第六章数列理数64求和及应用

(1)法(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和(Ⅱ)n

(3)倒序相加：如等差数列前n项和的推导方法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项： 1

1 ③

2n－1 a＋ (a－a＋ n n ！－n(1)单利利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ (2)复利利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝

1 1 ！ ！

数列{1＋2n－1}的前n项和为(

解：

Sn＝n1－2＝n＋2－1.若数列{an}的通项是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( 故选数列{|2n－7|}的前n项和Tn＝( D.

1 ，则数列a前10项的和 — 1—

1

1 1

n解：a n＋1，则数列a的前10项的和S10＝21－2＋2－3＋…＋10－11＝2(1－11)＝11.故填n有一种细菌和一种 的同时将自裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的，问细菌将全部杀死至少需要 n

≥100，即1－2≥100n≥7.类型一(1)设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于( 求和：1＋1 1 1设 2，求：f2017＋f2016＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 解：(1)解法一：特殊值法，S1＝1，S2＝4，只有选项D适合．解法二：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， 设数列的通项为a，则a ＝2

1

1

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[1－2＋2－3＋…＋n－n＋1]＝21－n＋1＝n1 2因为f(x)＝ ，所以 2S＝f1＋f1＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(22 2S＝f(2017)＋f(2016)＋…＋f(1)＋f1＋…＋f1＋1①＋②得：2S＝1×4033＝4033

20164033

2＝2(4)(Ⅰ)a＝1时，S

(Ⅱ)a≠1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n 1 2

naaa

an＋

— 1—

1

n n由①－②得

111

等比数列求和时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消(1)9，99，999nSn；1 1 1 求数 的前n项和

an＝2n＋1，求{an}n解：(1)Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n 1 因 — 1—

1 1 1 所

1

1

＋ 11 1＋ Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°①与②22T

3 4

n＝22＋23＋24＋…＋2n＋1 2

4

2n＝23＋24＋25＋…＋2n＋2①－② 2

1 1

1 2n＝22＋23＋24＋25＋…＋2n＋1－— 1—2 2

1

－2n＋211

2n＋2

1 n＝2－2n－2n＋1＝2－2n＋1类型二用分期付款的方式 一批总价为2300万元的住房 当天首付300万元，以后每月的这一天一个月，问分期付款的第10个月应 万元解时付款300万元则欠款2000万元依题意分20次付清则每次交付欠款的数额依次购成数列a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)，a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)，…an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝121－n(万元(1≤n≤20，n∈N*)．因此{an}120，公差为－1的等差数列．3.2n天的维修保养费为n＋49元(n∈N*)，使用它直至报废最合算( A．600 B．800000 D．1200 n 32

2

32 n

32

＝ ＋20＋4.95，当且仅当类型三(1)求数列{an}的通项(2){bn}nSn.S2n＋1＝bnbn＋1，求数列an11依题意，a1(1＋q)＝6，a2q＝a11

令

an＝，则an

2nT＝c＋c

5 7

.

n＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋ 3 5 7

2n＋2n＋1 1

1

＋

n－1

－2n＋1＝2－2n＋111Tn＝5－2n(2017·卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项；an(2)求数列2n＋1n 解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)a＝2，所以a＝2 又由题设可得a＝2，所以{a}的通 为a＝ an(2)记2n＋1n 由 由 （2n＋1）（2n－1） 则Sn＝1－1＋1－1＋…＋ － ＝2n

数列的通项及前n项和都可以看作项数n的函数是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项进行化简变形，改变原数列的形等差或等比数列的求和直接用计算，要注意求和的项数，防止疏漏最好能一些常见数列的求和，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等应用)、特殊到一般思想(如：求通项)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q＝1或q≠1)等．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝4－a3，则 ＝14.故选2．(2016·新余三校联考)数列{an}的通项是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( ））

＋axf′(x)＝2x＋1，则数列

(n∈N)的前n项和是 A.

n

nn nn

D.解：由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1.所以f(x)＝x2＋x，则 ＝1－1.所以

1

1 n

.

D1 1

＝a15＝5an＝5(n∈N*)时，a6·a1525.

设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是

C. D.3

解：数列{an}8a2＋a5＝08a2＋a2q＝0a2≠0q＝－2，a＝q＝4；S

＝3an＝q＝－2Sn＝1－qnn有关．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门同意方可投入生产．已知该生产线连续生产年的累计产量为 环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 A．5 B．6 C．7 D．8解：nan＝f(n)－f(n－1)＝3n2.n＝1an≥150⇒n≥52，即数列81507年．C.

