电工学正弦交流电

电工学正弦交流电第1页，共78页，2023年，2月20日，星期二本章要求:1.理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值；2.掌握正弦交流电的各种表示方法以及相互间的关系；4.理解电路基本定律的相量形式和阻抗，并掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法；4.掌握有功功率、无功功率和功率因数的计算，了解瞬时功率、视在功率的概念和提高功率因数的经济意义；5.了解交流电路的频率特性。第3章正弦交流电路{end}第2页，共78页，2023年，2月20日，星期二直流电和正弦交流电

前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小和方向是不随时间变化的。4.1

正弦电压与电流直流电压和电流第3页，共78页，2023年，2月20日，星期二正弦电压和电流实际方向和参考方向一致实际方向和参考方向相反＋－

正半周实际方向和参考方向一致负半周实际方向和参考方向相反

正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。第4页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.1.1

频率和周期

正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。每秒内变化的次数称为频率（

），单位是赫兹（Hz）。我国和大多数国家采用50Hz的电力标准，有些国家（美国、日本等）采用60Hz。小常识

正弦量变化的快慢还可用角频率来表示：

频率是周期的倒数:=1/T

已知=50Hz,求T和ω。[解]T=1/

=1/50=0.02s,ω=2π

=2×3.14×50＝314rad/s例题4.1.1第5页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.1.2

幅值和有效值瞬时值和幅值

正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如i

、u、e

等。

瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em等。有效值

在工程应用中,一般所讲的正弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。

有效值是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流电流I流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周期内交流电和直流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等于这个直流电的电流I。第6页，共78页，2023年，2月20日，星期二则交流直流根据热效应相等有：正弦电压和电动势的有效值：

注意：有效值都用大写字母表示！由可得正弦电流的有效值：第7页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.1.3

初相位相位表示正弦量的变化进程，也称相位角。初相位

t=0时的相位。相位：初相位：

0相位：初相位：

初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。说明第8页，共78页，2023年，2月20日，星期二相位差

两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。则和的相位差为：当

时，比超前角，比

滞后角。

正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不一定相同，设电路中电压和电流为：第9页，共78页，2023年，2月20日，星期二同相反相的概念同相:相位相同，相位差为零。反相:相位相反，相位差为180°。总结

描述正弦量的三个特征量：幅值、频率、初相位O下面图中是三个正弦电流波形。与

同相，

与

反相。{end}第10页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.2

正弦量的相量表示法正弦量的表示方法：三角函数式：★★波形图：★

相量法：用复数的方法表示正弦量第11页，共78页，2023年，2月20日，星期二一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。

相量法ω有向线段的长度表示正弦量的幅值；有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。第12页，共78页，2023年，2月20日，星期二有向线段可以用复数表示。

复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用指数式或极坐标式。直角坐标式：指数式：极坐标式：有向线段OA可用复数形式表示：第13页，共78页，2023年，2月20日，星期二表示正弦量的复数称为相量复数的模表示正弦量的幅值或有效值复数的辐角表示正弦量的初相位有效值相量:幅值相量：

一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。正弦电压的相量形式为：注意:相量用上面打点的大写字母表示。由复数知识可知：j为90°旋转因子。一个相量乘上+j则旋转+90°；乘上-j则旋转-90°。第14页，共78页，2023年，2月20日，星期二

把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图，它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。相量图1.只有正弦周期量才能用相量表示。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。注意电压相量比电流相量超前角第15页，共78页，2023年，2月20日，星期二[解](1)用复数形式求解在如图所示的电路中，设：例题4.2.2求总电流

。··根据基尔霍夫电流定律：第16页，共78页，2023年，2月20日，星期二（2）用相量图求解+j+1mI1&mI2&mI&45°18°20′30°画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。{end}第17页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.4.1

电阻元件对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：把上面两式乘以i并积分，得：金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：其中：ρ、、S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。4.3

电阻元件、电感元件和电容元件Ru+–i表明电阻上消耗的能量第18页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.4.2电感元件

对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。

线圈的感应电动势为：电感的定义如果磁通是由通过线圈的电流产生的，则：L为线圈的电感，也称为自感。Ψie+-第19页，共78页，2023年，2月20日，星期二此时的感应电动势也称为自感电动势：线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率μ有关：电感的单位为亨[利](H).第20页，共78页，2023年，2月20日，星期二电感元件的电压电流关系

电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。根据基尔霍夫电压定律：从而：把上式两边积分可得：式中为t=0时电流的初始值。如果

＝0则：Li+–u+–eL

在直流电路中,电感元件可视为短路.第21页，共78页，2023年，2月20日，星期二电感元件的磁场能量

因此电感元件中存储的磁场能量为：把式两边乘以并积分得：第22页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.4.3

电容元件

电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值：电容的定义

电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。平行板电容器的电容为：式中ε为介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间距离。单位为法[拉](F).第23页，共78页，2023年，2月20日，星期二电容元件的电压与电流的关系

