第二章Z变换及离散时间系统分析

第二章

Z变换及离散时间系统分析Chapter2Z-TransformandDiscreteTimeSystemsAnalysis5/3/20231思考本章z变换分析法，即离散信号与系统的“频率域分析”，与前一章“时域分析”相对。思考：为什么要进行“频域分析”？5/3/202322.0预备内容——连续信号与系统分析时域:f(t)、微分方程频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FT）离散信号与系统分析时域:x(n)、差分方程频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT)5/3/20233傅里叶变换该变换存在的充分条件：傅里叶变换的局限性:

1)工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];3)求反变换时,求(-∞,∞)上的广义积分,很困难;

4)只能求零状态响应,不能求零输入响应2)有些信号不存在傅立叶变换如2.0预备内容——5/3/20234拉普拉斯变换引入衰减因子：使得：求傅氏变换得到如下的拉氏变换：对可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，即拉氏变换的特例2.0预备内容——5/3/202352.1Z变换定义利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列x（n）的Z变换定义为：收敛域：一般，序列的z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。级数一致收敛的条件是绝对值可和。5/3/20236以上的这种变换也称为双边z变换。与此相应还有单边z变换，单边z变换只是对单边序列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为：单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。2.1Z变换定义5/3/20237Z变换、拉氏变换(LT)、傅里叶变换（DTFT）2.1Z变换定义5/3/20238Z变换与拉氏变换理想冲激抽样序列x(t)：有限带宽信号通过抽样，得到如下的离散序列：2.1Z变换定义5/3/202390Re[z]rrejwIm[z]2.1Z变换定义Z变换与拉氏变换5/3/202310Z变换与傅里叶变换（DTFT）2.1Z变换定义5/3/2023112.2Z变换收敛域5/3/2023122.2Z变换收敛域两点说明同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是不相同的。收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 零点：分子多项式P(z)的根 极点：分母多项式Q(z)的根5/3/2023132.3常用序列Z变换序列Z变换收敛域δ(n)1全Z平面u(n)11-

z-1|z|>1αnu(n)11-

αz-1|z|>|α|RN(n)1-

z

-N1-

z

-1|z|>0-αnu(-n-1)11-

αz-1|z|<|α|nu(n)z-1(1-

z-1)2|z|>1nαnu(n)αz-1(1-

αz-1)2|z|>|α|5/3/2023142.4Z变换性质几条重要性质序列z变换收敛域x(n)h(n)X(z)H(z)Rx-<|z|<Rx+Rh-<|z|<Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)max[Rx-，Rh-]<|z|min[Rx+,Rh+]x(n-m)z-mX(z)Rx-<|z|<Rx+x*(n)X*(z*)Rx-<|z|<Rx+x(-n)X(1/z)1/Rx+<|z|<1/Rx-x(n)*h(n)X(z)H(z)max[Rx-，Rh-]<|z|min[Rx+,Rh+]5/3/2023152.4Z变换性质(2)中结果不对例5/3/202316定义及求解法2.5Z反变换5/3/202317长除法——幂级数展开2.5Z反变换5/3/202318部分分式|z|＞1/22.5Z反变换5/3/202319留数法注意：积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线积分路径内部的极点的留数当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同2.5Z反变换5/3/202320已知：2.5Z反变换5/3/2023212.5Z反变换5/3/2023222.5Z反变换5/3/2023232.6Z变换求解差分方程5/3/202324零状态解2.6Z变换求解差分方程5/3/202325II)求暂态解（零输入解）

所以，零输入解为：2.6Z变换求解差分方程5/3/202326全响应零状态解零输入解2.6Z变换求解差分方程5/3/202327例1：2.6Z变换求解差分方程5/3/2023282.6Z变换求解差分方程例2：5/3/202329线性时不变离散系统四种表示方法频率响应转移函数（也称系统函数）差分方程卷积关系2.7转移函数5/3/202330转移函数定义为系统单位抽样响应的Z变换，也是系统输出、输入Z变换之比2.7转移函数5/3/202331FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反馈，系统总是稳定的IIR系统：h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反馈，存在稳定性问题2.7转移函数5/3/202332零极点分析由式2.1因式分解，得到：

使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系统的零点和极点。分析系统因果性分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极点位于单位圆内估计系统频率响应：几何分析法数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。2.7转移函数5/3/2023332.7转移函数5/3/202334其中K为实数，用z=ejw代入，即系统的频率响应为：其模等于：其