第三节函数的连续性

第三节函数的连续性第1页，共33页，2023年，2月20日，星期三函数的连续性与间断点

一.函数的连续性

自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等等,都是连续变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性.例如就气温的变化来看,当时间变动很小时,气温的变化也很小,这种特点就是所谓连续性.当t的变化很小时，T的变化也很小第2页，共33页，2023年，2月20日，星期三注：⑴Δu是一个记号，是一个不可分割的整体。⑵Δu可正、可负、可为零.自变量的增量函数的增量1、函数的增量

第3页，共33页，2023年，2月20日，星期三定义12、函数的连续性

第4页，共33页，2023年，2月20日，星期三定义2

由以上定义可看出函数f(x)在x=x0处的极限与连续

的定义的区别。注第5页，共33页，2023年，2月20日，星期三左连续与右连续在区间上的连续性连续函数的图形是一条连续不断的曲线。第6页，共33页，2023年，2月20日，星期三证：例1、第7页，共33页，2023年，2月20日，星期三例2、解：根据连续的充要条件，有第8页，共33页，2023年，2月20日，星期三例3、解：第9页，共33页，2023年，2月20日，星期三分段函数在分界点处的连续性：先计算出分段函数在分界点的极限值，后与该点处函数值比较，看两值是否相等，若相等，则在分界点处连续，否则在分界点处不连续；第10页，共33页，2023年，2月20日，星期三1、定义：二、函数的间断点第11页，共33页，2023年，2月20日，星期三例4、第12页，共33页，2023年，2月20日，星期三。例5、第13页，共33页，2023年，2月20日，星期三例6、。。第14页，共33页，2023年，2月20日，星期三例7、例8、第15页，共33页，2023年，2月20日，星期三2、第16页，共33页，2023年，2月20日，星期三例9、解：第17页，共33页，2023年，2月20日，星期三第18页，共33页，2023年，2月20日，星期三三、连续函数的运算与初等函数的连续性1、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1定理2注定理可推广到有限个连续函数的情形。例1在它们的定义域内是连续的.第19页，共33页，2023年，2月20日，星期三定理22、复合函数与反函数的连续性注i)⑴可写成iii)由得，要求，可转化为求ii)即：极限符号和连续函数的函数符号可以交换顺序。第20页，共33页，2023年，2月20日，星期三即：单调连续函数的反函数也是单调连续的定理3例2第21页，共33页，2023年，2月20日，星期三3、初等函数的连续性(1)基本初等函数的连续性在对应的定义域内（反函数）三角函数连续（反函数）反三角函数连续结论1：基本初等函数在其定义域内连续，或称基本初等函数是连续函数。(2)初等函数的连续性结论2：由于连续函数的和、差、积、商、复合以及反函数仍是连续函数，所以，初等函数在其定义域内连续。第22页，共33页，2023年，2月20日，星期三由此：例1、解：例2、解：例3、解：第23页，共33页，2023年，2月20日，星期三例4、解：例5、解：例6、解：第24页，共33页，2023年，2月20日，星期三例7解第25页，共33页，2023年，2月20日，星期三例8、解：第26页，共33页，2023年，2月20日，星期三四、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理最值：定理1（最值定理）几何解释第27页，共33页，2023年，2月20日，星期三注。。.1122例定理2（有界性定理）第28页，共33页，2023年，2月20日，星期三2、介值定理定理3（零点定理）定理4（介值定理）第29页，共33页，2023年，2月20日，星期三证：例1、推论第30页，共33页，2023年，2月20日，星期三例2、证：第31页，共33页，2