-5<0,x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.证明第十三页，共28页。13例3不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程(fāngchéng)f(x)=0有几个实根．函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足罗尔定理的条件,所以在区间〔1,2)〔2,3)内分别(fēnbié)至少有一实根；又f(x)=0是二次方程(èrcìfāngchéng),至多有二个实根；所以方程f(x)=0有且仅有两个实根,它们分别落在区间〔1,2)〔2,3)内．解第十四页，共28页。14

定理3.1.2（拉格朗日中值定理）设函数

y=f(x)满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在(a，b)内至少存在一点

(a<

<b)，使得

f(b)-f(a)=f()(b-a)或二、拉格朗日中值定理(dìnglǐ)第十五页，共28页。15注意到,Rolle定理是Lagrange定理的特殊(tèshū)情况。证明(zhèngmíng)思想构造辅助(fǔzhù)函数法由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因此想假设能构造一个辅助函数(x),使其满足Rolle定理的条件，同时想方法接近要证明的结论.第十六页，共28页。16那么函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理(dìnglǐ)的条件(1)(2)又作辅助(fǔzhù)函数所以，由罗尔中值定理(dìnglǐ)，在(a,b)内至少存在一点,使即

f(a)-f(b)=f()(b-a)定理的证明第十七页，共28页。17拉格朗日中值公式又称有限(yǒuxiàn)增量公式.1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分(chōngfèn)不必要条件；2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理(dìnglǐ)即为罗尔中值定理(dìnglǐ)；

3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b)则有几点说明：第十八页，共28页。18拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线，其斜率为第十九页，共28页。19

推论1

设y=f(x)在[a,b]上连续，若在(a,b)内的导数恒为零，则在[a,b]上f(x)为常数.推论(tuīlùn)2如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f(x)=g(x)，那么这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C．第二十页，共28页。20

设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论(tuīlùn)1知f(x)=C所以(suǒyǐ)例4

证明：又因为(yīnwèi)即证明那么f(x)在[0,1]上连续，又第二十一页，共28页。21设f(x)=ln(1+x),那么f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理(dìnglǐ)的条件，即由于(yóuyú)因为(yīnwèi)0<<x，所以例5

证明：当x>0时，所以上式变为即证明第二十二页，共28页。22

定理3.1.3（柯西中值定理）设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在一点

∈(a,b)，使得

注意：拉格朗日中值定理(dìnglǐ)是柯西中值定理(dìnglǐ)当g(x)=x时的一种特例。三、柯西中值定理(dìnglǐ)第二十三页，共28页。23分析(fēnxī):问题(wèntí)转化为证构造辅助(fǔzhù)函数证:

作辅助函数且第二十四页，共28页。24使即由罗尔定理知,至少存在(cúnzài)一点思考:柯西定理(dìnglǐ)的下述证法对吗?两个(liǎnɡɡè)不一定相同错!上面两式相比即得结论.第二十五页，共28页。25弦的斜率(xiélǜ)切线(qi