对于图中的电路有：

对上式两边积分，可得：式中u0为t=0时电压的初始值。如果u0＝0则：iCu+–

在直流电路中,电容元件可视为开路.第24页，共78页，2023年，2月20日，星期二电容元件的电场能量

电容元件中存储的电场能量为：把式

两边乘以u并积分得：第25页，共78页，2023年，2月20日，星期二

特征电阻元件电感元件电容元件参数定义电压电流关系能量元件总结第26页，共78页，2023年，2月20日，星期二

如果一个电感元件两端的电压为零，其储能是否也一定为零？如果一个电容元件中的电流为零，其储能是否一定为零？思考题{end}第27页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.4

电阻元件的交流电路电压电流关系设图中电流为：根据欧姆定律：从而：

电压和电流频率相同，相位相同。相量形式的欧姆定律第28页，共78页，2023年，2月20日，星期二瞬时功率电压和电流瞬时值的乘积就是瞬时功率：p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能。平均功率平均功率是一个周期内瞬时功率的平均值：第29页，共78页，2023年，2月20日，星期二电压、电流、功率的波形R{end}第30页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.5

电感元件的交流电路电压电流关系

设一非铁心电感线圈(线性电感元件，L为常数),假定电阻为零。根据基尔霍夫电压定律：设电流为参考正弦量：电压和电流频率相同，电压比电流相位超前90°。Li+–u+–eL第31页，共78页，2023年，2月20日，星期二从而：这样，电压电流的关系可表示为相量形式：

ωL

单位为欧[姆]。电压U一定时ωL越大电流I越小，可见它对电流起阻碍作用,

定义为感抗：

感抗XL与电感L、频率

成正比。对于直流电＝0，XL＝0，因此电感对直流电相当于短路。注意！第32页，共78页，2023年，2月20日，星期二瞬时功率P=0表明电感元件不消耗能量。只有电源与电感元件间的能量互换。用无功功率来衡量这种能量互换的规模。平均功率（有功功率）

平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称有功功率。第33页，共78页，2023年，2月20日，星期二无功功率电感元件的无功功率用来衡量电感与电源间能量互换的规模，规定电感元件的无功功率为瞬时功率的幅值（它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单位是乏（var）。

无功功率是否与频率有关？思考题第34页，共78页，2023年，2月20日，星期二电压、电流、功率的波形{end}Li+–u+–eL第35页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.6

电容元件的交流电路电压电流关系

对于电容电路：

如果电容两端加正弦电压：则：电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90°。第36页，共78页，2023年，2月20日，星期二从而：这样，电压电流的关系可表示为相量形式：

(1/ωC)单位为欧[姆]。电压U一定时(1/ωC)越大电流I越小,可见它对电流起阻碍作用,

定义为容抗：

容抗XC与电容C、频率f成反比。对直流电f＝0，XC→∞，因此电容对直流相当于开路，电容具有隔直通交的作用。第37页，共78页，2023年，2月20日，星期二瞬时功率平均功率（有功功率）

电容的平均功率（有功功率）：P=0表明电容元件不消耗能量。只有电源与电容元件间的能量互换。第38页，共78页，2023年，2月20日，星期二无功功率

为了同电感的无功功率相比较，设电流为参考正弦量，则：

这样，得出的瞬时功率为：

由此，电容元件的无功功率为：

电容性无功功率为负值，电感性无功功率取正值。第39页，共78页，2023年，2月20日，星期二电压、电流、功率的波形{end}第40页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.7电阻、电感与电容元件串联的交流电路电压电流关系

根据基尔霍夫电压定律：设串联电路电流为参考正弦量，则：

同频率的正弦量相加，得出的仍为同频率的正弦量，所以可得出下面形式的电源电压：LR+-C+-+-+-第41页，共78页，2023年，2月20日，星期二相量关系

基尔霍夫电压定律的相量形式为：

由此：其中实部为“阻”，虚部为“抗”，称为阻抗。阻抗Z不是一个相量，而是一个复数计算量。jXLR+--jXC+-+-+-第42页，共78页，2023年，2月20日，星期二阻抗模：单位为欧[姆]。反映了电压与电流之间的大小关系。阻抗角（电压与电流的相位差）：

其大小由电路参数决定，反映了电压与电流之间的相位关系。第43页，共78页，2023年，2月20日，星期二相量形式的欧姆定律：

由此可得：Z+-无源线性+-或X=0电阻性X>0电感性X<0电容性第44页，共78页，2023年，2月20日，星期二相量图电压三角形

相量图中由、、构成的三角形称为电压三角形。阻抗三角形XL-XC第45页，共78页，2023年，2月20日，星期二瞬时功率平均功率（有功功率）第46页，共78页，2023年，2月20日，星期二根据电压三角形：于是有功功率为：无功功率

功率因数第47页，共78页，2023年，2月20日，星期二视在功率

单位为：伏·安（V·A）功率﹑电压﹑阻抗三角形

有功功率、无功功率和视在功率的关系：第48页，共78页，2023年，2月20日，星期二例某RLC串联电路，其电阻R=10KΩ，电感L=5mH，电容C=0.001uF,正弦电压源。求(1)电流i和各元件上电压，并画出相量图；(2)求P、Q、S。LR+-C解：画出相量模型j5kΩ10kΩ+-+-+-+-（1）第49页，共78页，2023年，2月20日，星期二j5kΩ10kΩ+-+-+-+-相量图：+1（2）{end}第50页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.8

