黑龙江省哈尔滨师大附中2022-2023学年数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数与的图象如图所示，则函数（）A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数C．在区间上减函数 D．在区间上是减函数2．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（）米．A．75 B．85 C．100 D．1103．设S为复数集C的非空子集，若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题：①集合为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集.其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．若的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）A．-2 B．2 C．-1 D．16．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r37．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B． C．2 D．38．的展开式中，常数项为()A．－15 B．16 C．15 D．－169．如图，已知函数，则它在区间上的图象大致为（）A． B． C． D．10．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（）A． B． C．1 D．11．离散型随机变量X的分布列为，，2，3，则（）A．14a B．6a C． D．612．展开式中的所有项系数和是（）A．0 B．1 C．256 D．512二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最大值为_______.14．已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．15．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．16．用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正方体的所有棱长都为1，求点A到平面的距离.18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值，并求取最大值时的取值集合；（Ⅱ）若且，求．19．（12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围20．（12分）已知在上有意义，单调递增且满足.(1)求证：；(2)求的值；(3)求不等式的的解集21．（12分）已知函数（为常数）与函数在处的切线互相平行．（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：函数的图象总在函数图象的上方．22．（10分）复数，若是实数，求实数的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：求出函数的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．详解：，

由图象得：时，，

故在递增，

故选：B．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题．2、B【解析】分析：设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．详解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因为f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故选B．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．3、B【解析】

由题意直接验证①的正误；令x＝y可推出②是正确的；举反例集合S＝{0}判断③错误；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不属于T，判断④错误．【详解】解：由a，b，c，d为整数，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确；当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1＝﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故正确的命题是①②，故选B．【点睛】本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.4、B【解析】

根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。【详解】由已知可得：矩形的面积为，又阴影部分的面积为，即点取自阴影部分的概率为，故选。【点睛】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。5、D【解析】

根据题意，用赋值法，在中，令可得，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，的展开式的各项系数和为32，令可得：，解可得：，故选：D．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．6、A【解析】

根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故选:A.【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.7、C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=11，联立可求公差d．解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=11，得：解得：a1=1，d=1．故选C．考点：等差数列的前n项和．8、B【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．【详解】∵（）•（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．9、D【解析】

首先根据函数的奇偶性排除A，根据排除B，再根据时，，故排除C，即可得到答案.【详解】因为的定义域为，，所以为奇函数，故排除A.，故排除B.当时，，故排除C.故选：D【点睛】本题主要考查根据函数图象选取解析式，熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键，属于中档题.10、A【解析】

把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．【详解】由题意，把代入，可得，把代入，可得，结合图象，可得，故选A．【点睛】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、C【解析】

由离散型随机变量X的分布列得a+2a+3a＝1，从而，由此能求出E（X）．【详解】解：∵离散型随机变量X的分布列为，，∴，解得，∴．故选：C．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12、B【解析】

令，可求出展开式中的所有项系数和.【详解】令，则，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】因为；易得：当且仅当时，取最大值1.故答案为1【点睛】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型.14、【解析】

直接计算平均数得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了茎叶图的平均值，意在考查学生的计算能力.15、.【解析】分析：利用余弦定理，设,设AC=BC=m，则．由余弦定理把m表示出来，利用四边形OACB面积为S=．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m，则．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，∴．.当时取到最大值.故答案为.点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设，再建立三角函数的模型.16、96【解析】

利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

由题意首先求得三棱锥的体积，然后利用等体积法即可求得点A到平面的距离.【详解】由题意可得，三棱锥的体积，且是边长为的等边三角形，其面积，设点A到平面的距离为，利用等体积法可得：，则.即点A到平面的距离为.【点睛】本题主要考查点面距离的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求出取最大值时的取值集合．（Ⅱ）根据且，求得，再利用两角差的余弦公式求出．【详解】（Ⅰ）∴，由，得（Ⅱ）由得，得若，则，所以，∴．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19、（1）；（2）【解析】

本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。【详解】(1)由得，∴∴不等式的解集为(2)令则，∴∵存在x使不等式成立，∴【点睛】在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。20、(1)证明见解析；(2)0；(3).【解析】分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果.详解：(1)∵(大前提)∴2)＝＝．(结论)(2)∵＝12)＝2，(小前提)∴.(结论)(3)∵，(小前提)且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴解得(结论)点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.21、（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函数，利用导数求得函数的单调性，进而求得最大值与最小值；（2）令，则只须证恒成立即可，由导数求解函数的单调性和最值，即可作出证明．详解：（1），，由已知有，解得．当时，．令，解得．∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，．∴最小值为，最大值为．（2