第三章 测量误差基本知识

第三章测量误差基本知识第1页，共40页，2023年，2月20日，星期三§9.1观测误差的分类一、观测误差基本概念1、观测误差：某量的各观测值之间，或各观测值与其理论上的应有值(或最或然值)之间的不符值，统称为观测误差。

2、真值与真误差a.真值：观测量在理论上的应有值称为观测量的真值。

b.真误差：观测量的真值与观测值之差称为真误差，即

3、最或然值与改正数a.最或然值：根据某量观测值求得的该量的最终结果称为最或然值，或最可靠值、平差值。

b.改正数：观测量的最或然值与观测值之差称为改正数即

第2页，共40页，2023年，2月20日，星期三二、观测误差产生因的原

1.人的原因

由于观测者感觉器官的鉴别力的局限性，在进行仪器的安置、瞄准、读数等工作时，都会产生一定的误差。与此同时，观测者的技术水平、工作态度也会对观测结果产生不同的影响。第3页，共40页，2023年，2月20日，星期三2.仪器的原因观测所使用仪器都具有一定的精密度，而使观测结果受到相应的影响。例如使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，就难以保证估读厘米以下的尾数的准确性。再说仪器本身也含有一定的误差，例如水准仪的视准轴不平行于水准管水准轴、水准尺的分划误差等等。显然，使用这些仪器进行测量也就给观测结果带来误差。

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3.外界环境的影响在观测过程中所处的外界自然环境，如地形、温度、湿度、风力、大气折射等因素都会给观测结果带来种种影响。而且这因素随时都有变化，由此对观测结果产生的影响也随之变化，这就必然使观测结果带有误差。无论观测条件如何，都会含有误差。但是各种因素引起的误差性质是各不相同的，表现在对观测值有不同的影响，影响量的数学规律也是各不相同的。因此，有必要将各种误差影响根据其性质加以分类，以便采取不同的处理方法。

第5页，共40页，2023年，2月20日，星期三三、观测误差的分类与处理原则1.系统误差在相同观测条件下对某个固定量所进行的一系列观测中，在数值和符号上固定不变，或按一定的规律变化的误差，称为系统误差。系统误差对观测结果的危害性很大，但由于它有规律性而可以设法将它消除或减弱。如在水准测量中，可以用前后视距离相等的办法来减少由于仪器不水平造成的误差。系统误差具有累积性，所以要尽量采取合适的仪器、合理的观测方法来消除其影响。第6页，共40页，2023年，2月20日，星期三2.偶然误差在相同的观测条件下对某个量进行重复观测中，如果单个误差的出现没有一定的规律性，也就是说单个误差在大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，或称为随机误差。在测量中，除不可避免的误差之外，还可能发生错误。例如在观测时读错读数、记录时记错等等，在观测结果中是不允许存在错误的。第7页，共40页，2023年，2月20日，星期三

3.粗差

由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差，如瞄错目标、读错大数等。4.误差处理原则粗差是大于限差的误差，是由于观测者的粗心大意或受到干扰造成的错误。错误应该可以避免，包含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。系统误差可通过采取适当的观测程序，或加以改正消除或削弱。偶然误差则是不可避免的！第8页，共40页，2023年，2月20日，星期三四、偶然误差的特性（以两组三角形闭合差为例）纵坐标：频率除以间隔横坐标：误差大小+σ2+σ1-σ1-σ2第9页，共40页，2023年，2月20日，星期三

通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如下的规律性：

1.在一定的观测条件下，偶然误差有界，即绝对值不会超过一定的限度；（界限性）2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要大；（聚中性）3.绝对值相等的正误差与负误差，基其出现的机会基本相等。（对称性）4.当观测次数无限增多时、偶然误差的算术平均值趋近于零。第10页，共40页，2023年，2月20日，星期三§9.2衡量精度的标准表征精度特征的量有如下几种：一、方差当观测次数足够多时，误差分布符合正态分布，在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。描述这种分布的方程为：

式中参数第11页，共40页，2023年，2月20日，星期三式中参数

是观测误差的方差，是观测误差的标准差（方根差或均方根差），当愈小时，误差分布比较密集，表示该组观测质量好些；当愈大时，误差分布比较分散，表示该组观测质量差些

。由此可见，参数的值表征了误差扩散的特征。

精度：是指误差密集或离散的程度。第12页，共40页，2023年，2月20日，星期三

二、中误差由于一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以在评定观测精度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差的值。在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：

m称为中误差。这里的方括号表示总和，（i=1，2,…n）为一组同精度观测误差。从二者的公式可以看出，中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着n的增大，m将趋近于。第13页，共40页，2023年，2月20日，星期三

三、平均误差在测绘工作中，有时用平均误差作为评定精度的指标，计算公式如下：

称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。平均误差与中误差的关系为第14页，共40页，2023年，2月20日，星期三四、相对中误差有时中误差不能很好的体现观测结果的精度。例如，观测5000米和1000米的两段距离的中误差都是±0.5米。从总的距离来看它们的精度是相同的，但这两段距离单位长度的精度却是不相同的。为了更好的体现类似的误差，在测量中经常采用相对中误差来表示观测结果的精度。第15页，共40页，2023年，2月20日，星期三

