第二十讲第十章杆及板的稳定性

第二十讲第十章杆及板的稳定性第1页，共14页，2023年，2月20日，星期三ExitNextPre§10-6板稳定性的能量解法1、中性平衡时的应变能与外力功2、四周自由支持压应力线性分布的板3、四周自由支持剪应力作用的板学生自学学生自学第2页，共14页，2023年，2月20日，星期三ExitNextPre4、板在复合受力时的稳定性第3页，共14页，2023年，2月20日，星期三ExitNextPre板在失稳后的现象1)对于船体结构中的板,它四周由骨架支持着,并且实际上骨架的临界力远大于板的临界力,因此当板受压失稳时,骨架尚未失稳,它对板还起着支持作用,使板的周界不能自由弯曲和趋近。

2)船体板是连续的板,每一板格都受到相邻板格的牵制作用,因此它和孤立的板不同,板边亦不能自由趋近。因此，板在所受的压力大于临界压力之后,即板在失稳后,如果继续增加压力,板的挠度不会迅速增大,甚至在一定范围内挠度的增加率反而会减少,如图l0-4l所示(图中实线为平板,虚线为有初挠度的板)。§10-7板的后屈曲性能1、基本概念第4页，共14页，2023年，2月20日，星期三板由于支持骨架的作用以及相邻板格的作用使板边不能自由弯曲和趋近,因此当失稳弯曲后,板的中面就被拉长,这样就发生了中面拉应力。这个中面力随着板挠度的增加而加大,从而使得板的变形不能迅速变大。板失稳后能够继续承载的原因在于板的中面力起了很大的作用。此时板的纤维如同是用锚链那样固定在支座边上,因此能使此板在弯曲状态下保持平衡。这种板的中面力通常叫做板的“薄膜应力”。

板在失稳后不是立即破坏,还能继续承受一定程度的压缩荷重,这一现象称为板具有“后屈曲强度”,(post-bucklingstrength),研究板后屈曲强度的问题又叫做研究板的后屈曲性能。板后屈曲性能研究考虑问题①考虑板的中面力

②考虑板的大挠度问题

③考虑材料在超过比例极限之后的非线性问题2、板后屈曲的应力分布第5页，共14页，2023年，2月20日，星期三1)分析板后屈曲时应力分布情况受压板边的压应方不再为均布;板边的压应力大于板中部的压应力;在非受压的板边原来无应力,而现在出现了自身平衡的拉应力和压应力。如果一块受压板的板边能够自由趋近的话,那末板在失稳后的板边将达到图10-42(a)中的虚线位置,但实际上板边不能自由趋近,因此板中部的纤维将被拉长,即产生有中面拉应力,其结果板中的应力分市将有图10-42(b)的情况:(a)(b)图10-42图10-43在图10-43中进一步画出了板在受压方向截面中应力随外载荷变化的情形:图中l表示板尚未失稳,即外压力小于板的临界应力,此时板中的压应力为均布,2表示外压力已大于板的临界应力,板已经屈曲,此时板的压应力不再为均布,在板边的压应力大于板中的压应力;3表示外压力继续增加,此时板中压应力的不均匀程度更为明显,即板边压应力与板中压应力之间的差额更为扩大。第6页，共14页，2023年，2月20日，星期三ExitNextPre

板失稳后,在支持边的压应力大于板中部压应力的现象叫做板后屈曲中应力重新分布。这个现象说明与板边骨架相连的那部分材料起着更大的作用,承担了外载荷的绝大部分,而离骨架较远的板相对来说承担的载荷就小得多。

理论上确定板极限荷重的方法需研究板失稳后的应力状态,求出板中最大应力达到屈服极限时的外荷重,此外荷重就是极限荷重,极限荷重除以板的截面积叫做板的“极限应力”或“极限强度”(ulitmatestrength)。

