音乐中的数学之美

音乐(yīnyuè)中的数学之美南开大学第三届大学生“数学(shùxué)之美〞论坛孙思玉应用(yìngyòng)心理学第一页，共24页。1目录音乐与数学结合的起源乐理中的数学规律

乐曲结构与黄金分割和声的傅立叶分析

乐器中的数学奥妙

第二页，共24页。2音乐与数学(shùxué)结合的起源最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯(zhuīsù)至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。乐声的协调与所联系的整数(zhěngshù)之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度协和音由长度与原弦长的比为整数(zhěngshù)比的弦给出被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数(zhěngshù)比，由增大成整数(zhěngshù)比的弦的长度，能够产生全部的音阶。第三页，共24页。3音乐与数学(shùxué)结合的起源CBAGFEDC2

.第四页，共24页。4音乐与数学(shùxué)结合的起源五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律根底音：发音体整体振动产生的最低的音是根底音，是由一根弦或空气(kōngqì)柱整体振动时产生的泛音：以根底音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各局部也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。第五页，共24页。5音乐与数学结合(jiéhé)的起源根据第一(dìyī)、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。纯律取泛音列中第一(dìyī)、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。第六页，共24页。6

纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的?碣石调幽兰?。直至十六世纪我国在数学(shùxué)运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式确定，公比为，是2开12次方的算数根。音乐(yīnyuè)与数学结合的起源第七页，共24页。7乐理中的数学(shùxué)规律音程(yīnchéng)转位音程：两个音之间在音高上的关系(guānxì)

单音程：八度以内的音程

音程转位：将音程的冠音和根音相互颠倒位置

第八页，共24页。8乐理中的数学(shùxué)规律音程(yīnchéng)转位对单音程(yīnchéng)而言，原音程(yīnchéng)及其转位音程(yīnchéng)的度数之和为9。在音符方面，小于全音符的诸音符由除法确定，如二分音符为全音符的，四分音符为全音符的。拍子是拍的分组，如拍子是以全音符的为1拍，每小节有3拍，即，而拍子可认为以全音符的为一拍，每小节有6拍，即。

？？第九页，共24页。9乐曲结构(jiégòu)与黄金分割对称在数学上就是1:1，由上下句构成的乐段，由起承转合四部分构成的作品，由四个乐章构成的交响曲，都体现了造型的对称美

作曲黄金分割把线段L分成两段，使其中较长段x为全段与较短段（L-x）的比例中项，即满足等式L:x=x:（L-x）.x=0.618034…倍L

第十页，共24页。10第十一页，共24页。11乐曲(yuèqǔ)结构与黄金分割

巴托克的顶峰之作?弦乐(xiánlè)、打击乐与钢片琴的音乐?第十二页，共24页。12乐谱(yuèpǔ)结构第十三页，共24页。13这部作品第三(dìsān)乐章89小节(xiǎojié)B34小节(xiǎojié)A21小节A34小节一21小节二13小节二8小节一13小节二21小节一13小节高潮55小节34：5513：2121：348：13黄金分割第十四页，共24页。148、13、21、34、55、89等小节数数字本身，那么均含于黄金分割的另一种(yīzhǒnɡ)形式——斐波那契数列〔即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和〕。这个数列前两项之比1:1反映对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比方2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约。第十五页，共24页。15和声的傅立叶分析(fēnxī)一个音叉所发出的声音，其图像就是一个正弦函数，如。任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周期函数都可表示为

其中频率最低的一项为根本音，其余的为泛音。由公式(gōngshì)知，所有泛音的频率都是根本音频率的整数倍，称为根本音的谐波。

第十六页，共24页。16和声的傅立叶分析(fēnxī)根据傅立叶定理(dìnglǐ)，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do的频率是，那么它可以分解成频率为，，，，……的谐波的叠加，即；同理，高音do的频率是，同样可以分解为频率为，，，，……的谐波的叠加，即。这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。第十七页，共24页。17傅立叶还发现每种声音都有三种(sānzhǒnɡ)品质：与曲线(qūxiàn)的频率有关与曲线的振幅(zhènfú)有关与周期函数的形状有关音调音量音色第十八页，共24页。18乐器(yuèqì)中的数学微妙能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的、、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣箱有较大体积；高音乐器那么反之(fǎnzhī)，发音高，声波短，所以共鸣箱需较小体积。由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱，适合于不同高度音响的需要。如中央C音频率为，波长米，波长的是米，为保证该音共鸣，那么共鸣箱的内空至少有一个方位为米〔或其2、4、8等倍数〕。音越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性。第十九页，共24页。19乐器中的数学(shùxué)微妙乐器之王——钢琴的键盘，其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关。在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括(bāokuò)13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列中的前几个数。第二十页，共24页。20音乐(yīnyuè)是心灵的算术练习。——莱布尼茨音乐(yīnyuè)是由数规定的运动。——奥古斯丁第二十一页，共24页。21音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美表达。音乐可以抒发人们(rénmen)的情感，是对人们(rénmen)自己内心世界的反响和对客观世界的感