河北省阜平一中2022-2023学年高二数学第二学期期末监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，0，1，2，3，…，6，则的值为()A． B． C．1 D．22．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知复数是纯虚数是虚数单位)，则实数等于（）A．-2 B．2 C． D．4．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种 B．18种 C．37种 D．48种5．在等差数列中，，，则的前10项和为（）A．-80 B．-85 C．-88 D．-906．下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（）（1）回归直线必过样本点中；（2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高；（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；（4）用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．17．若，则（）A．10 B．-10 C．1014 D．10348．设：实数，满足，且；：实数，满足；则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．1610．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）A．B．8C．9D．1212．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，则__________．14．设复数，则_________________.15．位同学在一次聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知位同学之间进行了次交换，且收到份纪念品的同学有人，问收到份纪念品的人数为_______16．若函数的最小值为，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径.（1）求证：；（2）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）.18．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：年份(年)12345维护费(万元)1.11.51.82.22.4（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.(参考公式：.)20．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；（2）证明（1）中的猜想.22．（10分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据题意，采用赋值法，令得，再将原式化为根据二项式定理的相关运算，求得，从而求解出正确答案．【详解】在中，令得，由，可得，故．故答案选C．【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力．2、C【解析】

设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.3、C【解析】

化简复数，根据复数为纯虚数得到答案.【详解】知复数是纯虚数且故答案选C【点睛】本题考查了复数计算，属于简单题.4、C【解析】

根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种方案；则符合条件的有64-27=37种，故选：C．【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3×4×4=48种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．5、A【解析】

用待定系数法可求出通项，于是可求得前10项和.【详解】设的公差为，则，，所以，，前10项和为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，求和公式，比较基础.6、B【解析】

利用回归分析的相关知识逐一判断即可【详解】回归直线必过样本点中，故（1）正确残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确所以正确结论的个数为3故选：B【点睛】本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.7、C【解析】

先求出，对等式两边求导，代入数据1得到答案.【详解】取对等式两边求导取故答案为C【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.8、A【解析】

利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果.【详解】当，且时，显然成立，故充分性具备；反之不然，比如：a=100，b=0.5满足，但推不出，且，故必要性不具备，所以是的充分不必要条件.故选A【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9、C【解析】

试题分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选C．考点：基本不等式在最值问题中的应用．10、D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，

∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；

在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；

在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；

在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．11、C【解析】试题解析：依题可得不等式的解集为，故，所以即，又，则当且仅当时上式取等号，故选C考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用12、B【解析】

作函数的图像，方程有4个不同的实数根，从而得到，，，的范围，代入化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围。【详解】作函数的图像如下：由图可知：，，，故；由在单调递减，所以的范围是，即的取值范围是；故答案选B【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.14、1【解析】解法一：由题意可得：.解法二：15、【解析】

先确定如果都两两互相交换纪念品，共有次交换，可知有次交换没有发生；再根据收到份纪念品的同学有人，可知甲与乙、甲与丙之间没有交换，从而计算得到结果.【详解】名同学两两互相交换纪念品，应共有：次交换现共进行了次交换，则有次交换没有发生收到份纪念品的同学有人一人与另外两人未发生交换若甲与乙、甲与丙之间没有交换，则甲、乙、丙未收到份纪念品收到份纪念品的人数为：人本题正确结果：【点睛】本题考查排列组合应用问题，关键是能够确定未发生交换的次数，并且能够根据收到份纪念品的人数确定未发生交换的情况.16、【解析】

分析函数的单调性，由题设条件得出，于此求出实数的取值范围。【详解】当时，，此时，函数单调递减，则；当时，，此时，函数单调递增。由于函数的最小值为，则，得，解得.因此，实数的取值范围是，故答案为：。【点睛】本题考查分段函数的最值问题，求解时要分析函数的单调性，还要注意分界点处函数值的大小关系，找出一些关键的点进行分析，考查分析问题，属于中等题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易进一步得到BP⊥；

（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，结合圆柱的体积为，，我们易得∠即为异面直线与所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.【详解】解：解：（1）证明：易知AP⊥BP，又由⊥平面PAB，得⊥BP，

从而BP⊥平面，故BP⊥；

（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，则BQAP，得∠或它的补角为异面直线与所成的角.

由题意，解得＝3.

又，则为的直角三角形，则，得，

由余弦定理得，

则异面直线与所成的角为.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键.18、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】

试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离19、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】

（Ⅰ）先算出，再由公式分别算，和线性回归方程。（Ⅱ）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。【详解】(1)，所以回归方程为.（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元），若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元），因为，所以甲更有道理．【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：.；（4）写出回归直线方程．20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方体的性质得出平面，再由直线与平面垂直的性质可证明出；（Ⅱ）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（Ⅰ）在正方体中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设为平面的一个法向量，则，即，令，可得，∵平面，∴为平面的一个法向量，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题．21、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）证明见解析【解析】

（1）分别令n＝1、2，通过解一元二次方程结合已知的递推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根据它们的值的特征猜想{an}的通项公式；（2）利用数学归纳法，通过解一元二次方程可以证明即可.【详解】（1）当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即∴当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.∴a2＝－（a