第十一章习题课幂级数的收敛半径区间

第 ~ lim|an1|

limn| |an无

—1 —1 R 其他形式-1例1an

且级数(1)n2nan条件收敛，级数an(x1)n收敛半径R ~ 分 由于

0,(1)n2n

无级 |(1)n2nan|2n级 发散即antn 在t2处收敛，在t2处发散收敛半径R2,收敛区间-2例 设幂级数an(x 在x4收敛 2nanx

在x3 ，在x 第

n an

(x

在x4

穷 2anx

在x 2|71| |71|

4|312|11-3例 nn1 ~ ~章lim|an1|

(n1)3n1

n n 穷

|an

n3n

n3(n R 当x3，n发

x3

-4 (n!)2xnn0 an第

~ ~

|an1|an

(2n2)!

(n (2n1)(2n2) n(n!)2 R4当x4时，级数级数

(n!)24n (2n)"4

(1)n(n!)2 (2n1)"3 收敛区间为-5

11

1"2xn12xn

lim(1

1"1)

1"1

1"解lim lim n1lim 1

n1"1 R章当x1无穷

n11n级数为1"1n

n 11" n

nn数所以1"nn

发散，x1级数为1"1

, n1" 1"n

n1"n收敛区间为n

-6 nlnn解

|an1|an

n

~ R1当x1时~章

∵nlnn((n1)ln(n1))1ln(11)

nnlnx1

收敛区间为

-7

32(1)nxn 第

3n33n3 lim

|an|

n lim 章 R穷

当x3时，级数数

(32(1)n lim(32(1)n)(1)n

收敛区间为(32(1)

-8例 nn n(x limun1(x)|

|x3|

|x322 |un(x) n(n1) 22~章当|x3|1|x3|2或1x5 级穷级数

|x3|

1时，即|x3|2时，发散因此收敛半径为R 当x1或x5时 级数为

-9

(11n

x2n

nn

limn|u(x)|

x2ex2

章 ex21时，即当|章

ex21时，即当|x穷

[(1 当x

,[(11)n

1,原级数收敛，收敛区间为

xnsin 当|x|1时由于|xnsinn||x|n

|x十x1十 (1)nsinn,而limsinn

R1,收敛区间为-11 1第

xn

xn1

1x 章

x穷 sinx穷级数

x2n1

xcosx

x2n

xln(1x) (1)n1xn

1x

-12例 将下列函数展开成x的幂级 f(x)ln(2xx2 f(x)ln(2x)ln(1第 ln2ln(1x)ln(1 章无ln2 无

xn

1xn 级

1

nln2

n2n2

2x 1x-13f(x)arctan

f(x)

1x2

1x arctanx

f(x)

f

f(x~ x~

x2ndx

(1)n x2ndx 级

1x因为x1arctanx在x

-14

1x f(x)

(1x2 dx1(1 0(1x2第

1~ 11~ 2

x2n

1x 1(1

1(1

级 (1x2级数

11

(212

(1)n(x2n)2(1)n1

(1)n2nx1x-15例 将f(x)sinx展开成x的幂级数 sinxsin(x

2~ 2~2 2

4 穷

(2n1)!(x42级2

2

(x 2

22

(

(x

x-16 将f(x)

(1

展开成x1

dx1

1 1(1x)2

1

2(x第 1

1

(x 章 21 章

(1

(1

1 (1)n(x1)n (1级

1x

222 1222

n

(1)n

222 222

[(x1)

22

(x (1)n(n

(x

-17

1x 1）2）求f(nx0第 f(n)(x第~ f(x)~章

0(xx0穷 an(xx0穷 数f(n)(x0)-1811n 求幂级数n(n1)

令十 s(x)令十~章

xn1

xs(x)

(xs(穷

xn1

1

1xx级x (xs(x))

dxln(101xxs(x)0ln(1x)dx(1x)ln(1x)x-19xs(x)(1x)ln(1x) 1x1xln(1x)

x s(x)十~

lim[11x

x m

ln(1x)

x-20 (n 求级

s(x)(n1)2xn(n1)(xn1 ~ ~

(n

1)x

)

(

(n

1)xn (x(xn1))(x(xn1级 级

x

1 (

1

1(11(1x)3

)

(1

(n1)2

1s( 1

-21

2

将函数fx)

1x

x并求f(20)(0),f(21)(0),f(22)(0).1 f(x)十~

1x3

(1x)章数 a20数a21a22

x3n

x3n1f(20)(0)f(21)(0)f(22)(0)

1x-22若幂级数an

xx0点收敛,xx0x幂级数都绝对收敛十~ 反之,若当xx0时该幂级数发散,则对满足不等十~ x 的一切x,该幂级数也发散穷 穷

an

不是仅在x0数数

都收敛,定的正数（收敛半径）存在,它具有下列性质当xR时,幂级数绝对收敛;当x 时,幂级数发散-23级数