空间向量与平行、垂直关系

3.2立体几何中的向量方法空间向量与平行、垂直关系目前一页\总数四十页\编于十六点课标要求素养达成1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题和垂直问题.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关系.通过对空间向量与平行、垂直关系的学习,进一步提升学生数形结合能力与问题转化能力.目前二页\总数四十页\编于十六点新知探求素养养成知识点一如图(1)所示,直线l∥m,在直线l上取两点A,B,在直线m上取两点C,D.直线的方向向量和平面的法向量图(1)目前三页\总数四十页\编于十六点如图(2)所示,直线l⊥平面α,直线l∥m,在直线m上取向量n.图(2)目前四页\总数四十页\编于十六点梳理

(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线

的向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.平行或共线目前五页\总数四十页\编于十六点知识点二空间平行关系的向量表示如图(3)所示,直线l∥平面α,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n.图(3)如图(4)所示,平面α∥平面β,平面α的法向量为m,平面β的法向量为n.图(4)目前六页\总数四十页\编于十六点问题2:(1)在图(3)中,向量a与向量n的关系是怎样的?(2)在图(4)中,向量m与向量n的关系是怎样的?答案:(1)a⊥n.(2)m∥n.目前七页\总数四十页\编于十六点梳理

(1)线线平行设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m⇔a∥b⇔

⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).(2)线面平行设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),l⊄α,则l∥α⇔a⊥u⇔

⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)面面平行设平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔u∥v⇔

⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).a=λba·u=0u=λv目前八页\总数四十页\编于十六点知识点三空间垂直关系的向量表示如图(5)所示,直线l⊥平面α,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n.图(5)如图(6)所示,平面α⊥平面β,平面α的法向量为n,平面β的法向量为m.图(6)目前九页\总数四十页\编于十六点问题3:(1)在图(5)中,向量a与向量n的关系是怎样的?(2)在图(6)中,向量m与向量n的关系是怎样的?答案:(1)a∥n.(2)m⊥n.梳理

(1)线线垂直设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l⊥m⇔a·b=0⇔

.(2)线面垂直设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔a∥u⇔a=λu⇔

(λ∈R).(3)面面垂直若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔

.a1b1+a2b2+a3b3=0a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2a1a2+b1b2+c1c2=0目前十页\总数四十页\编于十六点题型一利用空间向量证明平行问题课堂探究

素养提升【例1】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.证明:如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz.则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),目前十一页\总数四十页\编于十六点目前十二页\总数四十页\编于十六点一题多变:在本例条件下,求证:平面ADE∥平面B1C1F.目前十三页\总数四十页\编于十六点方法技巧利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现,一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.目前十四页\总数四十页\编于十六点【备用例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.目前十五页\总数四十页\编于十六点目前十六页\总数四十页\编于十六点目前十七页\总数四十页\编于十六点题型二利用空间向量证明线线垂直问题【例2】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.目前十八页\总数四十页\编于十六点目前十九页\总数四十页\编于十六点目前二十页\总数四十页\编于十六点方法技巧用向量法证明空间两条直线相互垂直,主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直,具体方法为(1)坐标法:根据图形的特征,建立恰当的直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表达出两直线的方向向量,证明其数量积为0.(2)基向量法:利用向量的加减法运算,结合图形,将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来,利用数量积运算证明两向量的数量积为0.目前二十一页\总数四十页\编于十六点即时训练2-1:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1.目前二十二页\总数四十页\编于十六点【备用例2】(2018·南通高二期中)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,D1D=λ(λ>0),若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB,求实数λ的值.目前二十三页\总数四十页\编于十六点目前二十四页\总数四十页\编于十六点题型三利用空间向量证明线面垂直问题【例3】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.目前二十五页\总数四十页\编于十六点目前二十六页\总数四十页\编于十六点方法技巧用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)基向量法①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量;②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示;③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论.(2)坐标法方法一:①建立空间直角坐标系;②将直线的方向向量用坐标表示;③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;目前二十七页\总数四十页\编于十六点④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.方法二:①建立空间直角坐标系;②将直线的方向向量用坐标表示;③找出平面的法向量;④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.目前二十八页\总数四十页\编于十六点即时训练3-1:如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.证明:A1C⊥平面BB1D1D.目前二十九页\总数四十页\编于十六点目前三十页\总数四十页\编于十六点【备用例3】

在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;目前三十一页\总数四十页\编于十六点(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.目前三十二页\总数四十页\编于十六点题型四利用空间向量证明面面垂直问题【例4】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.目前三十三页\总数四十页\编于十六点目前三十四页\总数四十页\编于十六点方法技巧利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.目前三十五页\总数四十页\编于十六点即时训练4-1:三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A