北京市东城171中2023年高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+12．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c3．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人5．如图，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．126．已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四7．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（）A． B． C． D．8．下列函数中，在定义域内单调的是（）A． B．C． D．9．（）A．9 B．12 C．15 D．310．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．某快递公司的四个快递点呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种12．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，则______.14．已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,若是抛物线的切线，则直线的方程是___．15．若，则=______.16．三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，，，其中为常数且，令函数．（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域．18．（12分）在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的又被侵蚀，变为沙漠.（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为，经过1年绿洲面积为，经过n年绿洲面积为，试用表示；（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过（年数取整数）.19．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证:.20．（12分）已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.21．（12分）山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科等级的原始分分布区间为，则该同学化学学科的原始成绩属等级，而等级的转换分区间为那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科等级的原始分分布区间为则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布。且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为（1）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；（精确到整数）.（2）若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记这4人中物理原始成绩在区间的人数，求的数学期望和方差.（精确到小数点后三位数）.附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据，22．（10分）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是34，乙猜对歌名的概率是23，丙猜对歌名的概率是(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.【详解】依题意，得：，因为，所以，＝1，得：，以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A（，），则B（，）或B（，）设C（x，y），当B（，）时，则＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即点C在1为半径的圆上，A（，）到圆心的距离为：＝｜｜的最大值为＋1当B（，）时，结论一样．故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.2、D【解析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大单调增，所以又因为所以b<a所以b<a<c.故选D．3、D【解析】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m−n=2a，点P满足,可得m2+n2=4c2，即有(m−n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e=故选：D.4、B【解析】试题分析：设男学生有x人，则女学生有8-x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故选B．考点：排列、组合的实际应用．5、C【解析】

以AB,AC作为基底表示出【详解】∵P，N分别是∴AP=又AP=mAB+【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．6、D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、B【解析】

算出总的个数和满足所求事件的个数即可【详解】从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，总共有种情况其中满足甲乙两人仅有一人入选的有种情况所以甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为故选：B【点睛】本题考查了古典概型的求法，组合问题的简单应用，属于基础题8、A【解析】

指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【详解】A.，指数函数是单调递减函数,正确\B.反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误C.，在定义域内先减后增，错误D.，双勾函数，时先减后增，错误故答案选A【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.9、A【解析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)排列数公式：==(，∈，且)．组合数公式：===(∈，，且)10、B【解析】

由导数与极大值之间的关系求解．【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．11、D【解析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选：D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．12、B【解析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】

由正态分布曲线的对称性可得，正态分布曲线关于直线对称，即可得，再求解即可.【详解】解：由，得，又，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属基础题.14、或.【解析】分析：由题设，求导得到直线然后分和两种情况讨论即可得到直线的方程.详解：由题设，求导即，则直线当时，验证符合题意，此时，故，当时，，，或（重合，舍去）此时，故点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.15、365【解析】分析：令代入可知的值，令代入可求得的值，然后将两式相加可求得的值．详解：中，令代入可知令代入可得，除以相加除以2可得.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键．16、【解析】分析：为的平分线，从而，根据余弦定理可得到，两者结合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度．详解：因为为的平分线，故．又，整理得，所以，故．又，故．填．点睛：（1）在中，若为的平分线（为上一点），则有；（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，.（2）.【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．18、（1）（2）至少需要经过5年的努力.【解析】

（1）根据变化规律确定与关系；（2）先根据递推关系构造一个等比数列，再求得，最后解不等式得结果.【详解】（1）第n+1年绿洲面积由上一年即第n年绿洲面积、增加上一年底沙漠面积的以及减少上一年底绿洲面积的这三部分构成，即（2）所以数列构成以为首项，为公比的等比数列，因此由得因此至少需要经过年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过【点睛】本题考查数列递推关系式、等比数列定义以及解指数不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.19、（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解析】

(1)先对求导，通过导函数与0的大小比较即可得到单调区间.(2),从而利用（1）中相关结论求出的极值点证明不等式.【详解】（1），．，函数在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：．由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，且时，，且时，，在时取得最小值，即，故.【点睛】本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等.20、【解析】

化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心的轨迹方程．【详解】：，：，设动圆圆心，半径为，则，∴是以、为焦点，长轴长为12的椭圆，∴，，∴所求轨迹方程为.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力．21、(1)小明82分，小红70分；(2)1.504，0.938【解析】

（1）