微分中值定理习题课

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐微分中值定理习题课第三微分中值定理习题课

教学目的通过对所学学问的归纳总结及典型题的分析讲解，使同学对所学的学问有一个更深刻的理解和熟悉．

教学重点对学问的归纳总结．教学难点典型题的剖析．教学过程

一、学问要点回顾

1．费马引理．

2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．

3．微分中值定理的本质是:假如延续曲线弧AB上除端点外到处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB．

4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是须要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立．如，函数

(){

2

,01,0,1

xxfxx≤+=-

00])1([

)(211

1xexe

xxfx

x在点x=0处的延续性.解2

1

)0(-=ef,)0(lim)(lim2

12

10

fe

e

xfxx===-

-

-→-→,

由于]1)1ln(1

[10

1100lim

])1([

lim)(lim-+-→-→+→=+

=xx

xxx

x

xxee

xxf,而21)1(21lim21

11

lim)1ln(lim]1)1ln(1[1lim00200-=+-=-+=-+=-++→+→+→+→xxxxxxxxxxxxx,所以)0(lim

])1([

lim)(lim2

1

]1)1ln(1

[10

11

00fe

ee

xxfxx

xxx

x

xx===+

=-

-+-→-→+→.

因此f(x)在点x=0处延续.

14.设()xf具有二阶延续导数，且()xxfx0lim→0=，()20=''f，求

()x

xxxf101lim??????+→．分析所求极限为∞

1型未定式，普通状况下是将该极限转化为00或∞∞

型未定式，应用

洛必达法则去求解．但是注重到

()x

xxxf101lim??????+→=()()()2

1lim0xxfxfx

xxxf??

???

???????????

+→，

且()xxfx0lim→=0，所以

()()

xfx

xxxf??????+→1lim0=e．因此，只须求出极限()

20

lim

xxfx→即可．

解由()xxfx0

lim

→=0知，()0lim0=→xfx．对00型未定式()xxfx0lim→应用一次洛必达法则，

得

()

xxfx0

lim

→=()xfx'→0lim=0．

因此()20

lim

xxfx→和()xxfx2lim0'→都是00型未定式．对极限()20lim

xxfx→两次应用洛必达法则，得

()20

lim

xxfx→=()xxfx2lim0'→=()2lim0xfx''→=()120=''f．

故

()x

xxxf101lim??????+→=()()()

2

1lim0xxfxfx

xxxf??

???

???????????

+→=e．

3.若函数()fx在[0,1]上二阶可导,且(0)0f=，(1)1f=，(0)(1)0ff''==，则存

在(0,1)c∈使得|()|2fc''≥.

证法一：(0,1)x?∈,把()fx在0,1两点处分离举行泰勒绽开到二阶余项,有

2

122()()(0)(0)(0),2!

()

()(1)(1)(1)(1),

2!ffxffxxffxffxxξξ'''=+-+

'''=+-+-1201xξξ<<<<,………4分

上两式相减,有

2212()()

1(1)22

ffxxξξ''''=

--.记12|()|max{|()|,|()|}fcffξξ''''''=,则有

221

1|()|[(1)]2

fcxx''≤

+-2

111|()|2222fcx??

??''=-+?????????

1

|()|2

fc''≤

,………4分即存在(0,1)c∈使得|()|2fc''≥.………2分

证法二：在[0,1]上对()fx应用拉格朗日中值定理有()(1)(0)1fffξ'=-=，01ξ<<.……3分

当12

0ξ<≤

时，在[0,]ξ上对()fx'应用拉格朗日中值定理有

1()(0)()fffcξξ''''=-=，1

|()|()2fcfcξ

''''?==

≥，(0,)(0,1)cξ∈?.

……3分

当121ξ<<时，在[,1]ξ上对()fx'应用拉格朗日中值定理有

1()(1)()(1)fffc