材料力学-第四章-弯曲内力

材料力学_第四章_弯曲内力第1页，共89页，2023年，2月20日，星期一§4-1

基本概念及工程实例(Basicconceptsandexampleproblems)第四章弯曲内力(Internalforcesinbeams)§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)§4-2

梁的剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)第2页，共89页，2023年，2月20日，星期一§4-6

平面刚架和曲杆的内力图(Internaldiagramsforframemembers&curvedbars)§4-5

叠加原理作弯矩图(Drawingbending-momentdiagrambysuperpositionmethod)

§4-4

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)第3页，共89页，2023年，2月20日，星期一一、工程实例(Exampleproblem)§4-1基本概念及工程(Basicconceptsandexampleproblems)第4页，共89页，2023年，2月20日，星期一第5页，共89页，2023年，2月20日，星期一

二、基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam)

以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.（1）受力特征（2）变形特征

变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形(Deflection)3.平面弯曲(Planebending)

作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.第6页，共89页，2023年，2月20日，星期一AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FRAF1F2FRB第7页，共89页，2023年，2月20日，星期一（3）支座的类型4.梁的力学模型的简化(Representingarealstructurebyanidealizedmodel)（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷类型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布载荷(distributedload)

可动铰支座(rollersupport)

FRAAAAA第8页，共89页，2023年，2月20日，星期一固定铰支座(pinsupport)固定端(clampedsupportorfixedend)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM第9页，共89页，2023年，2月20日，星期一5.静定梁的基本形式

(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)

悬臂梁(cantileverbeam)

外伸梁(overhangingbeam)

简支梁(simplysupportedbeam)第10页，共89页，2023年，2月20日，星期一解：q—均布力例题1贮液罐如图示,罐长L=5m,内径D=1m,壁厚d=10mm,钢的密度为7.8g/cm³,液体的密度为1g/cm³,液面高0.8m,外伸端长1m,试求贮液罐的计算简图.第11页，共89页，2023年，2月20日，星期一一、内力计算(Calculatinginternalforce)[举例]已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力§4-2

梁的剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)BAalFFRAyFRAxFRBABF第12页，共89页，2023年，2月20日，星期一求内力——截面法

弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩(Bendingmoment)M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM2.剪力(Shearforce)

FS

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.第13页，共89页，2023年，2月20日，星期一FSdxmmFS+1.剪力符号(Signconventionforshearforce)

使dx

微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定(Signconventionforinternalforce)

使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmFSFS-第14页，共89页，2023年，2月20日，星期一

当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；2.弯矩符号(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM

当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.mm（受压）MM-第15页，共89页，2023年，2月20日，星期一解：（1）求梁的支反力FRA

和FRB例题2图示梁的计算简图.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E

、F

点处横截面处的剪力和弯矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA第16页，共89页，2023年，2月20日，星期一

记E

截面处的剪力为FSE

和弯矩

ME，且假设FSE

和弯矩ME

的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得第17页，共89页，2023年，2月20日，星期一取右段为研究对象AEcFSEFRAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MEFRB解得++第18页，共89页，2023年，2月20日，星期一

计算F点横截面处的剪力FS和弯矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+第19页，共89页，2023年，2月20日，星期一左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算规律(Simplemethodforcalculatingshear-forceandbending-moment)1.剪力

(Shearforce)第20页，共89页，2023年，2月20日，星期一

不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.2.弯矩(Bendingmoment)左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩

逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩

顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩第21页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题3轴的计例算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm

和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.F2=FACDBbacF1=FFRAFRB

解：（1）求支座反力第22页，共89页，2023年，2月20日，星期一（2）计算C横截面上的剪力FSC和弯矩

MC看左侧F2=FACDBbacF1=FFRAFRB（3）计算D横截面上的剪力FSD

和弯矩MD

看左侧第23页，共89页，2023年，2月20日，星期一解:例题4求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的内力（3）求2-2截面的内力B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB第24页，共89页，2023年，2月20日，星期一§4-3

剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

(Shear-force&bending-momentequations;

shear-force&bending-momentdiagrams)

FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程

(Shear-force&bending-momentequations)

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.弯矩方程(Bending-momentequation)第25页，共89页，2023年，2月20日，星期一弯矩图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentdiagrams)

剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧

以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS

图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)第26页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题5如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解:

列出梁的剪力方程和弯矩方程FSxFFlxM第27页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题6图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）

求支反力lqFRAFRBABx（2）列剪力方程和弯矩方程.第28页，共89页，2023年，2月20日，星期一剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0处，x=l

处,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB第29页，共89页，2023年，2月20日，星期一弯矩图为一条二次抛物线lqFRAABxFRB令得驻点弯矩的极值绘出弯矩图+l/2第30页，共89页，2023年，2月20日，星期一

由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上

FS=0

两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2第31页，共89页，2023年，2月20日，星期一解:（1）求梁的支反力例题7图示的简支梁在C点处受集中荷载

F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabFRAFRB

因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端第32页，共89页，2023年，2月20日，星期一将坐标原点取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB第33页，共89页，2023年，2月20日，星期一

由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x

轴的直线.xxlFABCabFRAFRB++

由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.第34页，共89页，2023年，2月20日，星期一

在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.xxlFABCabFRAFRB++第35页，共89页，2023年，2月20日，星期一解：求梁的支反力例题8图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.将坐标原点取在梁的左端.

因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程lABCabFRAFRBM

由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x

轴的直线.+第36页，共89页，2023年，2月20日，星期一AC段CB段AC

段和

BC

段的弯矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC，CB

两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.

x=a

，

x=0，AC段CB段

x=a,x=l，M=0+第37页，共89页，2023年，2月20日，星期一

梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.lABCabFRAFRBM++第38页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图.1.取梁的左端点为坐标原点,x轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩图向上为正.5.梁上的FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发生在全梁或各梁段的边界截面,或FS=0的截面处.小结3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.第39页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题9一简支梁受移动荷载F

的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载F

的位置.ABFlx解:先设F在距左支座A

为x

的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.荷载在任意位置时，支反力为当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为令第40页，共89页，2023年，2月20日，星期一此结果说明，当移动荷载F

在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.得最大弯矩值代入式将第41页，共89页，2023年，2月20日，星期一

设梁上作用有任意分布荷载其集度§4-4

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)q=q(x)规定

q(x)向上为正.将x轴的坐标原点取在梁的左端.xyq(x)FM第42页，共89页，2023年，2月20日，星期一xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)

假想地用坐标为x

和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx微段.mmnnq(x)Cx+dx

截面处则分别为FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)

沿dx的变化.m-m截面上内力为FS(x),M(x)nxmmndx第43页，共89页，2023年，2月20日，星期一FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段梁的平衡方程得到

略去二阶无穷小量即得第44页，共89页，2023年，2月20日，星期一公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性.第45页，共89页，2023年，2月20日，星期一M(x)图为一向上凸的二次抛物线.FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系(Relationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmomentdiagrams)1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)<0xOM(x)第46页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0时,向右上方倾斜.当F

S(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x第47页，共89页，2023年，2月20日，星期一5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.

梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.

3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.第48页，共89页，2023年，2月20日，星期一无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C第49页，共89页，2023年，2月20日，星期一三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系(Integralrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)若在x=x1

和x=x2处两个横截面无集中力则第50页，共89页，2023年，2月20日，星期一等号右边积分的几何意义是x1,x2两横截面间分布荷载图的面积.若横截面x=x1，x=x2

间无集中力偶作用则得式中M(x1)，M(x2)分别为在x=x1

和x=x2处两个横截面上的弯矩.等号右边积分的几何意义是x1,x2两个横截面间剪力图的面积.式中，分别为在x=x1

和x=x2

处两个横截面上的剪力.第51页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题10一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.解：（1）求梁的支反力

将梁分为AC、CD、DB

三段.每一段均属无载荷区段.BACD2001151265FFFRAFRB231（2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段第52页，共89页，2023年，2月20日，星期一23.61.727+BFRBACD2001151265FFFRA231DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上CD段第53页，共89页，2023年，2月20日，星期一4.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大弯矩发生在C

截面（3）弯矩图

每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.第54页，共89页，2023年，2月20日，星期一（4）对图形进行校核

在集中力作用的C,D

两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.

在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.