卡门极限强度公式:既然板屈曲后板边的应力大于板中部的应力,并且板越接近于极限状态,这种差别亦越大;那末在极限状态时,可假设板的载荷完全由邻近板边的一定宽度的板来承受。设该部分板每边的宽度为c,总共宽度为2c(见图10-44),则此部分板的临界应力显然可用前面导得的公式(10-64)计算如下：3、板的极限荷重第7页，共14页，2023年，2月20日，星期三式中t为板厚.当板达到极限状态时,令σcr=σy,得:或从而可求出板边那部分宽度,将π与μ的数值代入后,得:于是板的极限荷重为:板的极限强度为:(10-106)(10-107)(10-108)由此可见,板的极限荷重与板的宽度无关,与板的厚度平方成正比。卡门公式经过试验验证,证明对于比较薄而宽的板是正确的,对于较厚的板,则公式(10-107)中的系数不再为1.9,而要小一些。第8页，共14页，2023年，2月20日，星期三由于问题的复杂性,所以关于板的极限荷重的求得大多依赖于试验。目前有关板的极限荷重的试验已有不少,图l0-45是简支矩形板极限应力的试验结果.图中上面一根曲线代表极限应力σut,下面一根曲线代表临界应力σcr=4π2D/(b2t),可见极限应力与临界应力的差别随b/t的减少而变小。图l0-45的极限应力可以用下面的公式来表达:式中为无量纲参数。或更简单些,用下式表达:一般在板的极限应力分析中都用β作为参数,这从公式(10-108)中亦可以得出.(10-109)(10-110)(10-111)第9页，共14页，2023年，2月20日，星期三ExitNextPre4.板的有效宽度与折减系数板在后屈曲时的应力不再为均匀,而是板边应力大于板中部应力。这种应力分布的不均匀性可用板的有效宽度来表达。设板中压应力的平均值为σm,它等于：

再设板边的最大压应力为并引入一个相当的板宽be,使它满足下面的关系：或(10-112)(10-113)由于板在屈曲后,故be＜b;在屈曲前,故be=b

以表示假想板与骨架能承受同样大小的压应力的话,板实际起作用的那一部分宽度，并称为“有效宽度”(effectivebreadth)。既然板屈曲后有效宽度小于真实宽度,所以我们亦可以说板的截面积打了一个折扣。为此再引入一个板断面的“折减系数”,其定义为:第10页，共14页，2023年，2月20日，星期三

这样,①板在屈曲前ψ=1,表示板断面积不打折扣,全部有效;②板在屈曲后,ψ＜1,表示板断面积打了折扣,不是全部有效.由此可知,板的有效宽度be与ψ折减系数都可以来反映板后屈曲的性能；be越接近于b,或ψ越接近于l,说明板后屈曲的强度高,反之则后屈曲强度差。和板的极限荷重确定一样,如果能够求得板后屈曲的应力状态,那末有效宽度与折减系数都不难算得。但可以发现,有效宽度与折减系数都将随着外荷重的大小而变化,不是常值.当板达到极限状态时,则前述卡门公式中的2c就是有效宽度。将E=2×105N/mm2及σy=240N/mm2代入公式(10-106),得:这就是过去造船界中所采用的骨架的带板宽度,显然此带板宽度是由稳定性的条件导得的。

在船体结构分析中,受压板的折减系数主要用于船体总强度计算中。在船体总弯曲时,甲板和底板都将受到压应力,这时若总弯曲压应力小于板的临界应力,板不失稳,它将与它的骨架一起有效的工作;如果总弯曲压应力大于板的临界应力,则板失稳,板将把一部分荷重转移到它的骨架上,此时板不再完全有效工作,或板的断面积要打折扣。

第11页，共14页，2023年，2月20日，星期三在造船计算中,目前对板后屈曲的折减问题是按下面的假定进行的。我们假设屈曲后的压应力分布可用图10-46中的阶梯形曲线来代替:板边宽度为ηb的一部分板,其应力与骨架相同,即等于;板中间宽度为(1-η)b的板,其应力始终保持为板的临界应力σcr。显然这种代替是能够做到的,只要选取一定的η值就行.由于板边宽度为ηb的板与骨架的应力相同,即它与骨架承担同样负荷,或它与骨架一起有效工作,故称为“刚性构件”,中间的板则称为“柔性构件”。设板的有效宽度定义不变,于是有或(10-116)现重新定义板的折减系数：则得:第12页，共14页，2023年，2月20日，星期三可见,作了这样的假设后,板宽度的折减只要对柔性构件进行(刚性构件宽度不折减),并且只要知道板边的应力就可求得折减系数ψ’。此ψ’虽然与(10-114)式的ψ有所不同,但它同样可用来表示板的后屈曲性能：

当ψ’=1时,be=b,板开始屈曲,当ψ’＜1时,be＜b,板已经屈曲,此时柔性构件不再与刚性构件同样有效工作,而要将柔性构件面积乘以ψ’后才能和刚性构件同样工作。下面的问题是要确定刚性构件宽度ηb的大小。理论上说,此宽度也将随着外荷重的大小而变化,巴普考维奇经过分析选取了一个η值,应用此η值所得的折减系数ψ’与不同大小外载荷时精确的折减系数ψ误差为最小,即用最小二乘方的方法求得η,其结果为:1)对于横骨架式板(图(10-47a),ηb=0.44a,于是有效宽度为

be=0.44a+(b-0.44a)ψ’

(10-119)2)对于纵骨架式板(图