流体的能量方程

流体的能量方程第1页，共21页，2023年，2月20日，星期一广义能量守恒问题【定律】宏观运动中总能量包括机械能和热能（内能）。能量的不同形式间可以相互转化，可以从一种形式转化成另一种形式。对孤立系统：总能量保持不变（可以有形式的转化）。对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力和系统外部的面力做功）和热量的输入。2第2页，共21页，2023年，2月20日，星期一数学表达式：流体的总能量方程两点说明：一般机械能包括动能和位能，而位能是由于引力作用产生的，而流体中流点之间的引力作用非常小，一般不予以考虑，所以流体的机械能只考虑动能部分。流体总能量方程的假设：设流体是“完全气体”，此时流体的内能可以写成：，是定容比热。对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力和系统外部的面力做功）和热量的输入。下面一项项的看：（取一块体积为τ，面积为σ的小流体块）。3第3页，共21页，2023年，2月20日，星期一总能量：机械能和热能(内能)—(对流体)—动能和内能，即：（单位质量的内能和动能）：小流体块总能量的变化率：质量力做功率：面力做功率：热流入量（如单位时间经过辐射或其他原因传入小流体块的总热量）：q是单位质量流体块受到的热流入量。4第4页，共21页，2023年，2月20日，星期一合并积分部分，并把全微分写到积分号里面去，再除以密度后，得到：由于流体块是任意的，则积分号中的部分形成单位质量流体块的能量方程（流体的能量守恒定律）：5第5页，共21页，2023年，2月20日，星期一动能方程1、动能方程的推导流体的运动方程为：两边用速度矢点乘：上式即为【动能方程】注意：这里的∇·P的结果是一个矢量，在XYZ都有分量，可以理解成∇P，P是应力张量）6第6页，共21页，2023年，2月20日，星期一因为：可得：

(2.65’)7第7页，共21页，2023年，2月20日，星期一动能方程各项的理解8第8页，共21页，2023年，2月20日，星期一:分成两部计算——和此项表示：由于表面力不均匀所做的功率。

9矢量标量第9页，共21页，2023年，2月20日，星期一上式中每一项都是应力乘以变形速度，所以该项的物理意义就是流体变形过程中表面应力做功。10标量第10页，共21页，2023年，2月20日，星期一广义牛顿假设代入后的动能方程牛顿粘性假设：（2.36）代入（2.65）可得：其中：11第11页，共21页，2023年，2月20日，星期一动能方程各项的含义左边：动能变化率：质量力做功：面力做功的和：微团膨胀（压缩）做功所增加（减少）的动能：-E恒为负值，表示由于粘性摩擦总是动能减少（损耗）12第12页，共21页，2023年，2月20日，星期一热流量方程前面已导出了总能量（包括动能和内能）的变化方程：现在我们又有了动能方程：（2.64）-（2.66）=【总能量】—【动能】=【内能方程】13第13页，共21页，2023年，2月20日，星期一能量方程的比较：14备注：红线部分是微团膨胀（压缩）做功，紫线部分是粘性摩擦效应。第14页，共21页，2023年，2月20日，星期一比较可得：压缩效应：流体膨胀做功增加动能而减少内能。内能转换成动能；流体压缩做功减少动能而增加内能，动能转化成内能。摩擦效应：E恒为正值。摩擦效应恒使动能减少而使内能增加。压缩效应和粘性效应在总能量公式中不出现，因为它们对动能的贡献和对内能的贡献刚好相反，是动能和内能的转换，而且转换的能量数值时一样的，因而不会使总能量发生变化。通过压缩效应，动能可以转化成内能，内能可以转化成动能，因此压缩效应是可逆的。而摩擦效应恒使动能减少而使内能增加，是不可逆的。外力做功使能量得以传递（外界传递给流体），而压缩性和粘性效应是使能量在流体内部转换。15第15页，共21页，2023年，2月20日，星期一理想流体能量方程：理想流体：动能方程：(2.66’)内能方程：16第16页，共21页，2023年，2月20日，星期一伯努利方程（Bernoulli）伯努利方程实际上是动能方程（2.66）的特例，此时讨论的流体是一种特殊的流体及其运动形式，即：理想不可压流体作定常运动的动能方程（积分形式）。假设条件：17第17页，共21页，2023年，2月20日，星期一从理想流体的动能方程（2.66’）出发18第18页，共21页，2023年，2月20日，星期一将以上两个结果代入（2.66’）并整理合并就得到在以上4个假定下的动能方程：括号中的三项分别是：动能、位能和压力能，上式说明这三者之和的个别变化为零。因为定常运动迹线和流线重合，则对（2.72）沿流线（迹线）积分得到：C是流线的函数，不同流线C取值不同，同一流线取个值。19第19页，共21页，2023年，2月20日，星期一重力作用下的伯努利方程在重力场中流体受到的主要质量力是重力，设重力加速度为g，某一高度为z，则重力位势是：代入（2.73）得到：

(2.73’)此为常用的伯努利方程该式物理意义：在重力场中，理想不可压缩流体作定常运动时，在一定流线（迹线）上，流体质点的动能、位能和压力能之和（综机械能）保持不变。20第20页，共21页，2023年，2月20日，星期一伯努利方程的应用理想不可压流体作定常运动时存在伯努利方程（2.73’