必修一二公式总结

必修一公式总结一、集合的有关概念及表示方法1.集合的概念把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。（简称为集）2.集合中元素的性质（1）确定性：任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素。（2）互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象。（3）无序性：在同一个集合里，通常不考虑元素之间的顺序。 表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于“”两种情形3.集合的表示方法列举法：表示有限集合 描述法：表示无限集合 Venn图法：描述抽象集合 特殊集合的表示方法：自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C，空集。二、集合与集合之间的关系1．表示集合与集合之间的关系（1）包含关系： 子集：若集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记为。（2）相等关系： 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作。（3）真子集关系：如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）.2.空集不含任何元素的集合叫作空集，记作。空集是任何集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。3.有限集的子集、真子集的个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n；非空子集的个数为（2n-1）；真子集的个数为（2n-1）；非空真子集的个数为（2n-2）。三、集合的交、并、补集的运算1、交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A∩B，其含义用符号表示为：（2）性质：A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩=。2、并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B，其含义用符号表示为：（2）性质：A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪=A。3、补集（1）定义：设U是一个集合,A是U的一个子集,由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做子集A在U中的补集(或余集)记作∁UA.读作A在U中的补集。用Venn图表示为：（2）性质：A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=；∁U四、函数定义域求函数的定义域（1）当f（x）是整式时，定义域为R；（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；(6)当指数函数的底数中含有变量时，底数需大于0且不等于1.五、函数的奇偶性奇函数定义：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数为奇函数。偶函数定义：设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则这个函数为偶函数。函数奇偶性的理解（1）函数的定义域必须关于原点对称。（对定义域内的每一个x，-x也在定义域内）（2）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)=f(|x|)。（3）定义域含0的奇函数必过原点（可用于求参数）。（4）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或f(-x)f(x)=±1（f(x)（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。（6）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。定义法判断证明函数的奇偶性（重点掌握）步骤一：看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数。步骤二：判断f(-x)和f(x)的关系：若f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0，fxf-x分母不为若f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，fxf-x分母不为0=1六、函数的单调性增函数定义设函数的f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数在f(x)在区间D上是增函数。减函数的定义设函数的f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在f(x)在区间D上是减函数。用定义法证明函数单调性利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1）取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；（2）作差：作差f(x1)－f(x2)，或作商（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负或与1的大小关系）（5）下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）复合函数的单调性 对于复合函数y=f(g(x))，若称t=g(x)为内层函数，y=f(t)为外层函数，则复合函数的单调性符合下表：外层函数y=f(t)单调性内层函数t=g(x)单调性函数y=f(g(x))单调性增增增增减减减增减减减增 即复合函数的单调性符合“同增异减”的原则。注意：求复合函数单调区间时应先求出函数的定义域。七、指数幂的运算性质、对数的运算性质1、(na)n=a；2、amn=nama-mn=1a3、am∙(am)n(a∙b)n=an4、当a>0，且a≠1，M>0，N>0时：logloglogaMn=nalogaN=N，logab=loganblogaN=logbNlogba八、指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像和性质指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。指数函数比较大小：1、同底数幂比较大小，或者不同底数幂但可化为同底，构造指数函数，利用函数的单调性进行判断。2、不同底同指数，可用比商法比较。3、底数不同，指数也不同，利用中间变量0或1进行比较。九、对数函数及其性质定义：函数y=logax(a>0，且a≠1比较大小：底数相同，直接用单调性进行比较；（2）底数不同，找“0”或“1”作为中间桥梁十、幂函数定义：函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，幂函数的图像和性质：（1）当α>0时，幂函数图像都过点（0，0），（1，1）且在第一象限都是增函数；当α=1时，为过点（0，0），（1，1）的直线。（2）当α<0时，幂函数图像总经过点（1,1），在第一象限为减函数。（3）当α=0时，表示过点（1,1）平行于x轴的直线（除点（0,1））。十一、函数零点1、函数零点的概念：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。三个等价关系：方程f(x)=0对的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点2、函数零点的判断（1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续的，且有fa∙fb（2）如果函数y=f(x)在（a，b）内有零点，并不意味就一定有fa（3）二次函数的零点的个数，一般由∆>0，∆=0，∆<0来判断。当∆>0，二次函数有两个零点；当∆=0时，二次函数有一个零点；当∆<0时，二次函数没有零点。3、二分法求函数fx确定区间[a，b]，验证fa∙fb求区间（a，b）的中点c；计算fc若fc若fa∙fc<若fc∙fb<判断是否达到精度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a或b；否则重复步骤b)~d)。十二、二次函数与二次方程1、二次函数的图像和性质（1）图像：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是以直线x=-b（2）性质：二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以顶点的横坐标x=-b2a为分界，当a>0时，x∈(-∞,-b2a]时，fx单调递减；x∈[-b2a,+∞)时，2、二次函数需掌握的知识点（1）二次函数解析式的常用表示形式有：一般式：fx=ax2顶点式：fx=a(x-m)交点式：fx=a(x-x1 对称轴x=x1+（2）二次函数中若fx1=f(（3）二次函数中若fa+x=f(a-x)，则对称轴（4）二次函数fx=ax2+bx+c(a≠0)，a的符号由抛物线的开口方向决定，b的符号由对称轴的位置决定。由于f3、二次方程fx（1）二次方程fx=0的两根中一根比r小，另一根比r大（2）二次方程fx=0的两根（3）二次方程fx=0（4）二次方程fx=0在区间(p，q)内只有一根（5）二次方程fx=0两根中一根小于p必修二公式总结一、柱、锥、台、球的结构特征两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫棱锥。用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分的多面体叫棱台。以矩形的一边为所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱。以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥。用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体。二、空间体积题体的三视图和直观图（一）中心投影与平行投影把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.我们把一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.（二）空间几何体的三视图光线从几何体的前面向后面正投影所得的投影图称为“正视图”光线从几何体的左面向右面正投影所得的投影图称为“侧视图”光线从几何体的上面向下面正投影所得的投影图称为“俯视图”正视图、侧视图、俯视图统称为三视图 。三视图的关系：长对正、宽相等、高平齐（三）空间几何体的直观图斜二测画法：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点。画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。(4)确定各顶点后,连线;擦去辅助线。三、空间几何体的表面积和体积柱、锥、台体的侧面积和体积公式：SSS正棱锥侧=12chS圆锥侧=πrl（r为底面半径，lSSSV柱体=Sh（S为底面面积，V锥体=13V台体=13S1+S2V球=4四、空间点、平面、直线间的位置关系四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。空间线线、线面、面面的位置关系：直线与直线的位置关系：共面直线异面直线定义：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。直线与平面相交或平行统称为直线在平面外。平面与平面的位置关系：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）4、常用定理五、直线与方程直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。（2）倾斜角的范围：当与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°因此0°≤＜180°。2、直线的斜率（1）斜率公式：K=tan（≠90°）（2）斜率坐标公式：K=（x1≠x2）（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当=0°时，k=0；当0°＜＜90°时，k＞0，且越大，k越大；当=90°时，k不存在；当90°＜＜180°时，k＜0，且越大，k越大。两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2∥2、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；（2）如果两条直线、的斜率都存在，且都不为0，则⊥k1·k2=－1、直线方程的五种形式：、直线的交点坐标与距离公式1.a.两直线的交点：,求解这个方程组。b.两点间