最大弯矩发生在剪力改变正、负号的

C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.第55页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题11一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：（1）计算梁的支反力FRAFRBEqABCD0.21.612

将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无荷载，CD

段有向下的均布荷载.第56页，共89页，2023年，2月20日，星期一（2）剪力图+80kN80kNAC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.FRAFRBEqABCD0.21.612第57页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题12作梁的内力图.解：（1）支座反力为3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN

将梁分为AC、CD、

DB、BE四段.（2）剪力图AC段

向下斜的直线()CD段向下斜的直线()第58页，共89页，2023年，2月20日，星期一DB段水平直线(-)EB段

水平直线(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直线()CD段向下斜的直线()F点剪力为零,令其距A截面的距离为x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m第59页，共89页，2023年，2月20日，星期一（3）弯矩图CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN第60页，共89页，2023年，2月20日，星期一3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5（4）校核第61页，共89页，2023年，2月20日，星期一解：支座反力为FRA

=81kNFRB=29kNMA=96.5kN·m例题13

用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB

五段。第62页，共89页，2023年，2月20日，星期一(1)剪力图AE段

水平直线FSA右

=FSE左

=FRA

=81kNED段

水平直线DK

段向右下方倾斜的直线FSK=-FRB

=-29kNFSE右

=FRA

-F=31kNKB

段水平直线FSB左=-FRB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m第63页，共89页，2023年，2月20日，星期一

设距K截面为x

的截面上剪力FS=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m第64页，共89页，2023年，2月20日，星期一（2）弯矩图AE，EC，CD

梁段均为向上倾斜的直线96.515.53110.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m第65页，共89页，2023年，2月20日，星期一KB

段向下倾斜的直线DK段向上凸的二次抛物线在FS=0的截面上弯矩有极值96.53115.5x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m第66页，共89页，2023年，2月20日，星期一

中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).++10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m第67页，共89页，2023年，2月20日，星期一

例题14已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)画荷载图AB段没有荷载，在B处有集中力所以F=20kN方向向下CABDF=20kN第68页，共89页，2023年，2月20日，星期一BC段无荷载CD

段有均布荷载q()abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN第69页，共89页，2023年，2月20日，星期一(2)弯矩图AB段向右上倾斜的直线BC段向右下倾斜的直线.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.48dab54c+第70页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题15已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.AB段因为M(x)=常量,剪力图为水平直线,且FS(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力图BC段FS(x)=常量,剪力图为水平直线CD段剪力图为水平直线且FS(x)=0abcd20kN第71页，共89页，2023年，2月20日，星期一AB段无荷载Me=40kN·m(

)Me在A处有集中力偶(2)作荷载图40KN·mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN()B

处有集中力.集中力BC段无荷载C处有集中力集中力F=20kN()CD段无荷载FF第72页，共89页，2023年，2月20日，星期一

§4-5

按叠加原理作弯矩图(Drawingbending-momentdiagrambysuperpositionmethod)一、叠加原理(Superposition

principle)

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和.二、适用条件(Applicationcondition)

所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.第73页，共89页，2023年，2月20日，星期一

三、步骤(Procedure)

（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;

（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）例16悬臂梁受集中荷载F

和均布荷载q

共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图xF=ql/3ql第74页，共89页，2023年，2月20日，星期一xF=ql/3ql解:悬臂梁受集中荷载F

和均布荷载q

共同作用，在距左端为x的任一横截面上的弯矩为FxqxF

单独作用q单独作用F,q作用该截面上的弯矩等于F,q单独作用该截面上的弯矩的代数和第75页，共89页，2023年，2月20日，星期一FxFqxlqx++-2l/3l/3第76页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题17图示一外伸梁，a=425mm,F1、

F2

、

F3分别为685kN,575kN,506kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上荷载分开F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaa第77页，共89页，2023年，2月20日，星期一291acebdBCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd215acebd291215131acebd第78页，共89页，2023年，2月20日，星期一1.平面刚架的内力(Internalforcesforplaneframemembers)

剪力(shearforce);弯矩(bendingmoment);轴力(axialforce).ABC

平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构.一、平面刚架的内力图(Internaldiagramsforplaneframemembers)§4-6

平面刚架和曲杆的内力图（Internaldiagramsforplaneframemembers&acurvedbars)第79页，共89页，2023年，2月20日，星期一弯矩图(bendingmomentdiagram)画在各杆的受压側,不注明正、负号.剪力图及轴力图(shearforce