第三章状态空间分析法

第三章状态空间分析法第1页，共48页，2023年，2月20日，星期三三、状态和状态变量状态——动力学系统的状态是表征系统运动的信息。只要知道t0的状态和t≥t0的输入，就能完全确定t≥t0的行为。状态变量——是确定系统状态的最小一组变量。eg：x1(t),x2(t),……,xn(t)是一组状态变量。

*状态变量并不一定是物理上可测或可观察的量。但为最佳控制规律需要把所有这些状态变量反馈，故最好为测量。状态向量——将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，Z(t)就叫做状态变量。第2页，共48页，2023年，2月20日，星期三状态空间——由x1轴，x2轴,……，xn轴所组成的n维空间叫做状态空间，任意状态则为其中一个点。例：第3页，共48页，2023年，2月20日，星期三§3-2系统状态空间的表达式线性微分方程作用函数中不含有导数项的n阶系统的状态空间表达式：y(n)+a1y(n-1)+……+an-1ý+any=u由数学知识知，若y(0),ý(0),……,y(n-1)(0)和t≥0时u(t)则系统未来的行为就可知。设：则微分方程可表示为：第4页，共48页，2023年，2月20日，星期三或者：第5页，共48页，2023年，2月20日，星期三输出方程为：

或者：Y=CZ

第6页，共48页，2023年，2月20日，星期三例：设系统方程为求状态空间表达式。解：设状态变量为：y----输出；u----输入。故有-11-66-6第7页，共48页，2023年，2月20日，星期三所以标准形式：•状态变量的非唯一性：假设x,x,…x是一组状态变量，则可取任一组函数。作为另一组状态变量，若对每一组，值都对应于唯一的一组的值，反之也成立。则：也是一个状态变量。P是非奇异的。第8页，共48页，2023年，2月20日，星期三阶矩阵A的特征值：即：|λI-A|=0的根。设：特征方程：∴矩阵A的特征值为-1，-2，-3。第9页，共48页，2023年，2月20日，星期三例：上例中：假设一组新变量Z1，Z2，Z3作如下变换第10页，共48页，2023年，2月20日，星期三特征值的不变性：证明：|λI-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λI-A)P|=|P-1|·|λI-A|·|P|=|P-1|·|P|·|λI-A|=|P-1P|·|λI-A|=|λI-A|第11页，共48页，2023年，2月20日，星期三若将n×n阶矩阵化成对角线矩阵：具有互不相同的特征值。式中：为A的n个特征值。第12页，共48页，2023年，2月20日，星期三若A含有多重特征值，则A不能化为对角矩阵，而只能化为约当标准型矩阵。比如：例：解：第13页，共48页，2023年，2月20日，星期三因此：令：3-33-1-6-2第14页，共48页，2023年，2月20日，星期三•具有r个作用函数的线性微分方程描述的n阶系统的

状态空间表达式：线性对象输出元件第15页，共48页，2023年，2月20日，星期三·作用函数含有导数项的线性微分方程所描述的n阶线性系统的状态空间表达式：当作一组状态变量，并且也不能采用前面的简洁方法。这是因为n个一阶微分方程。第16页，共48页，2023年，2月20日，星期三在时，可能得不到唯一的解。作为一状态变量必须是能消去状态方程中u的导数项。取：式中：第17页，共48页，2023年，2月20日，星期三就能保证状态方程解的存在性和唯一性。由上述可得：或：第18页，共48页，2023年，2月20日，星期三该表达式表示了传递函数：例、研究图所示的控制系统，闭环传递函数为：解：对应的微分方程为：令：第19页，共48页，2023年，2月20日，星期三其中：第20页，共48页，2023年，2月20日，星期三§3-3定常系统状态方程的解法·齐次状态方程的解法：（纯量微分方程）假设x(t)为：

