依托数学文化渗透学科素养-“球的表面积与体积”教学设计与反思 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选依托数学文化，渗透学科素养——“球的表面积与体积”教学设计与思考摘要：高中阶段的数学知识是抽象的和综合的，因此很多内容是需要学生自主探究与深度思考的。而将数学文化融入课堂是激发学生自动探究与深度学习的一条有效途径。因此本文就数学文化背景下，对“球的表面积与体积”这一节内容进行实践反思，促进学生学科素养。关键词：数学文化，自主探究，学科素养一、基本情况分析 1．教材内容解析

本节内容来自于人教A(2019)版必修二第八章第三节,此时学生已经了解了柱、锥、台体等几何体的表面积和体积，在此基础上继续学习球体的体积与表面积，在内容和知识上具有承上启下的作用。 2．学生学情分析

（1）学生特点：理科实验班学生，思维活跃，探究意识与求知欲望较强，善于运用信息化设备。 （2）知识储备：已经学习了柱体、锥体、台体的表面积与体积知识，并且已经对球体有了一定认知。 （3）存在问题：本节内容较为综合与抽象,对学生的空间想象能力和推理能力有较高要求。 （4）解决方案：从现实生活情境出发，抽象出数学问题，引发学生思考探究；合理恰当运用信息化手段，针对学生问题进行反馈，使得学生探究呈现螺旋性上升的过程。3．教学理念

（1）教学背景：以学生为主体，教师为主导。（2）教学目标：提升学生的认知水平与实践能力。（3）素养渗透：渗透数据分析，直观想象，数学运算，逻辑推理的学科素养。 （4）课堂氛围：学生自主学习，主动探索；教师引导、协助学生；课堂上小组合作展示。4．教学方法

实施基于问题驱动的“启发式+探究式”教学方法，完成从问题提出到实验探究再12022年安徽省中小学教育教学论文评选到理论证明再到结论应用的知识闭环。5．教学目标 教学目标：了解球的体积与表面积推导过程；了解教学过程中运用的思想方法；能运用所学知识解决实际问题。6．教学环节的构建二、教学过程1．展示问题情境，抽象球体模型教学活动1：展示太阳系行星，球形建筑与石墨烯的分子结构。【设计意图】通过由宏观到微观的图片展示，直观感知球体具有大小差异与球体的无处不在。教学活动2：提出两个实际问题，引导学生注意问题的本质为求球的表面积和体积的问题。【设计意图】通过实际问题开门见山点名本节课需要探究的内容。2．学生成果展示教学活动3：课前探究任务：观察生活中的球体，尝试测出其体积，并谈谈你发现了什么规律。接下来让学生进行成果展示。【设计意图】从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生在生活情境中大胆探索尝试，结合之前已有的数据分析经验，提升分析数据，处理数据的能力。在这个环节中，结合学生已经猜测出的球体公式，为后续利用祖暅原理严格证明做准备。图1学生1 图2学生222022年安徽省中小学教育教学论文评选学生1用硬质塑料制作了等半径等高的圆锥，圆柱以及半球模型，通过对容积的测量，猜测到半球与对应的圆锥体积之间有倍数关系。学生2对生活中常见的，如足球，篮球，乒乓球等球体测量出半径与体积，进而得出相应的数据，通过GeoGebra软件进行函数拟合，进而得到球体的体积公式。3．引入祖暅原理,学生合作展示教学活动4：介绍中国古代数学家祖暅并引入祖暅原理。并进行举例说明，如：桌子上整齐摆放一摞书，整体呈直棱柱的形状，如果将其轻推，变成斜棱柱的形状，体积并没有发生改变。【设计意图】通过介绍祖暅原理的巧妙，强调祖暅原理的提出比西方国家类似的结论要早一千年，增强了学生的文化自信，为将来继承和发扬古人智慧和生生不息的中华民族探索精神奠定基础。教学活动5：利用祖暅原理证明球的体积公式。由于球具有对称性，我们可以先求半球的体积公式。选取同底等高的圆柱与圆锥，引导学生发现球的体积为圆柱体积与圆锥体积之差，于是可以考虑球的体积等于圆柱挖去圆锥后的几何体的体积。运用祖暅原理对其验证，发现并不满足。再次提问学生，该做出如何调整。引导学生将这个几何体倒置后，发现已经初步满足祖暅原理（最上截面面积与最下截面面积都满足相等关系），但还需严格证明。任取一个高度为的截面，分别计算出半球对应的截面面积与该几何体ℎ

