高数课件二阶常系数非线性方程

m一、fxexPxmypyqyfx)二阶常系数非齐次线设非齐次方程特解为yQx)exy'ex(Q(x)Q'(x))y''ex(2Q(x)2Q'(x)Q''(x))代入原

ypyqyf(x)exPm(Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(若不是特征方程的根，

pqm可设Q(x)Qm( yQ(x)e mx若是特征方程的单根，2pq0,2p可设QxxQm

yxQ(x)exm若是特征方程的重根m

pq0,2p可设Q(x)x2Q( yx2Q(x)ex综上讨

myxkexQxm

不是k 是单根

ypyqyf(x)exPm(特别地ypyqy不是根，设y

M2ex

qMex可得：yMex

e2p

pq

ex

不是特征方程

设yMey

2p

是特征方程的

y Ax2

是特征方程的

设yx2ypyqyf(x)exPm(

yxkexQxm例1求方程y2y3y3x1的特解m解特征方程r22r30,特征根r11，r2非齐次方程中的m这里的0mm设yxkexQm

x0e0xQ (x)Ax代入方程得3Ax2A3B3xA 1

于是方程的特解为：yxB13 13原方程通解为yCexCe3xx yxkexQxm例2y3y2yxe2x的通解解特征方程r23r20,特征 2对应齐次方程通解Yc1exc22Q2是单根，yxAxB)e2x

代入方程2AxB2Ayx(1x2

21原方程y

C2e2x x1)e2x2例3求微分方程y4y4y6x28e2x的通解

y4

4y6x

y的特解为yy2y4y4y8e2x的特解为y21则所求y*1

2Qr24r42

特征根r1,2

（重根y*Ax2Bx y*Dx2e2 1y*1

Ax2BxCDx2e2x2代入原方程可得：A3B3C21D2 故：yccx)e2x3x23x214x2e2

fxex[Px)cosxPx)sinx lnf(x)ex[Pcosxln

P

利用欧ex

ejxel2l

ejxe]2(

Pn)e(j)

(

Pn)e(j) 2 2P(x)e(j)xP(x)e(j)xypyqyPx)ejx

Px)与Px) yxkQe(j)x

k j不是根 j是单lnfxex[Px)cosxPx)sinxlnypyqyPx)ejxypyqyPx)ejx

yxkQe(j)xm1yxkQe(j)xm1yxkex[Qem

Qmejx

xkex (x)(cosxjsinx) (x)(cosxjsin xkex[R(1)(x)cosxR(2)(

－特解其中R(1x),R2x)是m次多项式mm

k j不是根 j是单注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 fxex[Px)cosxPx)sinx 例求方yy4sinx的通解l f(x)属于P(x)cosx l(其中01

(

0,Pn(

求对应齐次yy0的通

r21 特征 riYC1cosxC2sin0i是特征根0i是特征根x[原方程

yC1cosxC2sinx2xcos fxex[Px)cosxPx)sinx 例2yy4sinx的通解解对应齐方通解YC1cosxC2sin作辅助yy4e(0j)x4cosx4sinxQj0j是单根,故 Axejx,代入上AejxAxjejx'AxejxAjejxAjejxAxj2ejxAxe 4e2Aj A2y* 2jxe 2xsinx(2xcosx)所求非齐方程特解为y2xcos

（取虚部原方程通解为yC1cosxC2sinx2xcos例3求方yyxcos2x的通解解对应齐方通解YC1cosxC2sin作辅助方程yyxe2 Q2j不是特征方程的根 设y*(AxB)e2jx代入辅

4Aj3B0A1，B4 3 3 1 (1x4j)e2jx(1x4j)(cos2xjsin2 1xcos2x4sin2x(4cos2x1xsin2x) 4 所求特

y xcos2x sin2

（取实部通解yC1cosxC2sinx3xcos2x

329l注意当Fxy,y',y'')fxexPxcosxll或Fx,y,y',y'')fx)exPxsinxln一、作辅助方程：Fxyy',y'')e(＋jwxLn二、根据＋jw是否是Fx,y,y',y'')m对应的特征方程根的情况，设y*xkm

(x)e(＋jw)三、将y*代入方程确定Qx)中各系数，并求出y*。ll作为方程Fx,yy',y'')fx)的特解。l）若是f(x) xP(x)sinx型则取y*的虚le为方程Fx,y,',y'')fx)的特解。三、

(待定系数法mfxexPx),(可以是复数m特解的yxkexQx);m f(x)ex[P(x)cosxP(x)sin 特解的yxkex[R(1)x)cosxR2) 特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.习题12-9(3171. 2. 1、ya2yex；2、y3y2y3xex3、y4yxcosx4、yysin2x1、y4y5,yx01,yx00；2、y2yyxexex,

x

1,yx

3、y4y1(xcos2x), 0, x x

三、在R,LC含源串联电路中,电动势为E的电源对电容器C充电.已知E20伏,C0.2微法,L0.1亨,R1000欧,试求合上开关K后的电流i(t)及电压uc(t) 四、设函x)连续,且 (x)ex

0t(t)dtx0(t)dt练习e一、1、yC1cosaxC2sinax1a22、yCe

Ce2

ex(3x23 3、yCcos2xCsin2x1xcosx2sin 4、yCexCex1cos2x1 二、1、y