应用泛函分析复习主要内容及习题解答

用泛函分析》复习与总结分泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分泛函分析函分内容的归纳和总结 (3)！可分性对于a和,,，成立(i)【非负性】(,)，并且(,)当且仅当【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(,)(,)(,)；(iii)【第一变元齐次性】(a,)a(,)；(iv)【共轭对称性】(,)(,)。注.1)从概念的外延来理解,有如下的关系:{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.2)内积可导出范数,范数可导出距离,反之未必.例如在赋范线性空间中,如果范数满足平行四边形公式,则由范数可以定义内积.3)在距离空间中，(,)，当；重点.！要求会验证距离,范数和内积.完备性，稠密性，可分性 (1)！完备性距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”备的内积性空间称为Hilbert空间.重点.验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注.距离空间的*完备化不是本课程的重点. (2)稠密性若B,则称在B中稠密.当B时,也称是B的稠密子集.关于在B中稠密的等价命题:B,存在,使得nn;如果有可数的稠密子集,则称具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间,可分的内积空间等.不具有可分性的空间称为不可分空间. 重点.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.！不可分空间的证明方法:如果空间中含有一个不可数子集,且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数,则是不可分的.(例如l中这样的集合是分量为零三空间中的集合 (1)开集、闭集、有界集、无界集； (2)内积空间中的正交集，！正交基. (3)有限维赋范线性空间的性质：1.有界集即列紧集；2.有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。四具体的空间n空间(n1,2,3L,);l空间(1);L(a,空)间(1);Ca,空间;Cka,空间。注.1.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数a作要求)(a,空)间(1)的共轭空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)；)的共轭空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)；第二部分映射算子泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理,例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳一.泛函分析中的映射在泛函分析中,映射:当,是空间时称为算子;当是空间,是数域(F)时称为泛函;当是线性空间时,主要考虑线性算子:(a)a,a,,,;泛函分析中的非线性映射:*压缩映射:(,)(,),其中,.1)Banach不动点定理.二.有界线性算子 (1)(,)是由映射到的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间(尤其是当是 (2)有界线性算子列(,)的收敛：； (3)重要定理注.重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。 (4)共轭算子*共轭算子的定义(*()())以及简单性质；重要实例：*以()为核的积分算子的共轭算子、！左位移(右位移)算子的共轭算 (5)具体的线性算子！由到的左位移(右位移)算子.注.线性算子的有界性等价于连续性.较为简单的算子或泛函的算子范数。三.有界线性泛函 (1)*的概念和简单性质(*()). (2)*的实例：！空间(1)的共轭空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)；(空)间(1)的共轭空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)； (3)泛函列的收敛：设*， (4)点列的收敛：；按范数收敛于(也称为强收敛)：(,)(,) (4)！泛函延拓定理及其推论注.泛函延拓定理及其推论是重点内容，但体现在定理的应用上。1、设(),若规定()()(),则是一个线性函数,但()2()却不是线性泛函.证明只证()2()不是线性泛函.事实上,()()()22()2()2()()2()2()()().2、线性算子在()内处处连续在()内某一点处连续.证明必要性显然,下证充分性.(),,取(),从而,于是(),nnnn即.nnn空间.定义(显然为a,b的子空间),为(t)(((t)(t(t)),ata,b证 证解证明证的点谱，由于是闭集，则。的内点都是。。。不是内积空间.证：若中范数是可由某内积诱导出的，则范数应满足平行四边形等式．范数是不满足平行四边形等式的具体例子如下：、设为定义在上的二元复值连续函数，是复希尔伯特空间的，证明不是完备距离空间．证明首先直接验证可知是距离空间．正整数，设．则是中的基本列．所以基本列不收敛，因此不是完备距离空间．10]C[0,]1所以为压缩映射，故有唯一不动点112012012C[0,，11、证明C[,]上的泛函是有界线性泛函，且[证明]显然是线性泛函。对C[,]有01[,]。进一步，取C[,]使得0，01、取定[,]，在C[,]上定义泛函01[证明]显然1C[,]使0是线性泛函，由02满足对112001[,]11有界10002,是有界[证明]显然是线性算子。因为221第1个坐标不为零)，则2，1，120、设C[-1,1]上的线性泛函定义为21,0,1,0,(仅：证 证可知2可知2,且2反过来,若和令,令,有2,则222..,则由,2因而,,所以.2、设是内积空间,,若,则对任意反过来,若对任意,试证明当且仅当对任意,有,因此.,有,则,有,有.令,,由令2及2,2,,2 2 22 ,22因此,,所以,.25设是空间,是到的线性算子,若对任意,,有,,,试证明是连续线性算子.x且满足上连续处处都有偏导数x且满足上连续处处都有偏导数试证明x0在a提示：定义::a0上有唯一的连续解xxx证明为压缩算子然后利用Banach不动点定理232、设是实内积空间3上的线性连续泛函若xx2x3x试求X使得x23解:取323则一定有xx232、设X是赋范线性空间，xX，x0，则必存在X上的有界线性泛函x，使得0002是按范数xxnn不是内积空间(因为不满足平行四边形公2