将所设解代入方程中可得：显然有：第21页，共48页，2023年，2月20日，星期三的值可将t=0代入方程求得，即：方程的解x(t)可写为：•现在来解矩阵微分方程：式中x=n维向量，A=n×n常系数矩阵设方程解为t的向量幂级数形式，即：要求t的同幂项系数相等，即：第22页，共48页，2023年，2月20日，星期三将t=0代入方程中可得：方程的解：第23页，共48页，2023年，2月20日，星期三矩阵指数：一个n×n阶矩阵A的矩阵指数：对于所有有限时间是绝对收敛的。•微分性：第24页，共48页，2023年，2月20日，星期三•齐次状态方程的拉普拉氏解法。首先考虑纯量状态方程：对方程取拉氏变换：第25页，共48页，2023年，2月20日，星期三•状态转移矩阵：的解写成为x(t)=ф(t)x(0)式中ф(t)是n×n阶矩阵，且是：的唯一解。由上可知：注意：——状态转移矩阵第26页，共48页，2023年，2月20日，星期三状态转移矩阵的性质例：求系统的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆第27页，共48页，2023年，2月20日，星期三解：由于：第28页，共48页，2023年，2月20日，星期三第29页，共48页，2023年，2月20日，星期三非齐次状态方程的解对纯量方程：或：第30页，共48页，2023年，2月20日，星期三非齐次状态方程：同理可求出：•非齐次状态方程的拉普拉斯变换解法：略解得：第31页，共48页，2023年，2月20日，星期三解：由上例：第32页，共48页，2023年，2月20日，星期三如果初始条件为零：第33页，共48页，2023年，2月20日，星期三§3-4传递矩阵传递矩阵是传递函数的推广，传递函数：状态方程为：第34页，共48页，2023年，2月20日，星期三例：如图所示的传达室递函数：解：由图状态方程：5-22-23-12知阵表达式：第35页，共48页，2023年，2月20日，星期三所以，传递函数：传递矩阵G（s）：Y（s）=G(s)U(s)…………（1）若u——r维向量，y——m维向量，A则为m.r矩阵。则<1>式展开为：第36页，共48页，2023年，2月20日，星期三——表示第i个输出，j个输入的传递函数，即传递函数矩阵为如多变量控制的方框图为：第37页，共48页，2023年，2月20日，星期三多输入——多输出系统消除交链的问题：设对象的传递函数阵为（n*n阶矩阵），现设计一组补偿器（也是n阶矩阵），使得n个输入和n个输出是相互独立的。即第38页，共48页，2023年，2月20日，星期三则闭环传递矩阵：现考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵，则：其中：或：由于是对角阵，所以也是对角阵。也是一个对角阵。第39页，共48页，2023年，2月20日，星期三例：现有一如图所是示的系统，试确定一组补偿器的传递矩阵，使得闭环传递矩阵为：1第40页，共48页，2023年，2月20日，星期三解：由于第41页，共48页，2023年，2月20日，星期三第42页，共48页，2023年，2月20日，星期三3—5线形时变系统状态空间法可适用于线形的时变系统。只要将转移矩阵改为，前面大部分都适用于时变系统的分析。但对时变系统而言，转移矩阵通常是不能用矩阵函数给出的。时变系统状态方程的解法：1、对纯量微分方程：

其解为：状态转移矩阵函数为：这个结果不能用于矩阵微分方程。第43页，共48页，2023年，2月20日，星期三2．状态方程维列向量阶矩阵，其各元素在内是t的分段连续函数解为：式中为非奇异矩阵矩阵就是由状态方程所描述的时变系统的状态转移矩阵。★第44页，共48页，2023年，2月20日，星期三时变系统的状态转移矩阵当和是可交换时，状态转移矩阵才可用矩阵指数表示。为了能用数值计算方法计算，可将展开成级数形式：通常,不能用封闭形式给出。★第45页，共48页，2023年，2月20日，星期三例如：求时变系统的。解：采用上述方程的形式