东北三省四市2022-2023学年数学高二下期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有A．14400种 B．518400种 C．720种 D．20种2．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．3．在中，，，，则等于（）A． B． C． D．4．已知随机变量X服从正态分布且P（X4）=0.88，则P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.125．已知命题，.则命题为（）A．， B．，C．， D．，6．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．8．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．9．设随机变量服从分布，且，，则（）A．， B．，C．， D．，10．是单调函数,对任意都有，则的值为（）A． B． C． D．11．设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i12．已知离散型随机变量的概率分布列如下：01230.20.30.4则实数等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则实数_______.14．要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有_______种不同的着色方法.（用数字作答）①②④③15．函数的单调减区间是________.16．曲线在点处的切线方程为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18．（12分）为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围（单位：kW⋅h）(0,200](200,400](400,+∞]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户.（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望.19．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.20．（12分）已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.21．（12分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法，又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为种；故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以，如三个元素相同即除以.2、B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.3、D【解析】

根据正弦定理，将题中的数据代入，解之即可得到的大小.【详解】由正弦定理,得解之可得.故选:D.【点睛】本题主要考查解三角形中的正弦定理，已知两角和一边求另一边，通常用正弦定理求解.4、B【解析】

正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可．【详解】因为随机变量服从正态分布，，得对称轴是，，，，故选B．【点睛】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题．5、D【解析】

利用全称命题的否定解答.【详解】命题，.命题为，.故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6、A【解析】

化简求得复数为，然后根据复数的几何意义，即可得到本题答案.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.7、C【解析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．8、D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.9、A【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.详解：随机变量服从分布，且，，①②即可求得，.故选：A点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的题目，技巧性比较强.10、A【解析】

令，根据对任意都有，对其求导，结合是单调函数，即可求得的解析式，从而可得答案.【详解】令，则，.∴∵是单调函数∴∴，即.∴故选A.【点睛】本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．11、D【解析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【详解】，所以，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．12、C【解析】

根据随机变量概率的性质可得，从而解出。【详解】解：据题意得，所以，故选C.【点睛】本题考查了概率性质的运用，解题的关键是正确运用概率的性质。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2或【解析】

先求得，解即可得解.【详解】=解得故答案为2或【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.14、180【解析】分析：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，相乘得到结果．详解：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，则共有种不同的着色方法.．即答案为180.点睛：本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．15、【解析】

根据对数型复合函数单调区间的求法，求得的单调减区间.【详解】由得，解得，所以的定义域为，由于的开口向下，对称轴为；在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，的单调减区间为.故答案为：【点睛】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.16、【解析】

求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】解：的导数为，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，即切点为，则切线方程为，即故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，；(2)，.【解析】

(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18、（1）P(A)=139165【解析】分析：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A，利用对立事件可求P(A).（2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P=6则X～B(3,35)，即可求出详解：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A，则P(A)=1-C（2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P=6所以X～B(3,35)X的分布列为X0123P(X=k)8365427E(X)=3×3点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望的求法，考查古典概型，属基础题.19、(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边化角可得，整理计算可得，则，.（2）由题意可得，，，则.在中应用余弦定理有，据此计算可得.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，.又因为，所以，又因为，且，所以.（2）据（1）求解知.若，则.所以，（舍）又在中，，所以.所以.20、（1），理由见解析（2）详见解析【解析】

（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.【详解】（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得，此时，令，即，解得，令，即，解得，即有在上单调递增，在单调递减所以即（2）不妨设，由条件：，要证：只需要证：，也即为，由只需要证：，设即证：，设，则在上是增函数，故，即得证，所以.【点睛】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.21、(1)见解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）见解析【解析】

（1）写出列联表后可计算，根据预测值表可得没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）文科生与理科生的比为，据此可计算出文科生和理科生的人数.（ii）利用超几何分布可计算的分布列及其数学期望.【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）抽取的文科生人数是（人），理科生人数是（人）.（ii）的可能取值为0,1,2,3，则，，，.其分布列为0123所以.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样