阻抗的串联与并联4.8.1阻抗的串联

根据基尔霍夫电压定律：

用一个阻抗Z等效两个串联的阻抗，则：

比较上面两式得等效阻抗为：，

多个阻抗串联时，等效阻抗为：式中：分压公式:第51页，共78页，2023年，2月20日，星期二注意！

对于两个阻抗串联电路,一般情况下：即：所以：两个阻抗串联时，什么情况下：成立？思考题第52页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.8.2阻抗的并联

根据基尔霍夫电流定律：用一个等效阻抗Z两个并联的阻抗，则：

比较上面两式得等效阻抗为：或

多个阻抗并联时：分流公式第53页，共78页，2023年，2月20日，星期二

对于两个阻抗并联电路,一般情况下：注意！即：所以：两个阻抗并联时，什么情况下：成立？思考题第54页，共78页，2023年，2月20日，星期二例1:已知:求:各支路电流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：画出电路的相量模型正弦交流电路分析计算举例第55页，共78页，2023年，2月20日，星期二瞬时值表达式Z=Z1+Z2=92.20-j289.3+10+j157=102.20-j132.3=167.252.31oΩ第56页，共78页，2023年，2月20日，星期二解：

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V，R1=32Ω,f=50Hz求：线圈的电阻R2和电感L2

。R1R2L2+_+_+_例题2第57页，共78页，2023年，2月20日，星期二正弦交流电路如图所示。已知，，

，，且。试求+-+-+-解：利用相量图求解。例题3第58页，共78页，2023年，2月20日，星期二已知：已知电流表读数为1.5A(有效值)。求：(1)US=?(2)电源的P和Q.解：A+–++––+–(1)Us=?例题4第59页，共78页，2023年，2月20日，星期二A+–++––+–(2)求P、Q=?另解{end}第60页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.10.2

串联谐振

串联谐振频率：串联谐振的条件：则：如果：电压与电流同相，发生串联谐振。谐振的概念：含有电感和电容的交流电路，电路两端电压和电路的电流同相，这时电路中就发生了谐振现象。LR+-C+-+-+-4.10

交流电路的频率特性第61页，共78页，2023年，2月20日，星期二串联谐振特征：(1)电路的阻抗模最小，电流最大。因为所以从而在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最大值：(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性。

此时，电路外部（电源）供给电路的能量全部被电阻消耗，电路不与外部发生能量互换。能量的互换只发生在电感与电容之间。第62页，共78页，2023年，2月20日，星期二(3)

和有效值相等，相位相反，互相抵消，对整个电路不起作用，因此电源电压。(4)当时，。

因为和可能超过电源电压的许多倍因此串联谐振也称为电压谐振。谐振时LC相当于短路第63页，共78页，2023年，2月20日，星期二

在电力工程中应避免串联谐振，以免电容或电感两端电压过高造成电气设备损坏。在无线电技术中常利用串联谐振，以获得比输入电压大许多倍的电压。应用常识如:收音机的调谐电路R等效电路第64页，共78页，2023年，2月20日，星期二品质因数--Q

串联谐振时电感或电容上的电压和总电压的比值。串联谐振时:所以：第65页，共78页，2023年，2月20日，星期二串联谐振特性曲线(1)

f＝f0时，发生串联谐振,电路对外呈电阻性。(2)

f<f0时，电路对外呈电容性。(3)f>f0

时，电路对外呈电感性。感性容性:下限截止频率:上限截止频率:通频带Q值越大谐振曲线越尖锐，电路的频率选择性越强。第66页，共78页，2023年，2月20日，星期二4.10.3

并联谐振

并联谐振条件：电路的等效阻抗为：

线圈的电阻很小，在谐振时ωL>>R，上式可写成：第67页，共78页，2023年，2月20日，星期二并联谐振频率：并联谐振特征：(1)电路的阻抗模最大，电流最小。在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最小值：(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性。第68页，共78页，2023年，2月20日，星期二(3)两并联支路电流近于相等，且比总电流大许多倍。当

并联谐振时两并联支路的电流近于相等且比总电流大许多倍。因此并联谐振又称为电流谐振。第69页，共78页，2023年，2月20日，星期二品质因数--Q

并联谐振时支路的电流和总电流的比值。并联谐振特性曲线Q值越大谐振曲线越尖锐，电路的频率选择性越强。第70页，共78页，2023年，2月20日，星期二例１：讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路的谐振L1C2C3对电路进行定性分析，有电路产生并联谐振当w=

当w<w2时，因为并联支路呈感性，所以可以发生串联谐振解：串并联谐振举例第71页，共78页，2023年，2月20日，星期二分别令分子、分母为零，可得：串联谐振并联谐振定量分析L1C2C3第72页，共78页，2023年，2月20日，星期二LC串并联电路的应用：可构成各种无源滤波电路(pas