，则数列aa＋

的前n项和

nn

＝2 1

n

1 1 1 2n 2n )＝4

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2017的值 a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2016＋a2017)＝1009.1(1)分别求数列{an}，{bn}的通项(2)求数列{an·bn}n解：(1)d为等差数列{an}

3 5

n＝21＋22＋23＋…＋2n 1

5

2n＝22＋23＋24＋…＋2n＋1①－② 1 1

1

2Tn＝2＋222＋23＋24＋…＋2n－2n＋111—22

1－2n11

2n

2n(1)求数列{an}的通项；(2)Sn是数列{|an|}n d＝4－1＝3n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|n≥6时，Sn＝(1)求q的值和{an}的通项a(2)bn＝log2a2n，n∈N*，求数列{bn}naa2(q－1)＝a3(q－1)q≠1a3＝a2＝2a3＝a1qq＝2， 当n＝2k－1(k∈N*)时，a ＝2k－1＝ n 为

2，nn

n

2n＝2

＝n－1，设数列{bn}nSnS 2 3 n.2 2

1 2 3 n两式相减得1S 1 1 1

1 n—111 n

1

2nSn＝42n－1数列{an}的通项为

，若{an}的前n项和为24，则 n＋ 解：an＝n＋1－nSn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1Sn＝24n＝624.故C. 解：由题意知，a1＋a2019＝a2＋a2018＝2a1010＝10，所以a2＋a1010＋a2018＝3a1010＝15.故选B. 解：因为a ＝2a，故{a}是首项、公比均为2的等比数列．故a＝2·2n－1＝ 已知数列{an}中的前n项和Sn＝n(n－9)，第k项满足7＜ak＜10，则k等于 解：k≥2时，ak＝Sk－Sk－1＝k2－9k－(k－1)2＋9(k－1)＝2k－10，k＝1时也适合．7<ak<107<2k－10<10，2<k<10k＝9.设直线nx＋(n＋1)y＝2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2018的值为 A.2

2

2

2 22 B.2 2解：直线与x轴交 ，0，与y轴交于 所以Sn＝1·2·2 ＝1－1 n（n＋1）

1所以原式 1

－2＋2－3＋…＋2018－22018—— D．10＋22)＋(22－32)＋…＋(1002－1012)＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)100－100. 解：q＝1a1（1－q3）q≠1

44

3解：qq＝a1＋a＝2a1＋4a1＝10a1＝83

1－3－2－1＋0＋

1 a1a2…an＝

＝

2，当n＝3或n＝4时，(n2－7n)取得最小值－6，故

9．在等差数列{an}中，a1＝3nSn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1qb＝ b＝2an

1 1

证明：3≤S＋S＋…＋S 因为

2 2q＝3q＝－4(舍

— 1—所以S

＝3 n＋1 1

2

1

1n故S1＋S2＋…＋Sn＜ 1 ＜n＋1 1 — 1 —

1 1 1 即3≤S＋S＋…＋S 10．(2016·山东)已知数列{an}nSn＝3n2＋8n，{bn}an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项；(2)cn＝（bn＋2）n.求数列{cn}n解：(1)因为数列{an}na1＝11n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋8n－3(n－1)2－8(n－1)＝6n＋5，an＝6n＋5n＝1an＝6n＋5.n＝1时，2b1＝11－dn＝2时，2b2＝17－d 为bn＝2

（bn＋2）n

2，得

＝3×2

已知数列{a}a

3an ，n∈n n

求证：数列a－1 m，s，t；如果不存在，请说明理由．解：(1)

3an 1 1 n ，所 n所

3a

所以数列a－1是首项为3，公比为3 2 所以an＝ 3m，s，tnnn由an＝ 与n3 得3s＋2－1＝3m＋2－13t＋2－1，3m＋t＋2×3m＋2×3t＝32s＋4×3s.3m＋3t≥23m＋t＝2×3sm＝t时，等号成立，这与m，s，t互不相等，m，s，t 2．已知数列{an}为2，0，2，0，…，则下列各项不可以作为数列{an}通项的是( 2 D．an＝2sin2 3．在数列{an}中，“对任意的n∈N*，a2＋＝aa＋”是“数列{a}为等比数列”的 n nn n1nn2n解：an＝0a2＋＝a·a＋，但{a}不是等比数列．n1nn2n4．(2015·卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8＝4S4，则 22

22 5．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( 4等差数列的求和可求得Sn＝n(n＋1)．故选A.4 解：n≥2已知公差不为零的等差数列{an}与公比为q的等比数列{bn}有相同的首项，同时满足a1，a4，b3成等比数列，b1，a3，b3成等差数列，则q2＝(

1.故选 1

1 1

解：第一次循环后

＝2×－3＋3－5＝5，i＝31 1 1

3

5×

－3＋3－5＋5－7＝7，此 7y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)xxnan＝lgxna1＋a2＋…＋a2 A．lg2 B．lg2C．－lg2 D．－lg21 n n

2 1令y＝0，得

.

a1＋a2＋…＋a2017＝lg2×3×…×2018＝lg2＝－lg2018.

已知在数列{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是( 解：an＋1>ann恒成立，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λnnλ2n－1对任意正整数n恒成立，故λ>－3.另解，由对称轴 2＜2求解．an＝3，把数列{an} 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则

12)＝a93＝3. Sn＞0.D.4520b 满足b2

解

⇒b

②①①15．(2015·调研)《算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加 解：x

n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，an＋1＋1＝2(an＋1)an＋12a＝32

70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)数列{an}nSnSn＝4an－3(n∈N*)an.解：Sn＝4an－3Sn－1＝4an－1－3， an

18．(12分)已知等比数列{an}中，a1＝1

为{a}n

n＝2(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项 1解：(1)证明：因为 —1— 1 1—1—

1＝2Sn＝211(2)b＝loga＋loga＋…＋loga

所以{b}的通项为

3 3 3

19．(12分)(2016·)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3