的截面面积，结果由学生展示。【设计意图】通过严密的逻辑推理与逐步探究，教师适时引导及时回馈鼓励，学生将问题逐步抽象到自己熟悉的数学知识中，同时也锻炼了学生的空间想象能力。通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学。4．引入割圆术,渗透极限思想教学活动6：介绍刘徽割圆术，中国古代极限思想的代表成果。在圆周上取个不同点，相邻点进行连线，得到一个边形，随着趋近于无穷，边形的周长无线接近于圆的周长。【设计意图】让学生初步感受到取极限，然后近似求和，最后取极限的思想方法。让学生再次领略中国古代数学的美好与伟大，同时也为后续用球的体积公式推导球的表面积公式做准备。教学活动7：学生思考问题：运用割圆术中的极限思想，利用圆的面积求圆的周长以及类比这种思想方法，利用球的体积公式推导球的表面积公式。【设计意图】学会初步运用极限思想解决问题，感受运用极限思想解决问题的成就感，并类比迁移到利用球的体积公式推导球的表面积公式的问题。阶梯式设问不突兀，同时多种数学思想方法融合，使学生感受到数学的趣味。教学活动8：将球的表面分成个小网格，连接球心与每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”。思考并回答下列三个问题：经线圈和纬线圈将球面分割成片，这片的面积分别记为S1，S2，…，，球的表面积与Sn S1S2+…+有什么关系；分割Sn

越细密，即越大，每一片的顶点和球心的连线构成的几何体接近什么几何体？其体积Vi可以如何近似求解，请列式表示出来；球的体积可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.请学生思考并讲解板演。【设计意图】让学生再次经历从提出问题到分析问题再到解决问题的探究过程，建构对32022年安徽省中小学教育教学论文评选球体表面积计算方法的认知，同时也提升了学生数学表达和交流的能力。有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。5．课堂总结教学活动9：课堂总结，回顾本节课所学内容以及运用的数学思想，学生发表关于本节课的体会与收获。【设计意图】小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、情感等方面进行总结。学生总结的三个方向：（1）通过本节课的学习，学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？（3）通过本节课的学习，最大的体验是什么？教学活动10：教师总结：

我国古代数学成果斐然，在世界数学史上有着灿烂光辉。自九章算术开始，算筹，杨辉三角，割圆术等等都是早于外国若干年。在1919年五四运动后，中国近代数学才拉开帷幕，涌现出大批回国的数学家和教育家，如苏步青，赵元任等，为我国近现代数学打下基础。纵观中国的数学发展史,不管时代如何,代代都有才人出。希望,中国的数学,将会在我们这一代,有长足的发展,将老一辈的数学家孜孜以求,不断探索的精神发扬光大。【设计意图】加强爱国主义教育，增强民族自豪感是赋予课堂的德育任务。将古代具有世界意义的数学成就介绍给学生，引导升华学生的爱国情感。三、几点思考1．依托数学文化，挖掘教材，提升课堂品味数学文化对于学生来说是较为新奇的，学生对于一些古代词语如“秦九韶面积公式”“鳖臑、阳马、刍甍”，“祖暅原理”等古老又陌生的数学词语是极度感兴趣的。一方面感兴趣于它们的命名，另一方面感兴趣于这些词语背后古代数学家们是如何解决数学问题的。因此数学文化为学生学习新知提供了一个新的角度。在本节课中，教材开门见山给出球的表面积公式，学生是不易接受这种高度提炼的结论的。为学生避免“碎片化”学习，将本节后“探究与发现”栏目中“祖暅原理与柱体、锥体的体积”与本节内容进行联动，可以非常自然流畅地将学生引入主动探究的情境中。依托于数学文化，学生对于数学知识的认知不再是抽象的，而是鲜活生动的，是与日常生活息息相关的。学生通过本节课对中国古代数学家杰出成就的了解，增强了民族自豪感，这也是数学文化赋予这节课的德育目标，润物细无声间提升课堂品味。2．鼓励学生自主探究，成果展示显精彩在本节课前布置了探究球的体积公式的任务。在问题驱动的背景下，学生1结合所学内容，利用“曹冲称象”原理，探究半球体积与对应的圆锥是否有倍数关系，进而大胆猜42022年安徽省中小学教育教学论文评选测球的体积公式，可谓精彩。学生2利用数学软件分析处理数据生成球的体积公式，得到一个估计的结果，利用信息技术从另外一个角度探究让人赞叹。学生的探究过程就是朴实地将日常生活中地事物进行数学化地过程。学生通过具体到抽象，体验到发生的探究经历后，了解知识生成的过程，克服了对于认知上的困难，验证并完善自身的知识体系，提升了数学素养。3．整体把握课堂主体，彰显数学素养这一节的内容不能仅仅满足于学生获得显性知识，以及了解球体体积与表面积公式与基本应用，还要把重点放在学生经历公式的“再发现”，自然感受公式获得过程中的解决方法与核心素养。本节的内容在问题探究的引领下由特殊到一般的过程中处处有核心素养的显现。如：数据分析：通过实验获取数据，利用数据进行函数拟合，得到球的体积公式的近似结果。逻辑推理：先猜后证，利用祖暅原理逐步推理证明球的体积公式；利用等量转化的想法