甘肃省河西五市2022-2023学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小（）A． B． C． D．2．若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段3．下列命题正确的是（）A．进制转换：B．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C．“若，则方程”的逆命题为真命题D．若命题：，，则：，4．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（）A． B． C． D．5．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A．月份人均用电量人数最多的一组有人B．月份人均用电量不低于度的有人C．月份人均用电量为度D．在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为6．设p、q是两个命题，若是真命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题7．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．函数的大致图象为（）A． B．C． D．9．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．6410．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．11．已知集合，，则（）A． B． C． D．12．已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，则P（ξ＜0）＝_____．14．如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之比是__________．15．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．16．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.19．（12分）用数学归纳法证明.20．（12分）已知函数.[来源:]（1）当时，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.21．（12分）在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1-22（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程（2）若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求PM⋅22．（10分）（1）求过点且与两坐标轴截距相等的直线的方程；（2）已知直线和圆相交，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.2、D【解析】

根据复数的几何意义知，复数对应的动点P到对应的定点的距离之和为定值2，且，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数，对应的点分别为,则由知：,又，所以动点P的轨迹为线段.故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.3、A【解析】

根据进制的转化可判断A，由中位数的概念可判断B，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A.,故正确.B.样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C.“若，则方程”的逆命题为:“方程,则”，为假命题，故不正确.D.若命题：，.则：，，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.4、B【解析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.5、C【解析】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确.故选C.6、C【解析】

先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.【详解】若是真命题，则是假命题，则p,q均为假命题，故选D.【点睛】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.7、D【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限，选D.8、D【解析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．【详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，排除，故选：．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.9、C【解析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题10、C【解析】试题分析：考点：点、线、面间的距离计算11、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】因为所以.故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、B【解析】

根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得，最后利用导数判断单调性，可得结果.【详解】令，依题意得方程有两个不等正根，，则，，令，在上单调递减，，故的取值范围是，故选：B【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.1．【解析】

由正态分布曲线的对称性，可得，进而得到所以，即可求解.【详解】由题意，随机变量，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以.【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】∵三个球的表面积之比是，∴三个球的半径之比是，∴三个球的体积之比是．15、【解析】

先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得．又，，由均值不等式可求得最值．【详解】由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立．【点睛】本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心．16、【解析】

由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【详解】解：由题意可知，，，，．故答案为.【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，则为直线与平面所成的角，为，∴，而平面，∴又，为的中点，∴，平面，则平面，而平面∴，又，分别为，的中点，则，正方形中，，∴，又平面，，∴直线平面；（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，得；设平面的法向量为，则，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.18、(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．19、见解析.【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证时不等式成立；（2）假设当时成立，利用放缩法证明时，不等式也成立．详解：证明：①当时，左边，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，∵，∴，∴当时，不等式成立.由①②知对于任意正整数，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．20、【解析】试题分析：（1）当时，，根据绝对值的几何意义按，，分类讨论得到：，然后分区间解不等式或或，得到的范围分别为或或，所以；（2）根据绝对值不等式的性质：，，则由，转化为，所以或，则或。试题解析：（1）当时，，当时，，所以。故；当时，恒成立；当时，，所以。故。综上可知。（2）∵，由题意有，∴，即。考点：1.不等式的解法；2.不等式的性质。21、（2）x+y-1=0，ρ=4sinθ；（2）2.【解析】分析：(2)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－2＝2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝2．化为极坐标即ρ＝4sinθ．(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－32t＋2＝2，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．详解：(2)直线l的参数方程为x=1-22ty=消去参数t，得x＋y－2＝2．曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝2．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(2)在直线x＋y－2＝2中，令y＝2，得点P(2，2)．把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－32t＋2＝2，∴t2＋t2＝32，t2t2＝2．由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标