所谓相对中误差就是利用中误差与观测值的比值来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1／N。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差、平均误差都称为绝对误差。第16页，共40页，2023年，2月20日，星期三五、容许误差（极限误差）由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就称为容许误差。经计算，绝对值大于一倍、二倍、三倍中误差的偶然误差的概率分别为31.7％，4.6％，0.3％；即大于二倍中误差的偶然误差出现的概率很小，大于三倍中误差的偶然误差出现的概率近于零，属于小概率事件。第17页，共40页，2023年，2月20日，星期三在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的极限误差，即容许误差：

在精度要求较高时，以二倍中误差作为偶然误差的容许值，即，在测量上将大于2倍或3倍中误差的偶然误差作为粗差，即错误来看待。第18页，共40页，2023年，2月20日，星期三§9.3误差传播定律

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。一、误差传播定律一般形式设Z为独立变量（即独立观测值）的函数，即

若已知独立观测量具有真误差相应的中误差为，而Z的真误差为ΔZ，相应的中误差，即第19页，共40页，2023年，2月20日，星期三

这些真误差都是一个小量，将上式在处展开成级数，并取其近似值为：即：若对各独立观测量进行了k次观测，每次所得方程自乘，然后相加可得：第20页，共40页，2023年，2月20日，星期三

上式中，当时，上式中各偶然误差Δ的交叉项总和为零，又有则

或上式就是函数中误差与观测值中误差的一般关系式，即误差传播律的一般形式。第21页，共40页，2023年，2月20日，星期三

二、测量中常见的形式

1.倍数的函数设有函数：式中Z为观测值的函数，f为常数（无误差，下同），x为观测值，已知其中误差为mx，现在求Z的中误差mz，则有：

第22页，共40页，2023年，2月20日，星期三2.和或差的函数设有函数式中Z是的和或差的函数，为独立观测值，已知它们的中误差为，现在求Z的中误差,则有若各观测值是同精度时，即，则有第23页，共40页，2023年，2月20日，星期三3.线性函数设有函数式中为独立观测值，已知它们的中误差为，现在求Z的中误差,则有

对于任意非线性的函数都可以展开成级数，变换成线性形式，再利用误差传播律进行计算。第24页，共40页，2023年，2月20日，星期三§9.4算术平均值及观测值的中误差

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为X，则可写出观测值的真误差公式为

将上式相加得第25页，共40页，2023年，2月20日，星期三

设以x表示上式观测值的算术平均值，则有其中将上式两边取极限，得

由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，趋近于零，即

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可见：n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。在实际应用中，不论观测次数的多少均以算术平均值x

作为未知量的最或然值，这是误差理论中的一个公理。这种只有一个未知量的平差问题，在传统的平差计算中称为直接平差。第27页，共40页，2023年，2月20日，星期三

现在来推导算术平均值的中误差公式：式中，为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。以表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为

故

现在来推导算术平均值的中误差公式：式中，为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。以表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为

故

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可以看出，随着n的增大，x的精度不断提高，那么，随意增加观测个数对L的精度都有利而经济上又合算的呢？设观测值精度在一定时，例如设m=1时，当n取不同值时，可得mx值如表6.4-1：n1234561020304050100mx1.000.710.580.500.450.410.320.220.180.160.140.10表9.4-1第29页，共40页，2023年，2月20日，星期三

可以看出，随着n的增大，mx值不断减少，即x的精度不断提高。但是，当观测次数增加到某一定的数目以后，再增加观测次数，精度就提高得很少。可见，要提高最或然值的精度，单靠增加观测次数是不经济的，需要考虑采用适当的仪器、改进操作方法等。第30页，共40页，2023年，2月20日，星期三§9.5加权平均值及其精度评定一、广义算术平均值设对未知量进行了n次同精度观测，得；现将n个观测值分成两组，其中第一组有n1个观测值，第二组有n2个观测值，则。将两组观测值分别进行平差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以及表示为：

（1）第31页，共40页，2023年，2月20日，星期三

设观测值的中误差为m，则它们的中误差可求得，为：

（2）根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为：

（3）得

（4）第32页，共40页，2023年，2月20日，星期三

从上式可见，如果将及看成两个不同精度观测值，则为求被观测量的最或然值时，在本例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数n1和n2，并代入（4）式就可求得。为了得出由不同精度观测值求被观测量的最或然值的一般公式，可将（2）式代入（4）式，得

（5）从上式可见，如果将上式中的m2换成另一常数，并不影响x的值。在测量工作中，令（6）第33页，共40页，2023年，2月20日，星期三则（7）可以看出，的精度愈高，则mi愈小，而愈大，相应的在x中的比重就大。反之，的精度愈低，即mi愈大，而愈小，相应的在x中的比重就小。所以，也可以说：值的大小，权衡了观测值在x中所占比重的大小，故称为的权。

对于同精度观测值的算术平均值L来说，其权就是参与计算的观测值的次数。第34页，共40页，2023年，2月20日，星期三当对某未知量进行了n次不同精度观测，得，其相应的权为，求该量的最或然值时，可将（7）式扩充为：

称上式为广义算术平均值，或带权平均值。第35页，共40页，2023年，2月20日，星期三

二、权求权的基本公式为（6）式，即（8）式中是任意常数。这个值含有什么意义呢？

可见：当时，所以是权等于1的观测值的中误差，通常称等于1的权为单位权，权为